第3课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解并掌握同底数幂的除法的运算法则,并能够熟练应用法则进行运算. 抽象能力、运算能力
2.类比同底数幂除法公式,推导出底数为整式的幂的运算方法,并能够进行运算. 应用意识、运算能力
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点
同底数幂的除法
(1)文字语言:同底数幂相除,底数不变,指数相减.
(2)符号语言:am÷an=am-n(a≠0,m,n为正整数,且m>n).
对点小练
1.a8÷a4=( )
A.a2 B.a4 C.a6 D.a12
2.若am=3,an=2,则am-n的值是( )
A.1.5 B.6 C.9 D.8
重点典例研析 启思凝智 教学相长
重点1同底数幂的除法(抽象能力、模型观念)
【典例1】(教材再开发·P89例5拓展)
计算:(1)(-a)5÷a3;
(2)xm÷x÷x;
(3)-x11÷(-x)6·(-x)5;
(4)(x-2y)4÷(2y-x)2÷(x-2y);
(5)a4÷a2+a·a-(3a)2.
【举一反三】
1.(2024·东营河口模拟)下列各式中,计算结果为a10的是( )
A.a5+a5 B.a20÷a2
C.a5·a5 D.
2.若3m+n=8,3m-n=2,则3n= .
3.(2024·潍坊奎文质检)计算:x10÷x2÷x3.
【技法点拨】
应用同底数幂的除法法则的步骤
1.观察是否满足同底数幂的形式;
2.化为同底数幂的形式;
3.底数不变,指数相减.
特别提醒
如果底数是积的形式,那么需要继续应用积的乘方计算.
重点2幂的混合运算(抽象能力、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P90补充例题)计算下列各题.
(1) (-)6÷(-)2;
(2)an·an+5÷a7(n是整数);
(3)162n÷82n÷4n(n是整数).
【举一反三】
1.(2024·青岛市北模拟)计算a2·a4÷(-a)2的结果是( )
A.a B.a4 C.-a2 D.a2
2.若3x=4,9y=7,则3x+2y= ,3x-2y= .
3.(2024·烟台莱阳模拟)(1)已知x3n=3,求+4的值.
(2)已知4a-3b-7=0,求32×92a+1÷27b的值.
【技法点拨】
底数为整式的幂的除法运算技巧
1.确认底数相同:多项式作为底数时,底数是否相同需要仔细观察,尤其是符号的异同.
2.可以化为同底数的幂:当指数存在公因数时,可以将幂化成幂的乘方的形式,从而将多个幂化成同底数的形式.
3.当除法运算中存在未知数时,可以将除法转化成乘法进行运算.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·运算能力、推理能力)下列运算正确的是( )
A.a2+a4=a6 B.a2·a4=a6
C.=a6 D.a6÷a3=a2
2.(3分·运算能力)计算(-1.8)8÷(-1.8)7的结果是( )
A.(-1.8)15 B.1.8
C.-1.8 D.1
3.(4分·抽象能力、推理能力)已知am+n=12,an=4,则am的值为 .
4.(4分·推理能力)若9a·27b÷81c=9,则2a+3b-4c的值为 .
5.(6分·运算能力、推理能力)计算:÷-·a.第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.通过探究同底数幂的乘法公式,推导出积的乘方公式,并能够用公式进行计算. 推理能力、运算能力
2.通过探究同底数幂的乘法公式,推导出幂的乘方公式,并能够用公式进行计算. 推理能力、运算能力
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点
1.积的乘方
(1)文字语言:积的乘方等于各因数乘方的积.
(2)符号语言:(ab)m=ambm(m为正整数).
对点小练
1.(3mn)2的运算结果正确的是(D)
A.3m2n2 B.6m2n2 C.9mn D.9m2n2
新知要点
2.幂的乘方
(1)文字语言:幂的乘方,底数不变,指数相乘.
(2)符号语言:=amn(m,n为正整数).
对点小练
2.下列运算正确的是(B)
A.a3-a2=a B.=a6
C.a3·a2=a6 D.=a5
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1积的乘方(抽象能力、应用意识)
【典例1】(教材再开发·P86例2拓展)计算:(-2xy)3+xy3-(-3xy)3.
【自主解答】原式=-8x3y3+xy3+27x3y3=19x3y3+xy3.
【举一反三】
1.计算:(-4a)3=(C)
A.-12a3 B.12a3 C.-64a3 D.64a3
2.计算:(xy)4= x4y4 .
【技法点拨】
积的乘方运算技巧
1.先根据指数确定符号;
2.系数不要忘记乘方.
