9.2 解二元一次方程组
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解加减消元法,会用加减消元法解二元一次方程组. 模型观念、运算能力
2.通过比较代入消元法与加减消元法的解题过程,能够灵活选择合适的方法解二元一次方程组. 抽象能力、模型观念
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
1.当二元一次方程组中同一个未知数的系数相等时,把这两个方程 ,就可以消去这个未知数. 2.当二元一次方程组中同一个未知数的系数互为相反数时,把这两个方程 ,就可以消去这个未知数. 1.(1)解关于x,y的二元一次方程组,由①-②可直接消去未知数y,则a和b满足的条件是( ) A.a=b B.ab=1 C.a+b=1 D.a+b=0 (2)解方程组,最简便的方法为( ) A.代入消元法 B.加减消元法 C.换元法 D.三种方法一样简便
3.用加减消元法解二元一次方程组 步骤具体做法目的 变形 加减 求解 回代 写解将方程的两边乘适当的数使两个方程的同一个未知数的系数 或互为相反数 若方程组中同一个未知数的系数相等,则把两个方程 ;若系数互为相反数,则把两个方程 消去一个未知数,把二元一次方程变为一元一次方程解消元后的一元一次方程求出其中一个未知数的值把其中一个未知数的值代入方程组中的一个方程求出另一个未知数的值把两个未知数的值用大括号联立写出方程组的解
2.(1)用加减消元法解方程组正确消元后可得方程( ) A.6x-y=4 B.-y=4 C.-3y=2 D.-y=2 (2)用加减消元法解二元一次方程组时,下列方法中无法消元的是( ) A.①×2-②×5 B.①×3+②×2 C.①×1.5-② D.①-②×2.5 (3)方程组的解为 .
重点典例研析 学贵有方 进而有道
【重点1】直接加减解二元一次方程组(推理能力、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P62例3改编)解方程组:.
【举一反三】
1.已知|2x+y+3|+(x-y+3)2=0,则(x+y)2 024等于( )
A.2 024 B.1
C.-1 D.-2 024
2.(2024·广西中考)解方程组:
3.(2024·潍坊奎文质检)解方程组:
.
【技法点拨】
直接加减法适用情况
1.某未知量的系数相同或相反;
2.待求为多项式时,将方程组两方程直接相加减,凑出待求多项式的倍数.
【重点2】加减法解较复杂的二元一次方程组(抽象能力、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P63例4拓展)用加减消元法解方程组:
【举一反三】
1.(2024·青岛市北模拟)已知二元一次方程组,则x-y的值为( )
A.1 B.-1
C.2 D.-2
2.关于x,y的二元一次方程组,小蕊用加减消元法消去未知数y,按照她的思路,用②×5+①得到的方程是 .
3.用加减消元法解方程组:
【技法点拨】
用加减消元法解二元一次方程组的技巧
(1)当同一个未知数的系数相同或互为相反数,则直接进行加减消元;
(2)当同一个未知数的系数的绝对值成倍数时,则只需将其中一个方程变形,再用加减消元法;
(3)当同一个未知数的系数的绝对值不成倍数时,将两个方程同时变形,再用加减消元法.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·运算能力)用加减消元法解二元一次方程组时,下列做法中无法消元的是( )
A.①×2+②
B.①×5-②×3
C.①×3-②×5
D.①×(-5)+②×3
2.(3分·运算能力、推理能力)若关于x,y的二元一次方程ax+by-2=0的两个解分别是或,则a,b的值分别是( )
A.1,0 B.1,-1 C.-1,1 D.1,2
3.(4分·抽象能力、推理能力)已知二元一次方程组,则xy= .
4.(4分·应用意识、运算能力)王朋家里买了150斤大米和100斤面粉,吃了一个月后,发现吃的米和面粉一样多,而且剩的米刚好是面粉的6倍,则米剩 斤.
