11.1 因式分解
11.2 提公因式法
课时学习目标 素养目标达成
1.了解因式分解的概念及因式分解与整式乘法之间的关系 模型观念
2.了解公因式概念和提公因式的方法 运算能力
3.能用提公因式法分解因式 运算能力
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
1.公因式:在一个多项式中,各项都含有的 . 1.多项式2mn2+mn中各项的公因式是( ) A.2m B.mn C.2mn D.mn2
2.分解因式:把一个多项式化成几个 的形式. 2.下列等式从左到右的变形是因式分解的是( ) A.x2-x+1=x(x-1)+1 B.(2x+3y)(2x-3y)=4x2-9y2 C.x2+y2=(x+y)2-2xy D.x2+6x+9=(x+3)2
3.提公因式法:如果一个多项式的各项有 ,可以把这个 提取出来,将多项式写成公因式与另一个因式 的形式. 3.把多项式x2+2x因式分解,正确的是( ) A.x(x+2) B.x(x-2) C.2(x+2) D.2(x-2)
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
【重点1】因式分解
【典例1】下列各式从左边到右边的变形,哪些是整式乘法 哪些是因式分解 哪些两者都不是
①am+bm+cm+n=m(a+b+c)+n;
②ay2-2ay+a=a(y-1)2;
③(x+4)(x-4)=x2-16;
④x2-y2+1=(x+y)(x-y)+1.
【举一反三】
1.下列式子从左到右的变形属于因式分解的是( )
A.x2-5x+6=x(x-5)+6
B.8x2y3=2x2·4y3
C.(x-2)(x-3)=x2-5x+6
D.x2+2x+1=(x+1)2
2.若x2+mx+4=(x-2)2,则下列结论正确的是( )
A.等式从左到右的变形是乘法公式,m=4
B.等式从左到右的变形是因式分解,m=4
C.等式从左到右的变形是乘法公式,m=-4
D.等式从左到右的变形是因式分解,m=-4
3.若多项式x2+ax+b可分解为(x+1)(x-2),试求a,b的值.
【重点2】提公因式法因式分解(抽象能力、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P118例1拓展)分解因式:
(1)-3ma3+6ma2-12ma;
(2)4x2y3+8x2y2z-12xy2z.
【举一反三】
1.(2024·青岛城阳模拟)把多项式m2(a-2)+m(2-a)分解因式正确的是( )
A.(a-2)(m2+m) B.m(a-2)(m+1)
C.m(a-2)(m-1) D.(2-a)(m2+m)
2.因式分解:-5x2y2+10xy2-15x2y= .
3.分解因式:
(1)6p(p+q)-4q(q+p);
(2)5x(x-2y)3-20y(2y-x)3.
【技法点拨】
“三定”原则找出多项式的公因式
1.定系数:公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母:字母取多项式各项中都含有的相同的字母.
3.定指数:相同字母的指数取各项中最小的一个,即字母的最低次数.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·抽象能力)多项式3m2+6mn的公因式是( )
A.3 B.m C.3m D.3n
2.(3分·推理能力、运算能力)利用因式分解计算2 023×2 024-2 0232的结果为( )
A.1 B.2 023 C.2 024 D.2 0232
3.(4分·推理能力、运算能力)因式分解2x2y-xy2= .
4.(5分·推理能力、运算能力)已知实数a,b满足a+b=6,ab=9,则a2b+ab2的值为 .
5.(5分·推理能力、运算能力)下列从左到右的变形中,哪些是因式分解 哪些不是
(1)24x2y=4x·6xy;
(2)(x+5)(x-5)=x2-25;
(3)x2+2x-3=(x+3)(x-1);
(4)9x2-6x+1=3x(3x-2)+1;
(5)x2+1=x(x+).11.1 因式分解
11.2 提公因式法
课时学习目标 素养目标达成
1.了解因式分解的概念及因式分解与整式乘法之间的关系 模型观念
2.了解公因式概念和提公因式的方法 运算能力
3.能用提公因式法分解因式 运算能力
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
1.公因式:在一个多项式中,各项都含有的 相同因式 . 1.多项式2mn2+mn中各项的公因式是(B) A.2m B.mn C.2mn D.mn2
2.分解因式:把一个多项式化成几个 整式的乘积 的形式. 2.下列等式从左到右的变形是因式分解的是(D) A.x2-x+1=x(x-1)+1 B.(2x+3y)(2x-3y)=4x2-9y2 C.x2+y2=(x+y)2-2xy D.x2+6x+9=(x+3)2
3.提公因式法:如果一个多项式的各项有 公因式 ,可以把这个 公因式 提取出来,将多项式写成公因式与另一个因式 乘积 的形式. 3.把多项式x2+2x因式分解,正确的是(A) A.x(x+2) B.x(x-2) C.2(x+2) D.2(x-2)
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
【重点1】因式分解
【典例1】下列各式从左边到右边的变形,哪些是整式乘法 哪些是因式分解 哪些两者都不是
①am+bm+cm+n=m(a+b+c)+n;
②ay2-2ay+a=a(y-1)2;
③(x+4)(x-4)=x2-16;
④x2-y2+1=(x+y)(x-y)+1.
