4.8图形的位似知识梳理与同步练习（无答案）北师大版2024—2025学年九年级上册

4.8图形的位似知识梳理与同步练习北师大版2024—2025学年九年级上册
知识梳理
知识点一：位似的概念
（一）、两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。
（二）、相似图形与位似图形的区别与联系：1、区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。2、联系：位似图形是特殊的相似图形。3、位似中心的位置：可能位于两个图形之间，也可能位于两个图形一侧，也可能位于两图形内。4、位似中心的确定：根据“对应点的连线都经过位似中心”的特点确定位似中心的位置。
例题讲解
例1.如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，△ABC三个顶点分别为A（﹣1，0），B（0，1），C（1，﹣1），已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，且A1（﹣1，2），B1（1，4）．
（1）请直接写出位似中心的坐标：　 　；
（2）在网格中将△A1B1C1补充完整．
练习1、图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A、点P B、点O
C、点M D、点N
练习2、如图所示1，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为（1,1），点C的坐标为（4,2）。则这两个正方形位似中心的坐标是________。
图1 图2 图3 图4
知识点二：位似图形的性质
1、位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。
2、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。
例2、如图2，O是等边三角形△ABC的中心，P'、Q'、R'分别是OP、OQ、OR的中点，则△P'Q'R'与△PQR是位似三角形，此时△P'Q'R'与△PQR的位似比、位似中心分别为（ ）
A、2，点P B、，点P C、2，点O D、，点O
练习1、如图3，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是 。
练习2、设四边形与四边形是位似图形，且位似比为，给出下列四个式子：①；②；③；④；其中成立的式子有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
练习3、如图4所示，正五边形是由正五边形经过位似变换得到的，若，则下列结论正确的是（ ）
A、2DE=3MN B、3DE=2MN C、 D、
知识点三：利用位似变换作图，放大或缩小图形
利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大；若位似比小于1，则通过位似变换把原图形缩小。
画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②连线并延长（分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长）；③根据相似比确定各线段的长度；④顺次连接上述个点，得到图形。
例3、如图，△ABC在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣4，3），C（﹣3，1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）△ABC内部有一点P（a，b），直接写出经过（1）中对称变换后P的对应点P1的坐标 　 　；
（3）以点B为位似中心，在点B的下方画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比为3：1．
练习1、如图，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点的坐标分别为A（6，3），O（0，0），B（0，6）．
（1）以原点O为位似中心，在第一象限内将△AOB缩小得到△A1OB1，相似比为，请画出△A1OB1；
（2）直接写出点A1的坐标（ 　 　，　 　）；
（3）求出△A1OB1的面积．
练习2、如图，△ABC在带有网格的平面直角坐标系中的位置．
（1）以点O为位似中心，在y轴右侧作出△ABC的位似图形△A1B1C1，使得放大后的△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1．
（2）若点P在△ABC内部，且坐标为（a，b），写出按（1）变化后的对应点P1的坐标 　 　．
（3）在图中找到点M，使得MA＝MB＝MC，写出点M的坐标 　 　．
练习3、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣2，0），C（﹣1，2）．
（1）以原点O为位似中心，画出△ABC的位似三角形，使它与△ABC的相似比为2：1；
（2）△ABC与其位似三角形的面积比为 　 　．
练习4、如图，已知O是坐标原点，A，B两点的坐标分别为（3，﹣1）、（2，1）．
（1）以点O为位似中心，在y轴左侧将△OAB放大为原来的两倍，画出△OA'B'；
（2）A点的对应点A′的坐标是 　 　；△OA'B'的面积是 　 　；
（3）在AB上有一点P（x，y），按（1）的方式得到的对应点P′坐标是 　 　．
练习5、如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A'B'C'是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上。
（1）画出位似中心点O；
（2）求出△ABC与△A'B'C'的位似比；
（3）以点O为位似中心，再画一个△，使它与△ABC的位似比
等于1：5。
知识点四：图形的变换与坐标
1、平移：
（1）图形沿x轴平移后，所得新图形的各对应点的纵坐标不变，当向右平移n个单位时，横坐标应相应地加n个单位，反之则减；
（2）图形沿y轴平移后，所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标上加、下减。
2、轴对称
（1）图形沿x轴翻折后所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数；
（2）图形沿y轴翻折后所得新图形的各对应点的纵坐标不变，横坐标互为相反数。
3、以原点为位似中心的位似变换
在平面直角坐标系中，如果位似变化是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k（对应点在位似中心同侧）或者－k（对应点在位似中心异侧）。即：若设原图形的某一点的坐标为，则其位似图形对应点的坐标为或。
例4、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，﹣2）、B（4，﹣1），C（3，﹣3）．
（1）画出将△ABC向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△A1B1C1的一个位似△A2B2C2，使它与△A1B1C1的相似比为2：1；
（3）若△A1B1C1内部任意一点P1的坐标为（a，b），直接写出经过（2）的变化后点P1的对应点P2的坐标（用含a、b的代数式表示）．
练习1、如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3，2），B（﹣1，3），C（﹣1，1），请按如下要求画图：
（1）以坐标原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标；
（2）以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使它与△ABC的位似比为2：1，并写出点B的对应点B2的坐标．
练习2、实践与操作：如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为（1，3），（3，2）．
（1）画出△OAB绕点B顺时针旋转90°后的△O′A′B；
（2）点M是OA的中点，在（1）的条件下，M的对应点M′的坐标为　 　．
（3）以点B为位似中心，相似比为2：1，在x轴的上方画出△O′A′B放大后的△O2A2B．
练习3、如图在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，顶点坐标分别为：A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，0）．
（1）S△ABC＝ 　 　；
（2）以原点O为位似中心，在y轴右侧画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使它与△ABC的相似比是2：1；
（3）在（2）中，点M（a，b）是线段AB上一点，点M的对应点M1的坐标为 　 　．
练习4、如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为A（2，1）、O（0，0）、B（1，﹣2）．
（1）画出将△AOB向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的△A1O1B1；
（2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出将△A1O1B1放大后的△A2O2B2；
（3）判断△AOB与△A2O2B2，能否是关于某一点Q为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心Q，并写出点Q的坐标．