重点2幂的乘方(抽象能力、模型观念)
【典例2】(教材再开发·P88例3拓展)根据下列条件回答问题.
(1)已知3×27n×81n=918,求n的值;
(2)已知x=-5,y=,求x2·x4n·的值.
【自主解答】(1)3×27n×81n=918,
所以3××=,
所以3×33n×34n=336,
所以31+3n+4n=336,
所以1+3n+4n=36,所以7n=35,所以n=5;
(2)因为x=-5,y=,
所以x2·x4n·
=x2·x4n·y4n
=(-5)2·(xy)4n
=25×(-5×)4n
=25×(-1)4n
=25×1
=25.
【举一反三】
1.(2024·潍坊奎文模拟)如果4n=28,那么n的值是(A)
A.4 B.3 C.2 D.无法确定
2.若a3·=a9,则m的值为 3 .
3.(2024·聊城东昌府质检)已知10a=3,10b=2,求值:
(1)102a+103b;
(2)102a+3b.
【解析】(1)因为10a=3,10b=2,
所以102a+103b
=+
=32+23
=9+8
=17;
(2)因为10a=3,10b=2,
所以102a+3b
=102a×103b
=×
=32×23
=9×8
=72.
【技法点拨】
幂的乘方的运算技巧
1.=,指数可以互换.
2.几个指数不同的幂的运算,通常可以找出指数中的公因数,化成指数相同的幂,进行运算.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·运算能力、推理能力)下列计算正确的是(D)
A.x3·x4=x12 B.=x7
C.(xy)2=xy2 D.3×33×34=38
2.(3分·运算能力)计算的正确结果是(B)
A.8x6 B.16x6
C.-16x6 D.16x5
3.(3分·推理能力、运算能力)若2·8x=27,则x的值为 2 .
4.(3分·运算能力、推理能力)22 024×(0.125)675= .
5.(8分·推理能力、运算能力)(1)若2×8x×16x=222,求x的值.
(2)比较255,333,522的大小,并说明理由.
【解析】(1)因为2×8x×16x=2×23x×24x=27x+1,
所以222=27x+1,所以7x+1=22,
解得x=3,所以x的值为3;
(2)因为255==3211,333==2711,522==2511,32>27>25,
所以255>333>522.
训练升级,请使用 “课时过程性评价 十九”第4课时
课时学习目标 素养目标达成
1.类比同底数幂除法公式,推导出零指数幂的意义,并能够用公式进行运算. 抽象能力、模型观念
2.类比同底数幂除法公式,推导出负指数幂的意义,并能够用公式进行运算. 抽象能力、模型观念
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点
1.零指数幂
文字语言:任何不等于零的数的0次幂都等于1.
符号语言:a0=1(a≠0).
对点小练
1.计算(1-3)0的结果是( )
A.-2 B.0 C.1 D.4
新知要点
2.负整数指数幂
文字语言:不等于零的数的-p(p是正整数)次幂等于这个数的p次幂的倒数.
符号语言:a-p=(a≠0,p是正整数).
对点小练
2.2-3可以表示为( )
A.2×2×2 B.(-2)×(-2)×(-2)
C.2÷2÷2 D.
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
重点1零指数幂(抽象能力、模型观念)
【典例1】(教材再开发·P91例6拓展)计算:
(1)-12 024+22-(3-π)0;
(2)2 0250-32+4.
【举一反三】
1.(2024·东营利津模拟)计算(π+3)0+1的结果是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
2.(2024·烟台海阳质检)计算:
(1)+(2 025-1)0-3.
(2)2+(-1)3-(π-0.2)0.
【技法点拨】
零指数幂的运算技巧
1.底数不能为零;
2.底数无论是整式还是数,只要非零,结果必定是1;
3.零指数幂的底数的正负号不需要考虑,结果必为1.
重点2负整数指数幂(运算能力)
【典例2】(教材再开发·P91例6拓展)计算:
(1)(-1)2 024-16×2-4+30÷32;
(2)(-x)5·x-2+x·(-x)2.
【举一反三】
1.(2024·青岛市北模拟)计算:-a2b·(ab)-1=( )
A.-a B.a3b2
C.a D.-a3b2
2.(2024·聊城茌平模拟)计算:(-0.25)2 024×42 024-(3.14-π)0-+|-2|.
