4.3相似多边形知识梳理及同步练习（无答案）北师大版2024—2025学年九年级上册

4.3相似多边形知识梳理及同步练习北师大版2024—2025学年九年级上册
知识点一：相似多边形的性质
（1）相似多边形对应角相等，对应边的比相等。
（2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比
例1、△ABC的三边长分别为、、2，△DEF的两边长分别为1和，如果△ABC∽△DEF，那么△DEF的第三边长为（ ）
A、 B、2 C、 D、
变式1、一个多边形的边长分别是4 cm、5 cm、6 cm、4 cm、5cm，和它相似的一个多边形最长边为8 cm，那么这个多边形的周长是（ ）
A、12 cm B、18 cm C、32 cm D、48 cm
变式2、Rt△ABC的两条直角边分别为3 cm、4 cm，与它相似的Rt△A'B'C'的斜边为20 cm，那么Rt△A'B'C'的周长为（ ）
A、48 cm B、28 cm C、12 cm D、10 cm
变式3、如果一个矩形对折后和原来的矩形相似，则此矩形的长边与短边之比为（ ）
A、2：1 B、4：11 C、：1 D、1.5：1
变式4、两个相似三角形的对应高的比为1：，其中小三角形的最长边为10 cm，那么另一个三角形的最长边为________。
变式5、如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．
（1）求证：EB＝GD；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，AG＝，求GD的长．
变式6、如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，∠A＝116°，∠B＝40°，∠C＝65°，求x的值和∠D1的度数．
例2、如图，ABCD是边长为1的正方形，在它的左侧补一个矩形ABFE，使得新矩形EFCD∽矩形AEFB，求AE的长．
变式1、如图所示，已知矩形ABCD，AB=6 cm，BC=8 cm，E、F分别是AB、CD上的点，且AE=DF=4 cm，两动点M、N分别从C、F两点同时出发沿CB、FE均以2 cm/s的速度分别向B、E运动。猜测当M、N运动多长时间时，矩形CFNM与矩形AEFD相似？
变式2、如图，一个矩形的长AB＝am，宽AD＝1m，按照图中所示的方式将它分割成相同的三个矩形，且每个小矩形与原矩形相似，求a的值．
知识点二：判断两个多边形相似
判断两个多边形相似，必须同时具备：
（1）边数相同；（2）对应角相等；（3）对应边的比相等。
例3、下列各组图形：① 两个平行四边形；② 两个圆；③ 两个矩形；④ 有一个内角都是80°的两个等腰三角形；⑤ 两个正五边形；⑥ 有一个内角是100°的两个等腰三角形。其中一定是相似形的是 （填序号）。
变式1、下列多边形中，一定相似的是（ ）
A、两个矩形B、两个菱形 C、两个正方形 D、两个平行四边形
变式2、下列说法正确的是（ ）
A、两个等腰三角形相似 B、所有的等腰梯形相似
C、两个等腰直角三角形相似 D、所有的正多边形相似
变式3、下列说法正确的是（ ）
A、两个等腰三角形相似 B、所有的等腰梯形相似
C、两个等腰直角三角形相似 D、所有的正多边形相似
变式4、下列说法中，错误的是（ ）
A、所有的等边三角形都相似 B、和同一图形相似的两图形也相似
C、所有的等腰直角三角形都相似 D、所有的矩形都相似
变式5、下列四组图形中，一定相似的是（　　）
A．正方形与矩形 B．正方形与菱形
C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形
变式6、如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（　　）
A．∠E＝2∠K B．BC＝2HI
C．六边形ABCDEF的周长＝六边形GHIJKL的周长
D．S六边形ABCDEF＝2S六边形GHIJKL
例4、我们知道，如果两个四边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个四边形叫做相似四边形．仅有对应角相等的两个四边形不一定相似，如正方形与两邻边长为1和2的矩形就不是相似四边形．
（1）仅有对应边成比例的两个四边形 　 　相似（填“一定”、“不一定”或“一定不”）；
（2）如图，在四边形ABCD和四边形A'B'C'D'中，∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，，求证：四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'．
变式1、在AB＝20m，AD＝30m的矩形花坛四周修筑小路．
（1）如果四周的小路的宽均相等，都是x，如图1，那么小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似吗？请说明理由；
（2）如果相对着的两条小路的宽均相等，宽度分别为x、y，如图2，试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使得小路四周所围成的矩形A′B′C′D′（A′D′为长）和矩形ABCD相似？请说明理由．
课后练习
1．下列各组图中，是相似图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH．
（1）求∠H的度数；
（2）若，CD＝15，求HG的长．
3．已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，并且点A与点A1、点B与点B1、点C与点C1、点D与点D1对应．
（1）已知∠A＝40°，∠B＝110°，∠C1＝90°，求∠D的度数；
（2）已知AB＝9，CD＝15，A1B1＝6，A1D1＝4，B1C1＝8，求四边形ABCD的周长．
4．如图，矩形AGFE∽矩形ABCD，AE、AD分别为它们的短边，点F在AB上，3AE＝2AD．
（1）求证：∠1＝∠2．
（2）若两个矩形的面积之和为650cm2，求矩形ABCD的面积．
5．如图，四边形ABCD为平行四边形，AE平分∠BAD交BC于点E，过点E作EF∥AB，交AD于点F，连接BF．
（1）求证：BF平分∠ABC；
（2）若AB＝6，且四边形ABCD∽四边形CEFD，求BC长．
6．一个矩形ABCD的较短边长为2．
（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；
（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．
7．如图所示，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求未知边x的长度和α的大小．