5.(6分·运算能力、推理能力)解方程组:
(1);(2).9.2 解二元一次方程组
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.通过等式的基本性质可以将二元一次方程进行转化,用一个未知数表示另一个未知数. 抽象能力、模型观念
2.通过消元思想的应用,学会用代入消元法解二元一次方程组. 应用意识、运算能力
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
用代入消元法解二元一次方程组的步骤: 步骤具体做法目的 变形 代入 求解 回代 写解选取一个系数简单的方程变形,用 表示 变形为“y=ax+b”或“x=ay+b”的形式(a,b是常数,a≠0)把“y=ax+b”或“x=ay+b”代入没有变形的方程消去一个未知数解消元后的一元一次方程求出一个未知数的值把求得的未知数的值代入步骤“变形”后的方程中求出另一个未知数的值把两个未知数的值用大括号联立求出方程组的解
1.由5x-2y=4可以得到用x表示y的式子是( ) A.y=x-2 B.x=y+ C.y=x-2 D.x=y- 2.用代入消元法解方程组,将①代入②可得( ) A.3x-2x+1=8 B.3x-2x-1=8 C.3x+2x+1=8 D.3x+2x-1=8 3.方程组的解是 .
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
【重点1】直接代入解二元一次方程组(抽象能力、推理能力)
【典例1】解方程组:
【自主解答】整理方程组得:,
将①代入②得:3x+2(5-4x)=15,
解得x=-1,
将x=-1代入①得:y=9,则方程组的解为.
【举一反三】
1.(2023·徐州中考)解方程组.
2.解方程组:
3.(2024·东营河口模拟)解二元一次方程组:.
【技法点拨】
用代入消元法解二元一次方程组的两点“注意”
(1)在“用一个未知数表示另一个未知数”步骤中,注意选择未知数系数为1、-1或系数简单的方程;
(2)注意把变形后的方程要代入到没有变形的方程中去.
【重点2】用代入消元法解系数不为1的二元一次方程组(推理能力、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P59例1拓展)解方程组:
(1);
(2).
【举一反三】
1.(2024·滨州博兴模拟)用代入消元法解方程组时,将②变形代入①中,所得的方程是( )
A.4x-3()=7 B.4x+3(2x-3)=7
C.4x+3()=7 D.4x+(2x-3)=7
2.已知,则x的值为 ;y的值为 .
3.(2024·青岛城阳模拟)解方程组:
(1);
(2).
【技法点拨】
代入消元法解系数不为1的二元一次方程组的基本步骤
1.确定要消的元;
2.用等式的性质,将要消的元的系数化为1;
3.用另一个未知数表示要消去的未知数:通过等式的基本性质变形;
4.将变形后的等式代入第二个等式中消元,解一元一次方程即可.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·抽象能力、推理能力)把2x+y-5=0改写成用含有x的代数式表示y的形式,下列选项正确的是( )
A.y=-2x+5 B.y=2x-5
C.x= D.x=-2y+10
2.(3分·推理能力、运算能力)用代入消元法解关于x,y的方程组时,将方程①代入方程②正确的是( )
A.2(4y-3)-3y=-1 B.4y-3-3y=-1
C.4y-3-3y=1 D.2(4y-3)-3y=1
3.(4分·抽象能力、推理能力)已知关于x,y的二元一次方程ax+by=5的部分解如表所示:
x 1 9 5
y 1 -1 0
则a-b的值为 .
4.(5分·运算能力、推理能力)已知5ay+4b3x-1与-7a2x-2b1-2y是同类项,则x= ,y= .
5.(5分·运算能力、推理能力)已知关于x,y的方程xa-2-2ya-b+3=1是二元一次方程,求(a-b)3的值.9.2 解二元一次方程组
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.通过等式的基本性质可以将二元一次方程进行转化,用一个未知数表示另一个未知数. 抽象能力、模型观念
2.通过消元思想的应用,学会用代入消元法解二元一次方程组. 应用意识、运算能力
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
用代入消元法解二元一次方程组的步骤: 步骤具体做法目的 变形 代入 求解 回代 写解选取一个系数简单的方程变形,用 一个未知数 表示 另一个未知数 变形为“y=ax+b”或“x=ay+b”的形式(a,b是常数,a≠0)把“y=ax+b”或“x=ay+b”代入没有变形的方程消去一个未知数解消元后的一元一次方程求出一个未知数的值把求得的未知数的值代入步骤“变形”后的方程中求出另一个未知数的值把两个未知数的值用大括号联立求出方程组的解
1.由5x-2y=4可以得到用x表示y的式子是(A) A.y=x-2 B.x=y+ C.y=x-2 D.x=y- 2.用代入消元法解方程组,将①代入②可得(B) A.3x-2x+1=8 B.3x-2x-1=8 C.3x+2x+1=8 D.3x+2x-1=8 3.方程组的解是 .
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
【重点1】直接代入解二元一次方程组(抽象能力、推理能力)
【典例1】解方程组:
【自主解答】整理方程组得:,
将①代入②得:3x+2(5-4x)=15,
解得x=-1,
将x=-1代入①得:y=9,则方程组的解为.