【技法点拨】
负整数指数幂的运算技巧
1.a-p==(a≠0,p是正整数);
2.分数的负整数指数幂,通常先将底数变为其倒数,再进行计算;
3.负整数指数幂的正负要根据指数的绝对值的奇偶确定,当底数为正时,幂为正;当底数为负时,指数的绝对值为偶数,幂为正,指数的绝对值为奇数,幂为负.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·运算能力、推理能力)下列计算正确的是( )
A.×(-5)=2 B.4-8=-4
C.2-3=8 D.(-2 017)0=0
2.(3分·运算能力、推理能力)若a=-0.22,b=(-)-2,c=(-2)0,则它们的大小关系是( )
A.c
C.a3.(4分·抽象能力、推理能力)计算:= .
4.(5分·运算能力、推理能力)若+(y+3)2=0,则yx= .
5.(5分·运算能力、推理能力)计算:
(1)(2 024-π)0++(-2).
(2)--×43.第5课时
课时学习目标 素养目标达成
1.掌握整数指数幂的运算公式,并能进行计算. 抽象能力、模型观念
2.能用科学记数法表示绝对值小于1的非零数,并能够解决实际问题. 应用意识、运算能力
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点
1.整数指数幂
引入零指数和负整数指数后,原有的幂的运算性质中指数的范围可以推广到整数,
即am·an= (m,n为整数);
am÷an= (m,n为整数);
(am)n= (m,n为整数);
(ab)m= (m为整数).
对点小练
1.计算(-a)2·2a的结果是( )
A.-2a3 B.-2a2 C.2a3 D.2a2
新知要点
2.用科学记数法表示绝对值小于1的非零数
一个绝对值小于1的非零小数可以记作±a×10-n的形式,其中1≤a<10,n是正整数.这种记数方法,是绝对值小于1的非零小数的科学记数法.
对点小练
2.随着微电子制造技术的不断进步,电子元件的尺寸大幅度缩小,在芯片上某种电子元件大约只占0.000 006 4 mm2,0.000 006 4这个数用科学记数法表示为( )
A.0.64×10-5 B.6.4×10-5
C.6.4×10-6 D.64×10-7
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1整数指数幂的运算(抽象能力、模型观念)
【典例1】(教材再开发·P93例8改编)计算:
(1)a5b2·(-9a-2b);
(2)4-1×4-2÷5×70.
【自主解答】(1)原式=-9a5-2b2+1=-9a3b3.
(2)原式=4-3÷5×1=×=.
【举一反三】
1.若n为整数,则下列运算结果不是1的为( )
A.1n B.(-1)2n
C.(π-3)0 D.(-1)2n+1
2.计算:30÷3-1×3-4= .
3.计算:24÷2-3+(π-2)0×(-)-1.
【解析】原式=27+1×(-3)
=128-3
=125.
【技法点拨】
整数指数幂的运算技巧
1.简化底数:当底数为带分数或者小数时,尽量化为假分数或整数,如果底数可以表示为某个数的幂的形式,则先将其化为幂的形式;
2.化同底化同指:当幂的底数可以化成相同的数时,按照同底数幂乘除法运算,当幂的指数可以化为相同的数时,按照积的幂运算公式进行运算;
3.注意0指数幂的值及限制;
4.先确定算式的正负,再进行计算.
重点2用科学记数法表示绝对值小于1的非零数(抽象能力、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P94例9拓展)一个正方体集装箱的棱长为0.8米.
(1)这个集装箱的体积是多少 (用科学记数法表示)
(2)若有一个小立方块的棱长为2×10-2米,则需要多少个这样的小立方块才能将集装箱装满
【举一反三】
1.(2024·青岛崂山模拟)红细胞的平均直径是0.000 007 2 m,0.000 007 2这个数用科学记数法可表示为( )
A.0.72×10-5 B.7.2×10-5
C.7.2×10-6 D.72×10-7
2.蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料,其厚度约为0.000 007 03 m,用科学记数法表示为 m.
3.(2024·烟台莱山模拟)用科学记数法表示下列各数.
(1)0.000 000 046 7; (2)-0.000 020 8.
【技法点拨】
用科学记数法表示绝对值小于1的非零数的技巧
1.基本形式:a×10-n(1≤|a|<10),n的值与第一位有效数字之前的零的个数相同(包含第一个零);
2.用科学记数法表示的数的符号与原数符号相同.
素养当堂测评 (10分钟·15分)
1.(3分·运算能力、推理能力)下列运算正确的是( )
A.3a+3a=3a2 B.a-3·a2=a-6
C.=-9a6 D.a6÷a-3=a9
2.(3分·运算能力、推理能力)石墨烯目前是世界上最薄、最坚硬的纳米材料,其理论厚度约为0.000 000 000 34米,这个数用科学记数法表示为( )
A.3.4×10-10 B.3.4×10-9
C.3.4×109 D.3.4×1010
3.(4分·抽象能力、推理能力)新定义一种运算,其法则为=a3d2÷bc,则= .
