人教A版高中数学选择性必修三-8.1.2样本相关系数-导学案（含答案）

人教A版高中数学选择性必修三-8.1.2样本相关系数-导学案
学习目标　1.结合实例，了解样本相关系数的统计含义.2.结合实例，会通过样本相关系数判断多组成对样本数据的相关性.3.掌握样本相关系数的综合运用．
一、样本相关系数
问题1　设x1, x2，…， xn和y1，y2，…，yn的均值分别为和.将数据以(，)为零点进行平移，得到平移后的成对数据为(x1－，y1－)，(x2－，y2－)，…，(xn－，yn－)，并绘制散点图，则绘制的散点图有什么特征？你能利用正负相关变量的成对样本数据平移后呈现的规律，构造一个度量成对样本数据是正相关还是负相关的数字特征吗？
问题2　你认为Lxy的大小一定能度量出成对样本数据的相关程度吗？
知识梳理
样本相关系数：r＝__________________＝_______________________.
例1　某企业坚持以市场需求为导向，合理配置生产资源，不断探索、改革销售模式．下表是该企业每月生产的一种核心产品的产量x(件)与相应的生产总成本y(万元)的五组对照数据：
产量x(件) 1 2 3 4 5
生产总成本y(万元) 3 7 8 10 12
试求y与x的样本相关系数r.(结果保留两位小数)
参考公式：r＝.
参考数据：≈10.7.
反思感悟　利用样本相关系数r判断线性相关关系，需要应用公式计算出r的值，由于数据较大，有时需要借助计算器．
跟踪训练1　现随机抽取了某中学高一10名在校学生，他们入学时的数学成绩x(分)与入学后第一次考试的数学成绩y(分)如表所示：
学生号 1 2 3 4 5
x 120 108 117 104 103
y 84 64 84 68 69
学生号 6 7 8 9 10
x 110 104 105 99 108
y 68 69 46 57 71
计算y与x之间的样本相关系数(精确到0.001，已知＝116 584，＝47 384，iyi＝
73 796)．
二、相关关系的强弱
知识梳理
样本相关系数r的取值范围为________．
当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越________；
当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越________．
例2　(1)对四组成对样本数据进行统计，获得以下散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是(　　)
A．r2C．r4(2)某厂的生产原料耗费x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下的对应关系：
x 2 4 6 8
y 30 40 50 70
①画出(x，y)的散点图；
②计算x与y之间的样本相关系数，并刻画它们的相关程度．
反思感悟　线性相关强弱的判断方法
(1)散点图：散点图只是粗略作出判断，其图象越接近直线，相关性越强．
(2)样本相关系数：样本相关系数能够较准确的判断相关的程度，其绝对值越大，相关性越强．
跟踪训练2　甲、乙、丙、丁四位同学各自对a，b两变量的线性相关性做试验，并分别求得样本相关系数r如下表：
甲 乙 丙 丁
r －0.82 －0.78 －0.69 －0.85
则________同学的试验结果体现a，b两变量有更强的线性相关性．
三、样本相关系数的实际应用
例3　以下是收集到的新房屋的销售价格y(万元)和房屋的大小x(m2)的数据．
房屋大小x/m2 115 110 80 135 105
销售价格y/万元 24.8 21.6 18.4 29.2 22
(1)画出数据的散点图；
(2)求样本相关系数r，并作出评价．(精确到0.01，已知＝60 975，＝2 756.8，
iyi＝12 952)
反思感悟　当样本相关系数|r|越接近1时，两个变量的相关关系越强，当样本相关系数|r|越接近0时，两个变量的相关关系越弱．
跟踪训练3　为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8
零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16
零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得＝xi＝9.97，≈0.848，≈18.439，(xi－)(i－8.5)＝－2.78，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2，…，16.
求的样本相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若<0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)．(结果精确到0.01)
附：样本的样本相关系数
r＝，≈0.09.