【举一反三】
1.(2023·徐州中考)解方程组.
【解析】,把①代入②中得2(4y+1)-5y=8,解得y=2,把y=2代入①得x=4×2+1=9,
所以原方程组的解为.
2.解方程组:
【解析】,由②得:y=6-x③,
把③代入①,得:2x-(6-x)=3,解得x=3,
把x=3代入③,得:y=3.
所以方程组的解是
3.(2024·东营河口模拟)解二元一次方程组:.
【解析】,
将②化为x=y+1③,
将③代入①得3(y+1)+2y=13,
解得:y=2,
将y=2代入③得,x=3,
所以二元一次方程组的解为.
【技法点拨】
用代入消元法解二元一次方程组的两点“注意”
(1)在“用一个未知数表示另一个未知数”步骤中,注意选择未知数系数为1、-1或系数简单的方程;
(2)注意把变形后的方程要代入到没有变形的方程中去.
【重点2】用代入消元法解系数不为1的二元一次方程组(推理能力、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P59例1拓展)解方程组:
(1);
(2).
【自主解答】(1),
把①变形得y=,代入②得:3x+2×=8,解得x=,
把x=代入①得:y=,
所以原方程组的解为;
(2),
将①变形得y=,代入②得:-7x+9×=-,解得x=1,
把x=1代入①得:y=,
所以原方程组的解为.
【举一反三】
1.(2024·滨州博兴模拟)用代入消元法解方程组时,将②变形代入①中,所得的方程是(A)
A.4x-3()=7 B.4x+3(2x-3)=7
C.4x+3()=7 D.4x+(2x-3)=7
2.已知,则x的值为 ;y的值为 .
3.(2024·青岛城阳模拟)解方程组:
(1);
(2).
【解析】(1),
把②变形代入①,得2×()+3y=5,
解得y=1,把y=1代入②得x=1,
所以方程组的解是;
(2),
将②变形代入①,得4×+3y=1,解得y=-1,
把y=-1代入①,解得x=1,
所以方程组的解是.
【技法点拨】
代入消元法解系数不为1的二元一次方程组的基本步骤
1.确定要消的元;
2.用等式的性质,将要消的元的系数化为1;
3.用另一个未知数表示要消去的未知数:通过等式的基本性质变形;
4.将变形后的等式代入第二个等式中消元,解一元一次方程即可.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·抽象能力、推理能力)把2x+y-5=0改写成用含有x的代数式表示y的形式,下列选项正确的是(A)
A.y=-2x+5 B.y=2x-5
C.x= D.x=-2y+10
2.(3分·推理能力、运算能力)用代入消元法解关于x,y的方程组时,将方程①代入方程②正确的是(D)
A.2(4y-3)-3y=-1 B.4y-3-3y=-1
C.4y-3-3y=1 D.2(4y-3)-3y=1
3.(4分·抽象能力、推理能力)已知关于x,y的二元一次方程ax+by=5的部分解如表所示:
x 1 9 5
y 1 -1 0
则a-b的值为 -3 .
4.(5分·运算能力、推理能力)已知5ay+4b3x-1与-7a2x-2b1-2y是同类项,则x= 2 ,y= -2 .
5.(5分·运算能力、推理能力)已知关于x,y的方程xa-2-2ya-b+3=1是二元一次方程,求(a-b)3的值.
【解析】因为关于x,y的方程xa-2-2ya-b+3=1是二元一次方程,
所以,
解得,
所以(a-b)3=(3-5)3=-8.
