12.3 圆
课时学习目标 素养目标达成
理解圆、弧、弦、等圆等相关概念,掌握点与圆的位置关系 抽象能力、几何直观
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.圆的相关概念 圆在平面内,线段OA绕固定的端点O旋转一周,另一个端点A所形成的封闭曲线叫作圆,点O叫作圆的圆心半径连接 和圆上任意一点的线段 弦连接圆上 直径经过 的弦 弧圆上任意两点间的部分半圆直径把圆分成两条弧,每一条弧都叫作半圆劣弧 半圆的弧 优弧 半圆的弧 扇形一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形圆的 分类等圆半径相等的圆同心圆圆心 、半径 的圆
1.(1)圆的半径是一条( ) A.直线 B.射线 C.线段 D.不确定 (2)“车轮为什么都做成圆形 ”下面解释最合理的是( ) A.圆形是轴对称图形 B.圆形特别美观大方 C.圆形是曲线图形 D.从圆心到圆上任意一点的距离都相等 (3)如图所示的圆可记作☉O,图中半径有 条,分别是 .
2.点与圆的位置关系: 点在圆外:点到圆心的距离大于半径; 点在圆上:点到圆心的距离等于半径; 点在圆内:点到圆心的距离小于半径. 2.已知☉O的半径为5 cm,点P到圆心O的距离为3 cm,则点P与☉O的位置关系为( ) A.P在圆上 B.P在圆内 C.P在圆外 D.不确定
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
【重点1】与圆有关的概念(抽象能力、模型观念)
【典例1】(教材再开发·P157练习T2拓展)找出图中所有的弦、优弧和劣弧.
【举一反三】
1.(2024·潍坊高密模拟)已知AB是半径为6的圆的一条弦,则AB的长不可能是( )
A.5 B.8 C.10 D.15
2.如图,圆中以A为一个端点的劣弧有 条.
3.如图,线段AB过圆心O,点A,B,C,D均在☉O上,请指出哪些是直径、半径、弦,并把它们表示出来.
【技法点拨】
点到圆上点的距离最值
平面内圆P,圆心为点P,圆P的半径为r.任意一点Q,
最小距离:|PQ-r|;
最大距离:|PQ+r|.
【重点2】与圆有关的计算(抽象能力、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P151例1拓展)如图,大圆的半径为r,直径AB上方两个半圆的直径均为r,下方两个半圆的直径分别为a,b.
(1)求直径AB上方阴影部分的面积S1;
(2)用含a,b的代数式表示直径AB下方阴影部分的面积S2=______;
(3)设a=r+c,b=r-c(c>0),那么( )
A.S2=S1 B.S2>S1
C.S2(4)请对你在(3)中所作的判断说明理由.
【举一反三】
1.(2024·烟台福山模拟)甲、乙两个圆,甲圆的面积是12.56 cm2,乙圆的周长是
62.8 cm,甲、乙两圆的半径之比是(π取3.14)( )
A.1∶5 B.1∶4 C.2∶5 D.不确定
2.一个圆内最长的弦长是12 cm,则此圆的半径长是 cm.
【技法点拨】
与圆有关的面积计算问题
割补法:将阴影部分补成一个规则图形,然后将阴影部分看成规则图形的一部分,进而求解.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·几何直观)下列说法:①同一圆上的点到圆心的距离相等;②如果某几个点到一个定点的距离相等,则这几个点共圆;③半径确定了,圆就确定了.其中正确的是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
2.(4分·几何直观、运算能力)一个在圆内的点,它到圆上的最近距离为3 cm,最远距离为5 cm,那么圆的半径为( )
A.5 cm B.3 cm C.8 cm D.4 cm
3. (4分·抽象能力、空间观念)如图是由直径分别为4厘米,6厘米和10厘米的三个半圆所组成的图形,则这个图形的周长为 .(π取3.14)
4.(8分·几何直观、空间观念)已知:如图,在☉O中,AB是直径,CD为不是直径的弦,求证:AB是☉O中最长的弦.12.3 圆
课时学习目标 素养目标达成
理解圆、弧、弦、等圆等相关概念,掌握点与圆的位置关系 抽象能力、几何直观
基础主干落实 夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.圆的相关概念 圆在平面内,线段OA绕固定的端点O旋转一周,另一个端点A所形成的封闭曲线叫作圆,点O叫作圆的圆心半径连接 圆心 和圆上任意一点的线段 弦连接圆上 任意两点的线段 直径经过 圆心 的弦 弧圆上任意两点间的部分半圆直径把圆分成两条弧,每一条弧都叫作半圆劣弧 小于 半圆的弧 优弧 大于 半圆的弧 扇形一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形圆的 分类等圆半径相等的圆同心圆圆心 相同 、半径 不相等 的圆
1.(1)圆的半径是一条(C) A.直线 B.射线 C.线段 D.不确定 (2)“车轮为什么都做成圆形 ”下面解释最合理的是(D) A.圆形是轴对称图形 B.圆形特别美观大方 C.圆形是曲线图形 D.从圆心到圆上任意一点的距离都相等 (3)如图所示的圆可记作☉O,图中半径有 3 条,分别是 OA,OB,OC .
