8.2 平行线及其判定
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解同位角的概念. 抽象能力、几何直观
2.掌握基本事实Ⅱ:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么两条直线平行. 几何直观、推理能力
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点
1.同位角
在被截直线的 同侧 ,截线的 同侧 .
对点小练
1.如图,∠1与∠2是 同位角 .
新知要点
2.平行线基本事实Ⅱ
文字描述:两条直线被第三条直线所截,如果同位角 相等 ,那么这两条直线 平行 .
几何语言:因为∠1= ∠2 ,所以AB ∥ CD.
对点小练
2.如图,点E在BC的延长线上,下列条件中能判定AB∥CD的是(D)
A.∠1=∠2 B.∠D=∠5
C.∠BAD+∠ABC=180° D.∠B=∠5
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1同位角的识别(抽象能力、几何直观)
【典例1】如图,∠1与哪个角是内错角 ∠2与哪个角是同旁内角(只需写一个角) 它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的
【自主解答】∠1与∠DAB是内错角,它们是直线DE,BC被直线AB所截形成的;
∠2与∠DAC是同旁内角,它们是直线DE,BC被直线AC所截形成的(或∠2与∠1是同旁内角,它们是直线AB,AC被直线BC所截形成的).
【举一反三】
1.(2024·东营河口区模拟)已知点C为∠AOB的边OA上一点,射线CE交OB于点D,则图中与∠AOB是同位角的是 ∠ACD、∠CDB .
2.如图,∠1的同位角是 ∠B .
重点2平行线的基本事实Ⅱ(抽象能力、几何直观)
【典例2】(教材再开发·P40练习T3拓展)如图,已知∠B=46°,EF交AB于点D,DG平分∠ADE,∠ADG=67°,求证:BC∥EF.
【自主解答】因为DG平分∠ADE,∠ADG=67°,
所以∠ADE=2∠ADG=134°,
所以∠ADF=180°-∠ADE=46°,
因为∠B=46°,所以∠ADF=∠B=46°,
所以BC∥EF.
【举一反三】
1.如图,直线AB,CD被直线CE所截,∠C=100°,请写出能判定AB∥CD的一个条件: ∠1=100° .
2.(2024·潍坊奎文质检)如图,点D,F分别在△ABC的边AB,AC上,过点D作DE⊥BC于点E,过点F作FG⊥BC于点G,点H在BD上,连接HE,∠1=∠2,试说明HE∥AC.
【证明】因为DE⊥BC,FG⊥BC,
所以∠DEB=∠CGF=90°,
所以∠1+∠BEH=∠2+∠C=90°.
因为∠1=∠2,所以∠BEH=∠C,所以HE∥AC.
【技法点拨】
平行线判定注意事项
1.同位角识别:截线同侧,平行线同侧;
2.同位角相等,两直线平行;
3.多组平行线相交时,找准同位角.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·几何直观)如图,直线a,b被直线c所截,∠1的同位角是(B)
A.∠2 B.∠3
C.∠4 D.以上都不是
2.(3分·抽象能力、几何直观)下列图形中,∠1与∠2不是同位角的是(C)
3.(3分·推理能力)如图,要得到a∥b,则需要条件(B)
A.∠1+∠2=180° B.∠1=∠2
C.∠1+∠2=90° D.∠1+∠2=120°
4.(3分·几何直观、应用意识)如图,∠A=70°,O是AB上一点,直线OD与AB所夹角∠BOD=86°,要使OD∥AC,直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转 16° .
5.(8分·几何直观、推理能力)如图,已知点B在AC上,BD⊥BE,∠1+∠C=90°,问射线CF与BD平行吗 说明理由.
【解析】CF∥BD.理由如下:
因为BD⊥BE,所以∠DBE=90°,
所以∠1+∠2=90°,因为∠1+∠C=90°,
所以∠2=∠C.
所以CF∥BD.8.2 平行线及其判定
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.通过小组合作,完成画平行线的过程,能总结出画平行线的步骤. 抽象能力、几何直观
2.通过画平行线的过程,小组合作,总结出平行线的性质,并能阐述. 几何直观、推理能力
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点
1.平行的表示方法
如图,在同一平面内,有两条不相交的直线AB与CD.
记作: AB∥CD ,
读作:AB 平行于 CD.
对点小练
1.如图,在长方体中,与棱AB平行的棱有 3 条,它们分别是 DC,EF,GH ;
与棱CG平行的棱有 3 条,它们分别是 BF,AE,DH ;与棱AD平行的棱有 3 条,它们分别是 BC,FG,EH .
