11.3 公式法
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
根据平方差公式,推导出平方差公式因式分解的方法,并能够用公式分解因式 抽象能力、模型观念
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
利用平方差公式因式分解: 符号语言:a2-b2=(a+b)(a-b). 文字语言:两个数的平方差,等于这两个数的 和 与这两个数的 差 的乘积. 1.下列多项式中,能运用平方差公式分解因式的是(D) A.a2+b2 B.2a-b2 C.-4a2-b2 D.-a2+9b2 2.分解因式:x2-9= (x+3)(x-3) .
重点典例研析 学贵有方 进而有道
【重点】用平方差公式因式分解(抽象能力、运算能力)
【典例】(教材再开发·P128例1改编)因式分解:
(1)a2-81;
(2)25-16x2;
(3)x2-16.
【自主解答】(1)a2-81=(a+9)(a-9);
(2)25-16x2=52-(4x)2=(5-4x)(5+4x);
(3)x2-16=(x+4)(x-4).
【举一反三】
1.下列多项式中,能用平方差公式进行因式分解的是(C)
A.a2-b B.a2+2b2
C.9a2-b2 D.-a2-b2
2.若多项式mx2-4在有理数范围内能利用平方差公式进行因式分解,则m的值不可能是(B)
A.1 B.5
C.9 D.16
3.(2024·东营河口模拟)下列多项式中,属于4x2-1的一个因式的是(C)
A.4x-1 B.4x+1
C.2x-1 D.4x2
4.4x2-81因式分解为: (2x+9)(2x-9) .
5.若x+y+z=2,则当x2-(y+z)2=8时,x-y-z= 4 .
6.(2024·潍坊奎文质检)因式分解:
(1)25c2-49a2b2;
(2)(x-5)2-9(y+3)2.
【解析】(1)25c2-49a2b2
=(5c)2-(7ab)2
=(5c+7ab)(5c-7ab);
(2)(x-5)2-9(y+3)2
=(x-5)2-[3(y+3)]2
=(x-5+3y+9)(x-5-3y-9)
=(x+3y+4)(x-3y-14).
7.将下列各式分解因式:
(1)x2(x-1)-16(x-1);
(2)x4-1.
【解析】(1)x2(x-1)-16(x-1)
=(x-1)(x2-16)
=(x-1)(x+4)(x-4).
(2)原式=(x2+1)(x2-1)
=(x2+1)(x+1)(x-1).
【技法点拨】
用平方差公式因式分解的步骤:
1.识别形式:多项式可以写成两个单项式平方差的形式;
2.确定a和b:对照公式,找到a和b;
3.根据公式进行分解.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·推理能力、运算能力)下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(D)
A.a2+b2 B.-a2-b2
C.a3-b3 D.-a2+b2
2.(3分·推理能力、运算能力)若k为自然数,则(3k+2)2-9k2的值总能(B)
A.被3整除 B.被4整除
C.被5整除 D.被7整除
3.(4分·推理能力、运算能力)因式分解:4(a-b)2-(a+b)2= (3a-b)(a-3b) .
4.(4分·推理能力、运算能力)如果多项式ax2+by2只能因式分解为(3x+2y)(3x-2y),则ab= -36 .
5.(6分·推理能力、运算能力)因式分解:
(1)9x2-4y2;
(2)18a2-8b2.
【解析】(1)9x2-4y2
=(3x+2y)(3x-2y);
(2)18a2-8b2=2(9a2-4b2)=2(3a+2b)(3a-2b).11.3 公式法
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
根据平方差公式,推导出平方差公式因式分解的方法,并能够用公式分解因式 抽象能力、模型观念
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
利用平方差公式因式分解: 符号语言:a2-b2=(a+b)(a-b). 文字语言:两个数的平方差,等于这两个数的 与这两个数的 的乘积. 1.下列多项式中,能运用平方差公式分解因式的是( ) A.a2+b2 B.2a-b2 C.-4a2-b2 D.-a2+9b2 2.分解因式:x2-9= .
重点典例研析 学贵有方 进而有道
【重点】用平方差公式因式分解(抽象能力、运算能力)
【典例】(教材再开发·P128例1改编)因式分解:
(1)a2-81;
(2)25-16x2;
(3)x2-16.
【举一反三】
1.下列多项式中,能用平方差公式进行因式分解的是( )
A.a2-b B.a2+2b2
C.9a2-b2 D.-a2-b2
2.若多项式mx2-4在有理数范围内能利用平方差公式进行因式分解,则m的值不可能是( )
A.1 B.5
C.9 D.16
3.(2024·东营河口模拟)下列多项式中,属于4x2-1的一个因式的是( )
A.4x-1 B.4x+1
C.2x-1 D.4x2
4.4x2-81因式分解为: .