训练升级,请使用 “课时过程性评价 十三”9.2 解二元一次方程组
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解加减消元法,会用加减消元法解二元一次方程组. 模型观念、运算能力
2.通过比较代入消元法与加减消元法的解题过程,能够灵活选择合适的方法解二元一次方程组. 抽象能力、模型观念
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
1.当二元一次方程组中同一个未知数的系数相等时,把这两个方程 相减 ,就可以消去这个未知数. 2.当二元一次方程组中同一个未知数的系数互为相反数时,把这两个方程 相加 ,就可以消去这个未知数. 1.(1)解关于x,y的二元一次方程组,由①-②可直接消去未知数y,则a和b满足的条件是(A) A.a=b B.ab=1 C.a+b=1 D.a+b=0 (2)解方程组,最简便的方法为(B) A.代入消元法 B.加减消元法 C.换元法 D.三种方法一样简便
3.用加减消元法解二元一次方程组 步骤具体做法目的 变形 加减 求解 回代 写解将方程的两边乘适当的数使两个方程的同一个未知数的系数 相等 或互为相反数 若方程组中同一个未知数的系数相等,则把两个方程 相减 ;若系数互为相反数,则把两个方程 相加 消去一个未知数,把二元一次方程变为一元一次方程解消元后的一元一次方程求出其中一个未知数的值把其中一个未知数的值代入方程组中的一个方程求出另一个未知数的值把两个未知数的值用大括号联立写出方程组的解
2.(1)用加减消元法解方程组正确消元后可得方程(B) A.6x-y=4 B.-y=4 C.-3y=2 D.-y=2 (2)用加减消元法解二元一次方程组时,下列方法中无法消元的是(C) A.①×2-②×5 B.①×3+②×2 C.①×1.5-② D.①-②×2.5 (3)方程组的解为 .
重点典例研析 学贵有方 进而有道
【重点1】直接加减解二元一次方程组(推理能力、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P62例3改编)解方程组:.
【自主解答】,
①+②得,-2y=6,解得y=-3,
把y=-3代入①得,-2x+3×(-3)=-1,解得x=-4,所以方程组的解为.
【举一反三】
1.已知|2x+y+3|+(x-y+3)2=0,则(x+y)2 024等于(B)
A.2 024 B.1
C.-1 D.-2 024
2.(2024·广西中考)解方程组:
【解析】,
①+②,得2x=4,解得x=2;
把x=2代入①,得2+2y=3,解得y=,
所以方程组的解为.
3.(2024·潍坊奎文质检)解方程组:
.
【解析】,
由②-①,得5y=-10,解得y=-2.
把y=-2代入①,得x-(-2)=4,
解得x=2.
所以原方程组的解为.
【技法点拨】
直接加减法适用情况
1.某未知量的系数相同或相反;
2.待求为多项式时,将方程组两方程直接相加减,凑出待求多项式的倍数.
【重点2】加减法解较复杂的二元一次方程组(抽象能力、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P63例4拓展)用加减消元法解方程组:
【自主解答】,
整理方程组,得,
由③×3得:9x+6y=-3⑤,
由④×2得:8x+6y=-4⑥,
⑤-⑥得:x=1,
把x=1代入③,得3+2y=-1,解得y=-2,
所以原方程组的解为
【举一反三】
1.(2024·青岛市北模拟)已知二元一次方程组,则x-y的值为(D)
A.1 B.-1
C.2 D.-2
2.关于x,y的二元一次方程组,小蕊用加减消元法消去未知数y,按照她的思路,用②×5+①得到的方程是 21x=-72 .
3.用加减消元法解方程组:
【解析】,
①×3-②得:-2x=-3,解得x=,
将x=代入①可解得y=-1,
所以原方程组的解为.
【技法点拨】
用加减消元法解二元一次方程组的技巧
(1)当同一个未知数的系数相同或互为相反数,则直接进行加减消元;
(2)当同一个未知数的系数的绝对值成倍数时,则只需将其中一个方程变形,再用加减消元法;
(3)当同一个未知数的系数的绝对值不成倍数时,将两个方程同时变形,再用加减消元法.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·运算能力)用加减消元法解二元一次方程组时,下列做法中无法消元的是(C)
A.①×2+②
B.①×5-②×3
C.①×3-②×5
D.①×(-5)+②×3
2.(3分·运算能力、推理能力)若关于x,y的二元一次方程ax+by-2=0的两个解分别是或,则a,b的值分别是(B)
A.1,0 B.1,-1 C.-1,1 D.1,2
3.(4分·抽象能力、推理能力)已知二元一次方程组,则xy= 4 .
4.(4分·应用意识、运算能力)王朋家里买了150斤大米和100斤面粉,吃了一个月后,发现吃的米和面粉一样多,而且剩的米刚好是面粉的6倍,则米剩 60 斤.
5.(6分·运算能力、推理能力)解方程组:
(1);(2).
【解析】(1)①+②×2得7x=7,解得x=1,把x=1代入②得3+y=2,得y=-1,
所以原方程组的解是;
(2)①×12得8m+9n=6③,
③-②×8得n=-50,
把n=-50代入②得m-50=7,
解得m=57,
所以原方程组的解是.
训练升级,请使用 “课时过程性评价 十四”