2.点与圆的位置关系: 点在圆外:点到圆心的距离大于半径; 点在圆上:点到圆心的距离等于半径; 点在圆内:点到圆心的距离小于半径. 2.已知☉O的半径为5 cm,点P到圆心O的距离为3 cm,则点P与☉O的位置关系为(B) A.P在圆上 B.P在圆内 C.P在圆外 D.不确定
重点典例研析 纵横捭阖 挥斥方遒
【重点1】与圆有关的概念(抽象能力、模型观念)
【典例1】(教材再开发·P157练习T2拓展)找出图中所有的弦、优弧和劣弧.
【自主解答】弦:弦AB,弦CD,弦AD;优弧:,,,;劣弧:,,,.
【举一反三】
1.(2024·潍坊高密模拟)已知AB是半径为6的圆的一条弦,则AB的长不可能是(D)
A.5 B.8 C.10 D.15
2.如图,圆中以A为一个端点的劣弧有 3 条.
3.如图,线段AB过圆心O,点A,B,C,D均在☉O上,请指出哪些是直径、半径、弦,并把它们表示出来.
【解析】直径:AB;
半径:OA,OB,OC;
弦:弦CD,弦AB.
【技法点拨】
点到圆上点的距离最值
平面内圆P,圆心为点P,圆P的半径为r.任意一点Q,
最小距离:|PQ-r|;
最大距离:|PQ+r|.
【重点2】与圆有关的计算(抽象能力、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P151例1拓展)如图,大圆的半径为r,直径AB上方两个半圆的直径均为r,下方两个半圆的直径分别为a,b.
(1)求直径AB上方阴影部分的面积S1;
(2)用含a,b的代数式表示直径AB下方阴影部分的面积S2=______;
(3)设a=r+c,b=r-c(c>0),那么( )
A.S2=S1 B.S2>S1
C.S2(4)请对你在(3)中所作的判断说明理由.
【自主解答】(1)S1=πr2-πr2=πr2.
(2)S2=π·()2-·πa2-·πb2
=π(a+b)2-πa2-πb2
=πab.
答案:πab
(3)答案:C
(4)将a=r+c,b=r-c,代入S2,得:
S2=π(r+c)(r-c)=π(r2-c2),
因为c>0,所以r2>r2-c2,即S1>S2.
【举一反三】
1.(2024·烟台福山模拟)甲、乙两个圆,甲圆的面积是12.56 cm2,乙圆的周长是
62.8 cm,甲、乙两圆的半径之比是(π取3.14)(A)
A.1∶5 B.1∶4 C.2∶5 D.不确定
2.一个圆内最长的弦长是12 cm,则此圆的半径长是 6 cm.
【技法点拨】
与圆有关的面积计算问题
割补法:将阴影部分补成一个规则图形,然后将阴影部分看成规则图形的一部分,进而求解.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·几何直观)下列说法:①同一圆上的点到圆心的距离相等;②如果某几个点到一个定点的距离相等,则这几个点共圆;③半径确定了,圆就确定了.其中正确的是(A)
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
2.(4分·几何直观、运算能力)一个在圆内的点,它到圆上的最近距离为3 cm,最远距离为5 cm,那么圆的半径为(D)
A.5 cm B.3 cm C.8 cm D.4 cm
3. (4分·抽象能力、空间观念)如图是由直径分别为4厘米,6厘米和10厘米的三个半圆所组成的图形,则这个图形的周长为 31.4 cm .(π取3.14)
4.(8分·几何直观、空间观念)已知:如图,在☉O中,AB是直径,CD为不是直径的弦,求证:AB是☉O中最长的弦.
【证明】如图,连接OC,OD,
因为OA,OC,OB,OD是圆的半径,
所以OA=OB=OC=OD.
因为AB是圆的直径,
所以AB=OA+OB=OC+OD.
因为OC,OD,CD是三角形的三边,
所以OC+OD>CD.即AB>CD.
所以AB是☉O中最长的弦.