4.(5分·运算能力、推理能力)计算或化简:
(1)20+(-1)2 025-;
(2)÷;
(3)-8a2b·(-a3b2)·b-2.10.1 幂的运算
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.通过观察实例,对比幂的定义,推导出同底数幂相乘的公式. 抽象能力、模型观念
2.能够用同底数幂相乘的公式进行运算,能用科学记数法表示运算结果. 应用意识、运算能力
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点
同底数幂的乘法
1.文字语言:同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
2.符号语言:am·an=am+n(m,n为正整数).
对点小练
计算:a·a2结果正确的是(C)
A.2a3 B.2a2 C.a3 D.a2
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
重点1同底数幂乘法(抽象能力、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P84例1拓展)计算:(-x)3·(-x)2-m3·m2·(-m)3.
【自主解答】(-x)3·(-x)2-m3·m2·(-m)3
=(-x)5-m5·(-m3)
=-x5+m8.
【举一反三】
1.(2024·东营河口模拟)下列式子计算正确的是(B)
A.x2+x3=x5 B.x2·x3=x5
C.x2·x3=x6 D.x2+x3=2x5
2.a2·a3·a4= a9 .
3.(2024·潍坊奎文质检)计算:-p2·(-p)4·(-p)5.
【解析】-p2·(-p)4·(-p)5
=-p2·p4·(-p5)
=p2·p4·p5
=p2+4+5
=p11.
【技法点拨】
同底数幂乘法的计算方法
1.确定相同底数的幂;
2.确定各个幂的符号;
3.确定式子的符号;
4.同底数幂相乘.
重点2同底数幂乘法法则的运用(抽象能力、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P85T2改编)卫星绕地球运行的速度(第一宇宙速度)为7.9×103米/秒,求卫星绕地球运行5×103秒后所经过的路程是 3.95×107 米(用科学记数法表示).
【举一反三】
1.(2024·青岛市北模拟)光在真空中的速度约为3×108m/s,太阳光照射到地球上大约需要5×102s.地球距离太阳大约有(B)
A.15×1011 m B.1.5×1011 m
C.15×1016 m D.1.5×1016 m
2.如果一个长方体的长、宽、高分别是x3,x,x2,那么这个长方体的体积为 x6 .
3.(2024·潍坊潍城模拟)计算(结果用科学记数法表示):
(1)8.4×103-4.8×104;
(2)(5.2×104)×(2.5×10).
【解析】(1)原式=(0.84-4.8)×104=-3.96×104;
(2)原式=(5.2×2.5)×(104×10)=13×105=1.3×106.
【技法点拨】
用科学记数法表示数的技巧
1.万为104,亿为108;
2.10的次数为数的位数减1;
3.大数带单位时,如:3000万,可以先用科学记数法表示大数,然后再乘104即可.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·运算能力、推理能力)若2x+y-3=0,则52x·5y=(C)
A.15 B.75 C.125 D.150
2.(3分·推理能力、运算能力)已知3m=4,3n=6,则3m+n=(C)
A.10 B.-2 C.24 D.
3.(4分·抽象能力、应用意识)1千克镭完全蜕变后,放出的热量相当于3.75×105千克煤放出的热量,4×108千克镭完全蜕变后放出的热量相当于 1.5×1014 千克煤放出的热量.
4.(5分·运算能力、推理能力)计算:(-8×104)×(2×105)= -1.6×1010 .(结果用科学记数法表示)
5.(5分·推理能力、运算能力)已知:x+2y=7,化简a3x·a6y.
【解析】a3x·a6y=a3x+6y=a3(x+2y),
因为x+2y=7,
所以a3x·a6y=a3(x+2y)=a21.
训练升级,请使用 “课时过程性评价 十八”第4课时
课时学习目标 素养目标达成
1.类比同底数幂除法公式,推导出零指数幂的意义,并能够用公式进行运算. 抽象能力、模型观念
2.类比同底数幂除法公式,推导出负指数幂的意义,并能够用公式进行运算. 抽象能力、模型观念
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点
1.零指数幂
文字语言:任何不等于零的数的0次幂都等于1.
符号语言:a0=1(a≠0).