1．知识清单：
(1)样本相关系数．
(2)相关关系的强弱．
(3)样本相关系数的实际应用．
2．方法归纳：数形结合．
3．常见误区：样本相关系数绝对值的大小与相关程度的关系．
1．给定y与x的一组成对样本数据，求得样本相关系数r＝－0.690，则(　　)
A．y与x线性不相关
B．y与x正线性相关
C．y与x负线性相关
D．以上都不对
2．已知r1表示变量X与Y之间的样本相关系数，r2表示变量U与V之间的样本相关系数，且r1＝0.837，r2＝－0.957，则(　　)
A．变量X与Y之间呈正相关关系，且X与Y之间的相关性强于U与V之间的相关性
B．变量X与Y之间呈负相关关系，且X与Y之间的相关性强于U与V之间的相关性
C．变量U与V之间呈负相关关系，且X与Y之间的相关性弱于U与V之间的相关性
D．变量U与V之间呈正相关关系，且X与Y之间的相关性弱于U与V之间的相关性
3．(多选)下面的各图中，散点图与样本相关系数r符合的是(　　)
在成对样本数据中，已知(xi－)2是(yi－)2的2倍，(xi－)(yi－)是(yi－)2的1.2倍，则这组数据的样本相关系数r约为________．(精确到0.001)
参考答案与详细解析
问题1　散点图(略)，发现正相关时散点大多数分布在第一象限、第三象限，负相关时散点大多数分布在第二象限、第四象限．构造一个量：
Lxy＝[(x1－)(y1－)＋(x2－)(y2－)＋…＋(xn－)(yn－)]．
一般情形下，Lxy>0表明成对样本数据正相关；Lxy<0表明成对样本数据负相关．
问题2　不一定．因为Lxy的大小与数据的度量单位有关，所以不宜直接用它度量成对样本数据相关程度的大小．
知识梳理
　
例1　解　＝＝3，
＝＝8，
＝，
＝，
(xi－)(yi－)＝21.
故样本相关系数r＝≈0.98.
跟踪训练1　解　＝×(120＋108＋…＋99＋108)＝107.8，
＝×(84＋64＋…＋57＋71)＝68，
所以样本相关系数为r＝≈0.751.
知识梳理
[－1,1]　强　弱
例2　(1)A　[由给出的四组成对样本数据的散点图可以看出，题图1和题图3是正相关，样本相关系数大于0，题图2和题图4是负相关，样本相关系数小于0，题图1和题图2的样本点集中在一条直线附近，所以相关性更强，所以r1接近于1，r2接近于－1，由此可得r2(2)解　①画出(x，y)的散点图如图所示．
②＝5，＝47.5，
＝120，＝9 900，iyi＝1 080，
故样本相关系数r＝
＝≈0.982 7.
由样本相关系数r≈0.982 7，可以推断出生产原料耗费与销售额这两个变量正线性相关，且相关程度很强．
跟踪训练2　丁
解析　因为0.85>0.82>0.78>0.69，已知相关系数的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关性越强，所以能体现出a，b两变量有更强的线性相关性的是丁同学的试验结果．
例3　解　(1)画出散点图如图所示．
(2)＝＝109，＝＝23.2，
r＝
＝
＝≈0.96，
由此可知，新房屋的销售价格和房屋的大小这两个变量正线性相关，且相关程度很强．
跟踪训练3　解　＝×(1＋2＋3＋…＋16)＝8.5，由样本数据得的样本相关系数为
r＝
≈≈－0.18.
由于<0.25，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．
随堂演练
1．C　[因为r＝－0.690<0，所以y与x负线性相关．]
2．C　[因为r1＝0.837>0，r2＝－0.957<0，所以变量X与Y之间呈正相关关系，变量U与V之间呈负相关关系，因为|r1|<|r2|，所以X与Y之间的相关性弱于U与V之间的相关性．]
3．ACD　[因为样本相关系数r的绝对值越接近1，线性相关程度越强，且r＞0时正相关，r＜0时负相关，故观察各选项，易知B不符合，A，C，D均符合．]
4．0.849
解析　r＝，
设(yi－)2＝a，
则(xi－)(yi－)＝1.2a，
(xi－)2＝2a，
故r＝＝≈0.849.