新知要点
2.平行线基本事实Ⅰ及推论
基本事实Ⅰ:过 直线外 一点有且只有 一条 直线与这条直线平行.
推论:平行于同一条直线的两条直线 平行 .
几何语言:如果b∥a,c∥a,那么 b∥c .
对点小练
2.若AB∥EF,CD∥EF,则 AB∥CD .
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
重点1平行线的画法(抽象能力、几何直观)
【典例1】(教材再开发·P38练习T2改编)
如图所示,在∠AOB内有一点P.
(1)过P画l1∥OA;
(2)过P画l2∥OB.
【自主解答】(1)(2)如图所示:
【举一反三】
1.(2024·烟台招远模拟)已知三角形ABC,过AC的中点D作AB的平行线,根据语句作图正确的是(B)
2.下列各图中的直线a,b,用推三角尺的方法验证,其中a∥b的有 ①②③ (填序号).
【技法点拨】
平行线的画法
用直尺和三角尺作已知直线的平行线的画法如图所示,总结为以下“四字诀”:
一“落”:三角板的一边落在已知直线上;
二“靠”:用直尺紧靠三角板的另一边;
三“移”:沿直尺移动三角板,直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点;
四“画”:沿三角板过已知点的边画直线.
重点2平行线的基本事实及推论(推理能力、几何直观)
【典例2】如图,直线AB,CD表示一条公路的两边,且AB∥CD,点E为直线AB,CD外一点,现过点E作边CD的平行线,只需过点E作AB的平行线即可,其理由是 平行于同一直线的两直线互相平行 .
【举一反三】
如图,过点A画直线l的平行线,能画(C)
A.两条以上 B.2条 C.1条 D.0条
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(3分·几何直观、推理能力)下列说法中,正确的是(D)
A.过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B.相等的角是对顶角
C.从直线外一点到这条直线的垂线段叫作点到直线的距离
D.同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
2.(3分·几何直观、运算能力)在∠AOB中,C,D分别为边OA,OB上的点(不与顶点O重合).对于任意锐角∠AOB,下面三个结论中,①作边OB的平行线与边OA相交,这样的平行线能作出无数条;②连接CD,存在∠ODC是直角;③点C到边OB的距离不超过线段CD的长.所有正确结论的序号是 ①②③ .
3.(5分·几何直观)如图所示,能相交的是 ③ ,平行的是 ⑤ .(填序号)
4.(5分·几何直观、空间观念)如图,在正方形网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度,我们把每个小正方形的顶点称为格点,请分别仅用一把无刻度的直尺画图:
(1)在图1中,过点C画一条AB的垂线;
(2)在图2中,过点C画一条AB的平行线.
【解析】(1)如图所示,AB的垂线CD为所求;
(2)如图所示,AB的平行线CE为所求.8.2 平行线及其判定
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解同位角的概念. 抽象能力、几何直观
2.掌握基本事实Ⅱ:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么两条直线平行. 几何直观、推理能力
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点
1.同位角
在被截直线的 ,截线的 .
对点小练
1.如图,∠1与∠2是 .
新知要点
2.平行线基本事实Ⅱ
文字描述:两条直线被第三条直线所截,如果同位角 ,那么这两条直线 .
几何语言:因为∠1= ,所以AB CD.
对点小练
2.如图,点E在BC的延长线上,下列条件中能判定AB∥CD的是( )
A.∠1=∠2 B.∠D=∠5
C.∠BAD+∠ABC=180° D.∠B=∠5
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1同位角的识别(抽象能力、几何直观)
【典例1】如图,∠1与哪个角是内错角 ∠2与哪个角是同旁内角(只需写一个角) 它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的
【举一反三】
1.(2024·东营河口区模拟)已知点C为∠AOB的边OA上一点,射线CE交OB于点D,则图中与∠AOB是同位角的是 .
2.如图,∠1的同位角是 .
重点2平行线的基本事实Ⅱ(抽象能力、几何直观)
【典例2】(教材再开发·P40练习T3拓展)如图,已知∠B=46°,EF交AB于点D,DG平分∠ADE,∠ADG=67°,求证:BC∥EF.
【举一反三】
1.如图,直线AB,CD被直线CE所截,∠C=100°,请写出能判定AB∥CD的一个条件: .
2.(2024·潍坊奎文质检)如图,点D,F分别在△ABC的边AB,AC上,过点D作DE⊥BC于点E,过点F作FG⊥BC于点G,点H在BD上,连接HE,∠1=∠2,试说明HE∥AC.