对点小练
1.计算(1-3)0的结果是(C)
A.-2 B.0 C.1 D.4
新知要点
2.负整数指数幂
文字语言:不等于零的数的-p(p是正整数)次幂等于这个数的p次幂的倒数.
符号语言:a-p=(a≠0,p是正整数).
对点小练
2.2-3可以表示为(D)
A.2×2×2 B.(-2)×(-2)×(-2)
C.2÷2÷2 D.
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
重点1零指数幂(抽象能力、模型观念)
【典例1】(教材再开发·P91例6拓展)计算:
(1)-12 024+22-(3-π)0;
(2)2 0250-32+4.
【自主解答】(1)原式=-1+4-1=2;
(2)原式=1-9+4=-4.
【举一反三】
1.(2024·东营利津模拟)计算(π+3)0+1的结果是(B)
A.3 B.2 C.1 D.0
2.(2024·烟台海阳质检)计算:
(1)+(2 025-1)0-3.
(2)2+(-1)3-(π-0.2)0.
【解析】(1)原式=1+1-3=-1.
(2)原式=2-1-1=0.
【技法点拨】
零指数幂的运算技巧
1.底数不能为零;
2.底数无论是整式还是数,只要非零,结果必定是1;
3.零指数幂的底数的正负号不需要考虑,结果必为1.
重点2负整数指数幂(运算能力)
【典例2】(教材再开发·P91例6拓展)计算:
(1)(-1)2 024-16×2-4+30÷32;
(2)(-x)5·x-2+x·(-x)2.
【自主解答】(1)(-1)2 024-16×2-4+30÷32
=1-16×+1÷9=1-1+=;
(2)(-x)5·x-2+x·(-x)2=-x3+x3=0.
【举一反三】
1.(2024·青岛市北模拟)计算:-a2b·(ab)-1=(A)
A.-a B.a3b2
C.a D.-a3b2
2.(2024·聊城茌平模拟)计算:(-0.25)2 024×42 024-(3.14-π)0-+|-2|.
【解析】原式=(-0.25×4)2 024-1-9+2
=1-1-9+2
=-7.
【技法点拨】
负整数指数幂的运算技巧
1.a-p==(a≠0,p是正整数);
2.分数的负整数指数幂,通常先将底数变为其倒数,再进行计算;
3.负整数指数幂的正负要根据指数的绝对值的奇偶确定,当底数为正时,幂为正;当底数为负时,指数的绝对值为偶数,幂为正,指数的绝对值为奇数,幂为负.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·运算能力、推理能力)下列计算正确的是(B)
A.×(-5)=2 B.4-8=-4
C.2-3=8 D.(-2 017)0=0
2.(3分·运算能力、推理能力)若a=-0.22,b=(-)-2,c=(-2)0,则它们的大小关系是(C)
A.cC.a3.(4分·抽象能力、推理能力)计算:= 1 .
4.(5分·运算能力、推理能力)若+(y+3)2=0,则yx= .
5.(5分·运算能力、推理能力)计算:
(1)(2 024-π)0++(-2).
(2)--×43.
【解析】(1)原式=1-2-2=-3.
(2)原式=4-1-×64=4-1-4=-1.
训练升级,请使用 “课时过程性评价 二十一”第3课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解并掌握同底数幂的除法的运算法则,并能够熟练应用法则进行运算. 抽象能力、运算能力
2.类比同底数幂除法公式,推导出底数为整式的幂的运算方法,并能够进行运算. 应用意识、运算能力
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点
同底数幂的除法
(1)文字语言:同底数幂相除,底数不变,指数相减.
(2)符号语言:am÷an=am-n(a≠0,m,n为正整数,且m>n).
对点小练
1.a8÷a4=(B)
A.a2 B.a4 C.a6 D.a12
2.若am=3,an=2,则am-n的值是(A)
A.1.5 B.6 C.9 D.8
重点典例研析 启思凝智 教学相长
重点1同底数幂的除法(抽象能力、模型观念)
【典例1】(教材再开发·P89例5拓展)
计算:(1)(-a)5÷a3;
(2)xm÷x÷x;
(3)-x11÷(-x)6·(-x)5;
(4)(x-2y)4÷(2y-x)2÷(x-2y);
(5)a4÷a2+a·a-(3a)2.
【自主解答】(1)原式=-a5-3=-a2.
(2)原式=xm-1-1=xm-2.
(3)原式=-x11÷x6·(-x5)=x11-6+5=x10.
(4)原式=(x-2y)4÷(x-2y)2÷(x-2y)=(x-2y)4-2-1=x-2y.
(5)原式=a2+a2-9a2=-7a2.