【自主解答】①am+bm+cm+n=m(a+b+c)+n,两者都不是;
②ay2-2ay+a=a(y-1)2,是因式分解;
③(x+4)(x-4)=x2-16,是整式乘法;
④x2-y2+1=(x+y)(x-y)+1,两者都不是.
综上,③是整式乘法,②是因式分解,①④两者都不是.
【举一反三】
1.下列式子从左到右的变形属于因式分解的是(D)
A.x2-5x+6=x(x-5)+6
B.8x2y3=2x2·4y3
C.(x-2)(x-3)=x2-5x+6
D.x2+2x+1=(x+1)2
2.若x2+mx+4=(x-2)2,则下列结论正确的是(D)
A.等式从左到右的变形是乘法公式,m=4
B.等式从左到右的变形是因式分解,m=4
C.等式从左到右的变形是乘法公式,m=-4
D.等式从左到右的变形是因式分解,m=-4
3.若多项式x2+ax+b可分解为(x+1)(x-2),试求a,b的值.
【解析】由题意,得x2+ax+b=(x+1)(x-2).
而(x+1)(x-2)=x2-x-2,
所以x2+ax+b=x2-x-2.
比较两边系数,得a=-1,b=-2.
【重点2】提公因式法因式分解(抽象能力、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P118例1拓展)分解因式:
(1)-3ma3+6ma2-12ma;
(2)4x2y3+8x2y2z-12xy2z.
【自主解答】(1)-3ma3+6ma2-12ma=-3ma(a2-2a+4).
(2)4x2y3+8x2y2z-12xy2z
=4xy2(xy+2xz-3z).
【举一反三】
1.(2024·青岛城阳模拟)把多项式m2(a-2)+m(2-a)分解因式正确的是(C)
A.(a-2)(m2+m) B.m(a-2)(m+1)
C.m(a-2)(m-1) D.(2-a)(m2+m)
2.因式分解:-5x2y2+10xy2-15x2y= -5xy(xy-2y+3x) .
3.分解因式:
(1)6p(p+q)-4q(q+p);
(2)5x(x-2y)3-20y(2y-x)3.
【解析】(1)6p(p+q)-4q(q+p)=2(p+q)(3p-2q).
(2)5x(x-2y)3-20y(2y-x)3
=5x(x-2y)3+20y(x-2y)3
=5(x-2y)3(x+4y).
【技法点拨】
“三定”原则找出多项式的公因式
1.定系数:公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母:字母取多项式各项中都含有的相同的字母.
3.定指数:相同字母的指数取各项中最小的一个,即字母的最低次数.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·抽象能力)多项式3m2+6mn的公因式是(C)
A.3 B.m C.3m D.3n
2.(3分·推理能力、运算能力)利用因式分解计算2 023×2 024-2 0232的结果为(B)
A.1 B.2 023 C.2 024 D.2 0232
3.(4分·推理能力、运算能力)因式分解2x2y-xy2= xy(2x-y) .
4.(5分·推理能力、运算能力)已知实数a,b满足a+b=6,ab=9,则a2b+ab2的值为 54 .
5.(5分·推理能力、运算能力)下列从左到右的变形中,哪些是因式分解 哪些不是
(1)24x2y=4x·6xy;
(2)(x+5)(x-5)=x2-25;
(3)x2+2x-3=(x+3)(x-1);
(4)9x2-6x+1=3x(3x-2)+1;
(5)x2+1=x(x+).
【解析】(1)因式分解是针对多项式来说的,故不是因式分解;
(2)等号右边不是整式积的形式,不是因式分解;
(3)是因式分解;
(4)等号右边不是整式积的形式,不是因式分解;
(5)等号右边不是整式积的形式,不是因式分解.