【技法点拨】
平行线判定注意事项
1.同位角识别:截线同侧,平行线同侧;
2.同位角相等,两直线平行;
3.多组平行线相交时,找准同位角.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·几何直观)如图,直线a,b被直线c所截,∠1的同位角是( )
A.∠2 B.∠3
C.∠4 D.以上都不是
2.(3分·抽象能力、几何直观)下列图形中,∠1与∠2不是同位角的是( )
3.(3分·推理能力)如图,要得到a∥b,则需要条件( )
A.∠1+∠2=180° B.∠1=∠2
C.∠1+∠2=90° D.∠1+∠2=120°
4.(3分·几何直观、应用意识)如图,∠A=70°,O是AB上一点,直线OD与AB所夹角∠BOD=86°,要使OD∥AC,直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转 .
5.(8分·几何直观、推理能力)如图,已知点B在AC上,BD⊥BE,∠1+∠C=90°,问射线CF与BD平行吗 说明理由.8.2 平行线及其判定
第3课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解内错角、同旁内角的概念. 几何直观、抽象能力
2.掌握内错角相等,两直线平行;掌握同旁内角互补,两直线平行. 推理能力、应用意识
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点
1.内错角
在被截直线的 内侧 ,截线的 两侧 .
对点小练
1.如图,已知直线a与直线b被第三条直线c所截,则∠1的内错角是(B)
A.∠2 B.∠3
C.∠4 D.∠5
新知要点
2.同旁内角
在被截直线的 内侧 ,截线的 同侧 .
对点小练
2.科技是国家强盛之基,创新是民族进步之魂.近些年来,我国的航空事业不断发展,在如左图所示的飞机中抽象出右图的数学图形,在右图中,与∠1构成同旁内角的是(C)
A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5
新知要点
3.平行线的判定定理
(1)文字表述:内错角 相等 ,两直线平行.
几何语言:因为∠1= ∠2 ,
所以AB ∥ CD.
(2)文字表述:同旁内角 互补 ,两直线平行.
几何语言:因为∠2+ ∠3 =180°,
所以AB ∥ CD.
对点小练
3.(1)如图,能判定AB∥DC的是(C)
A.∠1=∠2 B.∠1=∠3
C.∠3=∠4 D.∠D+∠BCD=180°
(2)如图,若∠A+∠ABC=180°,则 AD∥BC .
重点典例研析 启思凝智 教学相长
重点1内错角、同旁内角的识别(推理能力、几何直观)
【典例1】如图,直线CD与∠AOB的边OB相交.
(1)写出图中的内错角和同旁内角.
(2)如果∠1=∠4,那么∠1与∠2相等吗 ∠1与∠5互补吗 为什么
【自主解答】(1)∠1与∠2是内错角;∠1与∠5是同旁内角;
(2)如果∠1=∠4,那么∠1与∠2相等,∠1与∠5互补.
理由如下:
因为∠1=∠4,∠4=∠2,∠4+∠5=180°,
所以∠1=∠2,∠1+∠5=180°.
【举一反三】
1.如图所示,∠1和∠2是(C)
A.同位角 B.内错角
C.同旁内角 D.邻补角
2.(2024·烟台福山模拟)如图,把一根筷子一端放在水里,一端露出水面,筷子变弯了 其实没有,这是光的折射现象,光从空气中射入水中,光的传播方向发生了改变.
(1)请指出∠1的同旁内角与∠2的内错角;
(2)若测得∠AOE=65°,∠BOM=145°,从水面上看斜插入水中的筷子,水下部分向上折弯了多少度 请说明理由.
【解析】(1)∠1的同旁内角是∠MOE,∠AOE,∠ADE;
∠2的内错角是∠MOE,∠AOE;
(2)因为∠BOM=145°,
所以∠AOM=180°-∠BOM=35°,
所以∠MOE=∠AOE-∠AOM=65°-35°=30°,
所以水下部分向上折弯了30°.
重点2平行线的判定定理(推理能力、几何直观)
【典例2】(教材再开发·P40例1拓展)如图,∠1=∠3,∠1+∠2=180°,试说明CD∥EF.
【自主解答】因为∠1=∠3,所以AB∥EF,
因为∠4+∠2=180°,∠1+∠2=180°,
所以∠4=∠1,所以CD∥AB,所以CD∥EF.