5.若x+y+z=2,则当x2-(y+z)2=8时,x-y-z= .
6.(2024·潍坊奎文质检)因式分解:
(1)25c2-49a2b2;
(2)(x-5)2-9(y+3)2.
7.将下列各式分解因式:
(1)x2(x-1)-16(x-1);
(2)x4-1.
【技法点拨】
用平方差公式因式分解的步骤:
1.识别形式:多项式可以写成两个单项式平方差的形式;
2.确定a和b:对照公式,找到a和b;
3.根据公式进行分解.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·推理能力、运算能力)下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )
A.a2+b2 B.-a2-b2
C.a3-b3 D.-a2+b2
2.(3分·推理能力、运算能力)若k为自然数,则(3k+2)2-9k2的值总能( )
A.被3整除 B.被4整除
C.被5整除 D.被7整除
3.(4分·推理能力、运算能力)因式分解:4(a-b)2-(a+b)2= .
4.(4分·推理能力、运算能力)如果多项式ax2+by2只能因式分解为(3x+2y)(3x-2y),则ab= .
5.(6分·推理能力、运算能力)因式分解:
(1)9x2-4y2;
(2)18a2-8b2.11.3 公式法
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.根据完全平方公式,推导出完全平方公式因式分解的方法,并能够用公式分解因式 应用意识、运算能力
2.能灵活选择公式法进行因式分解 应用意识、运算能力
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
1.利用完全平方公式因式分解: a2±2ab+b2= (a±b)2 . 文字语言:两数的平方和,加上(减去)这两数乘积的2倍,等于这两数和(差)的 平方 . 2.完全平方式:式子 a2+2ab+b2 和 a2-2ab+b2 . 下列各式中不是多项式a3b+4a2b+4ab的因式的是(C) A.b B.a+2 C.a-2 D.a
重点典例研析 启思凝智 教学相长
【重点1】用完全平方公式因式分解(抽象能力、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P130例3拓展)因式分解:
(1)x2-4xy+4y2;
(2)9x2-6xy+y2.
【自主解答】(1)x2-4xy+4y2
=(x-2y)2;
(2)9x2-6xy+y2
=(3x)2-2×3xy+y2
=(3x-y)2.
【举一反三】
1.因式分解x2-x+= (x-)2 .
2.因式分解:(1)4x(x-3y)+9y2.
(2)(m2-5)2+2(m2-5)+1.
【解析】(1)4x(x-3y)+9y2
=4x2-12xy+9y2
=(2x-3y)2
(2)原式=(m2-5+1)2
=(m2-4)2
=(m+2)2(m-2)2.
【技法点拨】
应用完全平方公式因式分解的题型:
1.直接应用公式:符合完全平方公式的多项式可以直接用完全平方公式进行因式分解;
2.先变形后用公式进行因式分解:如x2+6x+8,不符合完全平方公式,变形后x2+6x+9-1,可得(x+3)2-1,然后用平方差公式进行因式分解即可.
【重点2】因式分解法的综合应用(抽象能力、模型观念)
【典例2】(教材再开发·P130例4拓展)把下列各式分解因式:
(1)16x2-1;
(2)4a2+12ab+9b2;
(3)-ab+2a2b-a3b;
(4)(x2+4)2-16x2.
【自主解答】(1)16x2-1=(4x+1)(4x-1).
(2)4a2+12ab+9b2=(2a+3b)2.
(3)-ab+2a2b-a3b=-ab(1-2a+a2)=-ab(1-a)2.
(4)(x2+4)2-16x2
=(x2+4x+4)(x2-4x+4)
=(x+2)2(x-2)2.
【举一反三】
1.(2024·东营河口模拟)因式分解x4-18x2+81的结果为(D)
A.(x2+9)2 B.(x2-9)2
C.(x+9)2(x-9)2 D.(x+3)2(x-3)2
2.因式分解x2-y2+2y-1= (x+y-1)(x-y+1) .
3.(2024·潍坊奎文质检)分解因式:
(1)9(m+n)2-(m-n)2;
(2)81a4-72a2b2+16b4.
【解析】(1)9(m+n)2-(m-n)2
=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]
=(4m+2n)(2m+4n)
=4(2m+n)(m+2n).
(2)81a4-72a2b2+16b4
=(9a2-4b2)2
=(3a+2b)2(3a-2b)2.