【举一反三】
1.(2024·东营河口模拟)下列各式中,计算结果为a10的是(C)
A.a5+a5 B.a20÷a2
C.a5·a5 D.
2.若3m+n=8,3m-n=2,则3n= 2 .
3.(2024·潍坊奎文质检)计算:x10÷x2÷x3.
【解析】x10÷x2÷x3
=x10-2-3
=x5.
【技法点拨】
应用同底数幂的除法法则的步骤
1.观察是否满足同底数幂的形式;
2.化为同底数幂的形式;
3.底数不变,指数相减.
特别提醒
如果底数是积的形式,那么需要继续应用积的乘方计算.
重点2幂的混合运算(抽象能力、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P90补充例题)计算下列各题.
(1) (-)6÷(-)2;
(2)an·an+5÷a7(n是整数);
(3)162n÷82n÷4n(n是整数).
【自主解答】(1)原式=(-)4=;
(2)原式=a2n+5÷a7=a2n-2;
(3)原式=÷÷=28n÷26n÷22n=1.
【举一反三】
1.(2024·青岛市北模拟)计算a2·a4÷(-a)2的结果是(B)
A.a B.a4 C.-a2 D.a2
2.若3x=4,9y=7,则3x+2y= 28 ,3x-2y= .
3.(2024·烟台莱阳模拟)(1)已知x3n=3,求+4的值.
(2)已知4a-3b-7=0,求32×92a+1÷27b的值.
【解析】(1)+4
=-8x6n+4x6n
=-4x6n
=-4,
把x3n=3代入得,原式=-4×32=-36.
(2)因为4a-3b-7=0,
所以4a-3b=7,
所以32×92a+1÷27b
=32×÷
=32×34a+2÷33b
=34a-3b+4
=37+4
=311.
【技法点拨】
底数为整式的幂的除法运算技巧
1.确认底数相同:多项式作为底数时,底数是否相同需要仔细观察,尤其是符号的异同.
2.可以化为同底数的幂:当指数存在公因数时,可以将幂化成幂的乘方的形式,从而将多个幂化成同底数的形式.
3.当除法运算中存在未知数时,可以将除法转化成乘法进行运算.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·运算能力、推理能力)下列运算正确的是(B)
A.a2+a4=a6 B.a2·a4=a6
C.=a6 D.a6÷a3=a2
2.(3分·运算能力)计算(-1.8)8÷(-1.8)7的结果是(C)
A.(-1.8)15 B.1.8
C.-1.8 D.1
3.(4分·抽象能力、推理能力)已知am+n=12,an=4,则am的值为 3 .
4.(4分·推理能力)若9a·27b÷81c=9,则2a+3b-4c的值为 2 .
5.(6分·运算能力、推理能力)计算:÷-·a.
【解析】÷-·a
=a15÷a6-4a8·a
=a9-4a9
=-3a9.
训练升级,请使用 “课时过程性评价 二十”第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.通过探究同底数幂的乘法公式,推导出积的乘方公式,并能够用公式进行计算. 推理能力、运算能力
2.通过探究同底数幂的乘法公式,推导出幂的乘方公式,并能够用公式进行计算. 推理能力、运算能力
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点
1.积的乘方
(1)文字语言:积的乘方等于各因数乘方的积.
(2)符号语言:(ab)m=ambm(m为正整数).
对点小练
1.(3mn)2的运算结果正确的是( )
A.3m2n2 B.6m2n2 C.9mn D.9m2n2
新知要点
2.幂的乘方
(1)文字语言:幂的乘方,底数不变,指数相乘.
(2)符号语言:=amn(m,n为正整数).
对点小练
2.下列运算正确的是( )
A.a3-a2=a B.=a6
C.a3·a2=a6 D.=a5
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1积的乘方(抽象能力、应用意识)
【典例1】(教材再开发·P86例2拓展)计算:(-2xy)3+xy3-(-3xy)3.
【自主解答】原式=-8x3y3+xy3+27x3y3=19x3y3+xy3.
【举一反三】
1.计算:(-4a)3=( )
A.-12a3 B.12a3 C.-64a3 D.64a3
2.计算:(xy)4= .
【技法点拨】
积的乘方运算技巧
1.先根据指数确定符号;
2.系数不要忘记乘方.
重点2幂的乘方(抽象能力、模型观念)
【典例2】(教材再开发·P88例3拓展)根据下列条件回答问题.
(1)已知3×27n×81n=918,求n的值;
(2)已知x=-5,y=,求x2·x4n·的值.