【举一反三】
1.(2024·德州禹城模拟)如图,不能判定a∥b的条件是(D)
A.∠1=∠2 B.∠2=∠3
C.∠3+∠4=180° D.∠2+∠4=180°
2.(2024·淄博博兴质检)如图,下列条件中,能判定AB∥CD的是(B)
A.∠B=∠D
B.∠1=∠2
C.∠3=∠4
D.∠D+∠BCD=180°
3.如图,已知直线AB,CD被直线EF所截,EG平分∠AEF,FG平分∠EFC,∠1+∠2=90°,AB∥CD吗 为什么
因为EG平分∠AEF,FG平分∠EFC(已知),
所以∠AEF=2∠ 1 ,∠EFC=2∠ 2 ,
所以∠AEF+∠EFC= 2(∠1+∠2) (等式的性质),
因为∠1+∠2=90°(已知),
所以∠AEF+∠EFC= 180 °,
所以AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行).
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·几何直观、推理能力)英文字母中,存在同位角、内错角、同旁内角(不考虑字母宽度),下列字母中含同旁内角最多的是(A)
2.(3分·几何直观)如图所示,两只手的食指和拇指在同一平面内,它们构成的一对角可以看成(B)
A.同位角 B.同旁内角
C.内错角 D.对顶角
3.(4分·抽象能力、空间观念)如图,直线b,c被直线a所截,如果∠1=55°,∠2=100°,那么∠3与其内错角的角度之和等于 135° .
4.(5分·几何直观、推理能力)请根据图形填空,如图:
①因为∠1=∠2(已知),
所以 AD ∥ BC (内错角相等,两直线平行).
②因为∠5=∠ ABC ,
所以AB∥DC(同位角相等,两直线平行).
5.(5分·几何直观、空间观念)如图所示,已知直线a∥b,∠1=112°,∠2=68°.
(1)求∠3的度数;
(2)判断直线c与d的位置关系,并说明理由.
【解析】(1)因为a∥b,所以∠3=∠1=112°;
(2)c∥d,理由如下:
如图所示:
因为a∥b,所以∠2=∠5=68°,
所以∠4=180°-68°=112°,
因为∠1=112°,所以∠1=∠4,所以c∥d.8.2 平行线及其判定
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.通过小组合作,完成画平行线的过程,能总结出画平行线的步骤. 抽象能力、几何直观
2.通过画平行线的过程,小组合作,总结出平行线的性质,并能阐述. 几何直观、推理能力
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点
1.平行的表示方法
如图,在同一平面内,有两条不相交的直线AB与CD.
记作: ,
读作:AB CD.
对点小练
1.如图,在长方体中,与棱AB平行的棱有 条,它们分别是 ;
与棱CG平行的棱有 条,它们分别是 ;与棱AD平行的棱有 条,它们分别是 .
新知要点
2.平行线基本事实Ⅰ及推论
基本事实Ⅰ:过 一点有且只有 直线与这条直线平行.
推论:平行于同一条直线的两条直线 .
几何语言:如果b∥a,c∥a,那么 .
对点小练
2.若AB∥EF,CD∥EF,则 .
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
重点1平行线的画法(抽象能力、几何直观)
【典例1】(教材再开发·P38练习T2改编)
如图所示,在∠AOB内有一点P.
(1)过P画l1∥OA;
(2)过P画l2∥OB.
【举一反三】
1.(2024·烟台招远模拟)已知三角形ABC,过AC的中点D作AB的平行线,根据语句作图正确的是( )
2.下列各图中的直线a,b,用推三角尺的方法验证,其中a∥b的有 (填序号).
【技法点拨】
平行线的画法
用直尺和三角尺作已知直线的平行线的画法如图所示,总结为以下“四字诀”:
一“落”:三角板的一边落在已知直线上;
二“靠”:用直尺紧靠三角板的另一边;
三“移”:沿直尺移动三角板,直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点;
四“画”:沿三角板过已知点的边画直线.
重点2平行线的基本事实及推论(推理能力、几何直观)
【典例2】如图,直线AB,CD表示一条公路的两边,且AB∥CD,点E为直线AB,CD外一点,现过点E作边CD的平行线,只需过点E作AB的平行线即可,其理由是 .
【举一反三】
如图,过点A画直线l的平行线,能画( )
A.两条以上 B.2条 C.1条 D.0条
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(3分·几何直观、推理能力)下列说法中,正确的是( )
A.过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B.相等的角是对顶角
C.从直线外一点到这条直线的垂线段叫作点到直线的距离
D.同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
2.(3分·几何直观、运算能力)在∠AOB中,C,D分别为边OA,OB上的点(不与顶点O重合).对于任意锐角∠AOB,下面三个结论中,①作边OB的平行线与边OA相交,这样的平行线能作出无数条;②连接CD,存在∠ODC是直角;③点C到边OB的距离不超过线段CD的长.所有正确结论的序号是 .