【技法点拨】
因式分解的步骤
一提:先提公因式;
二套:提公因式后,观察括号内剩余多项式是否符合公式,符合公式,要用公式进行进一步分解;
三检查:检查因式分解是否彻底.
素养当堂测评 (10分钟·24分)
1.(4分·运算能力、推理能力)将a4-2a2+1分解因式,所得结果正确的是(D)
A.a2(a2-2)+1
B.(a2-2)(a2+1)
C.(a2-1)2
D.(a-1)2(a+1)2
2.(4分·运算能力、推理能力)多项式2a2-18与3a2-18a+27的公因式是(A)
A.a-3 B.a+3
C.a-9 D.a+9
3.(4分·推理能力、运算能力)因式分解9a2-6a+1= (3a-1)2 .
4.(4分·推理能力、运算能力)若要使代数式x2+4y2+A能进行因式分解,则单项式A应为 4xy或-4xy .
5.(8分·运算能力、推理能力)有一种因式分解的方法叫分组分解法.具体做法如下:把a2-2ab+b2-c2分解因式得
原式=(a2-2ab+b2)-c2
=(a-b)2-c2
=(a-b+c)(a-b-c).
请阅读理解上面解法后,把下列多项式因式分解1-m2-n2+2mn.
【解析】1-m2-n2+2mn
=1-(m2+n2-2mn)
=1-(m-n)2
=(1+m-n)(1-m+n).11.3 公式法
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.根据完全平方公式,推导出完全平方公式因式分解的方法,并能够用公式分解因式 应用意识、运算能力
2.能灵活选择公式法进行因式分解 应用意识、运算能力
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
1.利用完全平方公式因式分解: a2±2ab+b2= . 文字语言:两数的平方和,加上(减去)这两数乘积的2倍,等于这两数和(差)的 . 2.完全平方式:式子 和 . 下列各式中不是多项式a3b+4a2b+4ab的因式的是( ) A.b B.a+2 C.a-2 D.a
重点典例研析 启思凝智 教学相长
【重点1】用完全平方公式因式分解(抽象能力、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P130例3拓展)因式分解:
(1)x2-4xy+4y2;
(2)9x2-6xy+y2.
【举一反三】
1.因式分解x2-x+= .
2.因式分解:(1)4x(x-3y)+9y2.
(2)(m2-5)2+2(m2-5)+1.
【技法点拨】
应用完全平方公式因式分解的题型:
1.直接应用公式:符合完全平方公式的多项式可以直接用完全平方公式进行因式分解;
2.先变形后用公式进行因式分解:如x2+6x+8,不符合完全平方公式,变形后x2+6x+9-1,可得(x+3)2-1,然后用平方差公式进行因式分解即可.
【重点2】因式分解法的综合应用(抽象能力、模型观念)
【典例2】(教材再开发·P130例4拓展)把下列各式分解因式:
(1)16x2-1;
(2)4a2+12ab+9b2;
(3)-ab+2a2b-a3b;
(4)(x2+4)2-16x2.
【举一反三】
1.(2024·东营河口模拟)因式分解x4-18x2+81的结果为( )
A.(x2+9)2 B.(x2-9)2
C.(x+9)2(x-9)2 D.(x+3)2(x-3)2
2.因式分解x2-y2+2y-1= .
3.(2024·潍坊奎文质检)分解因式:
(1)9(m+n)2-(m-n)2;
(2)81a4-72a2b2+16b4.
【技法点拨】
因式分解的步骤
一提:先提公因式;
二套:提公因式后,观察括号内剩余多项式是否符合公式,符合公式,要用公式进行进一步分解;
三检查:检查因式分解是否彻底.
素养当堂测评 (10分钟·24分)
1.(4分·运算能力、推理能力)将a4-2a2+1分解因式,所得结果正确的是( )
A.a2(a2-2)+1
B.(a2-2)(a2+1)
C.(a2-1)2
D.(a-1)2(a+1)2
2.(4分·运算能力、推理能力)多项式2a2-18与3a2-18a+27的公因式是( )
A.a-3 B.a+3
C.a-9 D.a+9
3.(4分·推理能力、运算能力)因式分解9a2-6a+1= .
4.(4分·推理能力、运算能力)若要使代数式x2+4y2+A能进行因式分解,则单项式A应为 .
5.(8分·运算能力、推理能力)有一种因式分解的方法叫分组分解法.具体做法如下:把a2-2ab+b2-c2分解因式得
原式=(a2-2ab+b2)-c2
=(a-b)2-c2
=(a-b+c)(a-b-c).
请阅读理解上面解法后,把下列多项式因式分解1-m2-n2+2mn.