【举一反三】
1.(2024·潍坊奎文模拟)如果4n=28,那么n的值是( )
A.4 B.3 C.2 D.无法确定
2.若a3·=a9,则m的值为 .
3.(2024·聊城东昌府质检)已知10a=3,10b=2,求值:
(1)102a+103b;
(2)102a+3b.
【技法点拨】
幂的乘方的运算技巧
1.=,指数可以互换.
2.几个指数不同的幂的运算,通常可以找出指数中的公因数,化成指数相同的幂,进行运算.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·运算能力、推理能力)下列计算正确的是( )
A.x3·x4=x12 B.=x7
C.(xy)2=xy2 D.3×33×34=38
2.(3分·运算能力)计算的正确结果是( )
A.8x6 B.16x6
C.-16x6 D.16x5
3.(3分·推理能力、运算能力)若2·8x=27,则x的值为 .
4.(3分·运算能力、推理能力)22 024×(0.125)675= .
5.(8分·推理能力、运算能力)(1)若2×8x×16x=222,求x的值.
(2)比较255,333,522的大小,并说明理由.10.1 幂的运算
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.通过观察实例,对比幂的定义,推导出同底数幂相乘的公式. 抽象能力、模型观念
2.能够用同底数幂相乘的公式进行运算,能用科学记数法表示运算结果. 应用意识、运算能力
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点
同底数幂的乘法
1.文字语言:同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
2.符号语言:am·an=am+n(m,n为正整数).
对点小练
计算:a·a2结果正确的是( )
A.2a3 B.2a2 C.a3 D.a2
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
重点1同底数幂乘法(抽象能力、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P84例1拓展)计算:(-x)3·(-x)2-m3·m2·(-m)3.
【举一反三】
1.(2024·东营河口模拟)下列式子计算正确的是( )
A.x2+x3=x5 B.x2·x3=x5
C.x2·x3=x6 D.x2+x3=2x5
2.a2·a3·a4= .
3.(2024·潍坊奎文质检)计算:-p2·(-p)4·(-p)5.
【技法点拨】
同底数幂乘法的计算方法
1.确定相同底数的幂;
2.确定各个幂的符号;
3.确定式子的符号;
4.同底数幂相乘.
重点2同底数幂乘法法则的运用(抽象能力、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P85T2改编)卫星绕地球运行的速度(第一宇宙速度)为7.9×103米/秒,求卫星绕地球运行5×103秒后所经过的路程是 米(用科学记数法表示).
【举一反三】
1.(2024·青岛市北模拟)光在真空中的速度约为3×108m/s,太阳光照射到地球上大约需要5×102s.地球距离太阳大约有( )
A.15×1011 m B.1.5×1011 m
C.15×1016 m D.1.5×1016 m
2.如果一个长方体的长、宽、高分别是x3,x,x2,那么这个长方体的体积为 .
3.(2024·潍坊潍城模拟)计算(结果用科学记数法表示):
(1)8.4×103-4.8×104;
(2)(5.2×104)×(2.5×10).
【技法点拨】
用科学记数法表示数的技巧
1.万为104,亿为108;
2.10的次数为数的位数减1;
3.大数带单位时,如:3000万,可以先用科学记数法表示大数,然后再乘104即可.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·运算能力、推理能力)若2x+y-3=0,则52x·5y=( )
A.15 B.75 C.125 D.150
2.(3分·推理能力、运算能力)已知3m=4,3n=6,则3m+n=( )
A.10 B.-2 C.24 D.
3.(4分·抽象能力、应用意识)1千克镭完全蜕变后,放出的热量相当于3.75×105千克煤放出的热量,4×108千克镭完全蜕变后放出的热量相当于 千克煤放出的热量.
4.(5分·运算能力、推理能力)计算:(-8×104)×(2×105)= .(结果用科学记数法表示)
5.(5分·推理能力、运算能力)已知:x+2y=7,化简a3x·a6y.第5课时
课时学习目标 素养目标达成
1.掌握整数指数幂的运算公式,并能进行计算. 抽象能力、模型观念
2.能用科学记数法表示绝对值小于1的非零数,并能够解决实际问题. 应用意识、运算能力
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点
1.整数指数幂
引入零指数和负整数指数后,原有的幂的运算性质中指数的范围可以推广到整数,
即am·an= am+n (m,n为整数);
am÷an= am-n (m,n为整数);
(am)n= amn (m,n为整数);
(ab)m= ambm (m为整数).