3.(5分·几何直观)如图所示,能相交的是 ,平行的是 .(填序号)
4.(5分·几何直观、空间观念)如图,在正方形网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度,我们把每个小正方形的顶点称为格点,请分别仅用一把无刻度的直尺画图:
(1)在图1中,过点C画一条AB的垂线;
(2)在图2中,过点C画一条AB的平行线.8.2 平行线及其判定
第3课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解内错角、同旁内角的概念. 几何直观、抽象能力
2.掌握内错角相等,两直线平行;掌握同旁内角互补,两直线平行. 推理能力、应用意识
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点
1.内错角
在被截直线的 ,截线的 .
对点小练
1.如图,已知直线a与直线b被第三条直线c所截,则∠1的内错角是( )
A.∠2 B.∠3
C.∠4 D.∠5
新知要点
2.同旁内角
在被截直线的 ,截线的 .
对点小练
2.科技是国家强盛之基,创新是民族进步之魂.近些年来,我国的航空事业不断发展,在如左图所示的飞机中抽象出右图的数学图形,在右图中,与∠1构成同旁内角的是( )
A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5
新知要点
3.平行线的判定定理
(1)文字表述:内错角 ,两直线平行.
几何语言:因为∠1= ,
所以AB CD.
(2)文字表述:同旁内角 ,两直线平行.
几何语言:因为∠2+ =180°,
所以AB CD.
对点小练
3.(1)如图,能判定AB∥DC的是( )
A.∠1=∠2 B.∠1=∠3
C.∠3=∠4 D.∠D+∠BCD=180°
(2)如图,若∠A+∠ABC=180°,则 .
重点典例研析 启思凝智 教学相长
重点1内错角、同旁内角的识别(推理能力、几何直观)
【典例1】如图,直线CD与∠AOB的边OB相交.
(1)写出图中的内错角和同旁内角.
(2)如果∠1=∠4,那么∠1与∠2相等吗 ∠1与∠5互补吗 为什么
【举一反三】
1.如图所示,∠1和∠2是( )
A.同位角 B.内错角
C.同旁内角 D.邻补角
2.(2024·烟台福山模拟)如图,把一根筷子一端放在水里,一端露出水面,筷子变弯了 其实没有,这是光的折射现象,光从空气中射入水中,光的传播方向发生了改变.
(1)请指出∠1的同旁内角与∠2的内错角;
(2)若测得∠AOE=65°,∠BOM=145°,从水面上看斜插入水中的筷子,水下部分向上折弯了多少度 请说明理由.
重点2平行线的判定定理(推理能力、几何直观)
【典例2】(教材再开发·P40例1拓展)如图,∠1=∠3,∠1+∠2=180°,试说明CD∥EF.
【自主解答】因为∠1=∠3,所以AB∥EF,
因为∠4+∠2=180°,∠1+∠2=180°,
所以∠4=∠1,所以CD∥AB,所以CD∥EF.
【举一反三】
1.(2024·德州禹城模拟)如图,不能判定a∥b的条件是( )
A.∠1=∠2 B.∠2=∠3
C.∠3+∠4=180° D.∠2+∠4=180°
2.(2024·淄博博兴质检)如图,下列条件中,能判定AB∥CD的是( )
A.∠B=∠D
B.∠1=∠2
C.∠3=∠4
D.∠D+∠BCD=180°
3.如图,已知直线AB,CD被直线EF所截,EG平分∠AEF,FG平分∠EFC,∠1+∠2=90°,AB∥CD吗 为什么
因为EG平分∠AEF,FG平分∠EFC(已知),
所以∠AEF=2∠ ,∠EFC=2∠ ,
所以∠AEF+∠EFC= (等式的性质),
因为∠1+∠2=90°(已知),
所以∠AEF+∠EFC= °,
所以AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行).
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·几何直观、推理能力)英文字母中,存在同位角、内错角、同旁内角(不考虑字母宽度),下列字母中含同旁内角最多的是( )
2.(3分·几何直观)如图所示,两只手的食指和拇指在同一平面内,它们构成的一对角可以看成( )
A.同位角 B.同旁内角
C.内错角 D.对顶角
3.(4分·抽象能力、空间观念)如图,直线b,c被直线a所截,如果∠1=55°,∠2=100°,那么∠3与其内错角的角度之和等于 .
4.(5分·几何直观、推理能力)请根据图形填空,如图:
①因为∠1=∠2(已知),
所以 ∥ (内错角相等,两直线平行).
②因为∠5=∠ ,
所以AB∥DC(同位角相等,两直线平行).
5.(5分·几何直观、空间观念)如图所示,已知直线a∥b,∠1=112°,∠2=68°.
(1)求∠3的度数;
(2)判断直线c与d的位置关系,并说明理由.