对点小练
1.计算(-a)2·2a的结果是(C)
A.-2a3 B.-2a2 C.2a3 D.2a2
新知要点
2.用科学记数法表示绝对值小于1的非零数
一个绝对值小于1的非零小数可以记作±a×10-n的形式,其中1≤a<10,n是正整数.这种记数方法,是绝对值小于1的非零小数的科学记数法.
对点小练
2.随着微电子制造技术的不断进步,电子元件的尺寸大幅度缩小,在芯片上某种电子元件大约只占0.000 006 4 mm2,0.000 006 4这个数用科学记数法表示为(C)
A.0.64×10-5 B.6.4×10-5
C.6.4×10-6 D.64×10-7
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1整数指数幂的运算(抽象能力、模型观念)
【典例1】(教材再开发·P93例8改编)计算:
(1)a5b2·(-9a-2b);
(2)4-1×4-2÷5×70.
【自主解答】(1)原式=-9a5-2b2+1=-9a3b3.
(2)原式=4-3÷5×1=×=.
【举一反三】
1.若n为整数,则下列运算结果不是1的为(D)
A.1n B.(-1)2n
C.(π-3)0 D.(-1)2n+1
2.计算:30÷3-1×3-4= .
3.计算:24÷2-3+(π-2)0×(-)-1.
【解析】原式=27+1×(-3)
=128-3
=125.
【技法点拨】
整数指数幂的运算技巧
1.简化底数:当底数为带分数或者小数时,尽量化为假分数或整数,如果底数可以表示为某个数的幂的形式,则先将其化为幂的形式;
2.化同底化同指:当幂的底数可以化成相同的数时,按照同底数幂乘除法运算,当幂的指数可以化为相同的数时,按照积的幂运算公式进行运算;
3.注意0指数幂的值及限制;
4.先确定算式的正负,再进行计算.
重点2用科学记数法表示绝对值小于1的非零数(抽象能力、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P94例9拓展)一个正方体集装箱的棱长为0.8米.
(1)这个集装箱的体积是多少 (用科学记数法表示)
(2)若有一个小立方块的棱长为2×10-2米,则需要多少个这样的小立方块才能将集装箱装满
【自主解答】(1)因为正方体集装箱的棱长为0.8米,
所以该集装箱的体积为0.8×0.8×0.8=0.512=5.12×10-1(立方米).
答:这个集装箱的体积为5.12×10-1立方米.
(2)因为小立方块的棱长为2×10-2米,
所以装满集装箱需要=64 000个小立方块.
答:需要64 000个小立方块才能将集装箱装满.
【举一反三】
1.(2024·青岛崂山模拟)红细胞的平均直径是0.000 007 2 m,0.000 007 2这个数用科学记数法可表示为(C)
A.0.72×10-5 B.7.2×10-5
C.7.2×10-6 D.72×10-7
2.蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料,其厚度约为0.000 007 03 m,用科学记数法表示为 7.03×10-6 m.
3.(2024·烟台莱山模拟)用科学记数法表示下列各数.
(1)0.000 000 046 7; (2)-0.000 020 8.
【解析】(1)0.000 000 046 7用科学记数法表示为4.67×10-8;
(2)-0.000 020 8用科学记数法表示为-2.08×10-5.
【技法点拨】
用科学记数法表示绝对值小于1的非零数的技巧
1.基本形式:a×10-n(1≤|a|<10),n的值与第一位有效数字之前的零的个数相同(包含第一个零);
2.用科学记数法表示的数的符号与原数符号相同.
素养当堂测评 (10分钟·15分)
1.(3分·运算能力、推理能力)下列运算正确的是(D)
A.3a+3a=3a2 B.a-3·a2=a-6
C.=-9a6 D.a6÷a-3=a9
2.(3分·运算能力、推理能力)石墨烯目前是世界上最薄、最坚硬的纳米材料,其理论厚度约为0.000 000 000 34米,这个数用科学记数法表示为(A)
A.3.4×10-10 B.3.4×10-9
C.3.4×109 D.3.4×1010
3.(4分·抽象能力、推理能力)新定义一种运算,其法则为=a3d2÷bc,则= x9 .
4.(5分·运算能力、推理能力)计算或化简:
(1)20+(-1)2 025-;
(2)÷;
(3)-8a2b·(-a3b2)·b-2.
【解析】(1)原式=1+(-1)-2
=1-1-2
=-2;
(2)原式=a6n÷(-a-3n-3)
=-a6n+3n+3
=-a9n+3;
(3)原式=8a5b3·b-2=2a5b.
训练升级,请使用 “课时过程性评价 二十二”