人教A版高中数学选择性必修三-8.3.2独立性检验-导学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学选择性必修三-8.3.2独立性检验-导学案（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 77.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-05 21:56:45 | ||
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文档简介
人教A版高中数学选择性必修三-8.3.2独立性检验-导学案
学习目标 1.了解随机变量χ2的意义.2.通过对典型案例分析，了解独立性检验的基本思想和方法．
一、独立性检验的理解
问题1 由2×2列联表，如何判断事件{X＝1}和{Y＝1}之间是否有关联？
X Y 合计
Y＝0 Y＝1
X＝0 a b a＋b
X＝1 c d c＋d
合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d
问题2 假若分类变量X与Y没有关联，则X＝1与Y＝1、 X＝0与Y＝1、 X＝0与Y＝0、 X＝1与Y＝0有什么关系？
知识梳理
1．独立性检验：利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“________________”，简称________________．
2．χ2＝_________________，其中n＝________________.
例1 (1)第24届冬季奥林匹克运动会于2022年在北京举办，为了解某城市居民对冰雪运动的关注情况，随机抽取了该市100人进行调查统计，得到如下2×2列联表：
关注冰雪运动 不关注冰雪运动 合计
男 45 10 55
女 25 20 45
合计 70 30 100
下列说法正确的是( )
参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
附表：
α 0.100 0.050 0.010 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
A.依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“关注冰雪运动与性别有关”
B．依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“关注冰雪运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“关注冰雪运动与性别无关”
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“关注冰雪运动与性别有关”
(2)调查中学生假期里玩手机的情况，可知某校200名男生中有120名假期里每天玩手机时间超过1 h,150名女生中有70名假期里每天玩手机时间超过1 h，在检验这些中学生假期里每天玩手机超过1 h是否与性别有关时，最有说服力的方法是( )
A．平均数 B．方差
C．回归分析 D．独立性检验
反思感悟 根据所给的观测值，与所给的临界值表中的数据进行比较，即可得出结论．
跟踪训练1 (1)(多选)某机构通过抽样调查，利用2×2列联表和χ2统计量研究患肺病是否与吸烟有关，计算得χ2＝3.305，经查对临界值表知P(χ2≥2.706)≈0.10，P(χ2≥3.841)≈0.05，现给出四个结论，其中正确的是( )
A．因为χ2>2.706，故依据小概率值α＝0.1的独立性检验，我们认为“患肺病与吸烟有关”
B．因为χ2<3.841，故依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为“患肺病与吸烟有关”
C．因为χ2>2.706，故依据小概率值α＝0.1的独立性检验，我们认为“患肺病与吸烟无关”
D．因为χ2<3.841，故依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为“患肺病与吸烟无关”
(2)(多选)某研究所为了检验新开发的疫苗的预防作用，对1 000名注射了疫苗的人与另外
1 000名未注射疫苗的人的一年的健康记录进行比较，并提出假设：这种疫苗不能起到预防该疾病的作用，并计算出P(χ2≥6.635)≈0.01，则下列说法不正确的是( )
A．这种疫苗能起到预防该疾病的作用的有效率为1%
B．若某人未使用该疫苗，则他在半年内有99%的可能性得该疾病
C．依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为这种疫苗能起到预防该疾病的作用
D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为这种疫苗能起到预防该疾病的作用
二、有关“相关的检验”
例2 在某医院，因为患心脏病而住院的600名男性病人中，有200人秃顶，而另外750名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有150人秃顶．
(1)填写下列秃顶与患心脏病列联表：
患心脏病 患其他病 合计
秃顶
不秃顶
合计
据表中数据估计秃顶病患中患心脏病的概率P1和不秃顶病患中患心脏病的概率P2，并用两个估计概率判断秃顶与患心脏病是否有关；
(2)依据α＝0.001的独立性检验，分析秃顶与患心脏病有关吗？请说明理由．
注∶χ2＝.
α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
反思感悟 用χ2进行“相关的检验”步骤
(1)零假设：即先假设两变量间没关系．
(2)计算χ2：套用χ2的公式求得χ2值．
(3)查临界值：结合所给小概率值α查得相应的临界值xα.
(4)下结论：比较χ2与xα的大小，并作出结论．
跟踪训练2 某校在两个班进行教学方式的对比试验，两个月后进行了一次检测，试验班与对照班成绩统计如下表所示(单位：人)：
80及80分以上 80分以下 合计
实验班 35 15 50
对照班 20 m 50
合计 55 45 n
(1)求m，n的值；
(2)能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“教学方式”与“成绩”有关系？
参考公式：χ2＝.
附表：
α 0.010 0.005 0.001
xα 6.635 7.879 10.828
三、有关“无关的检验”
例3 某省进行高中新课程改革，为了解教师对新课程教学模式的使用情况，某教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进行了问卷调查，共调查了50人，其中有老教师20人，青年教师30人．老教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人．
(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；
(2)试根据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄是否有关系．
附表：
α 0.025 0.01 0.005
xα 5.024 6.635 7.879
反思感悟 运用独立性检验的方法
(1)列出2×2列联表，根据公式计算χ2.
(2)比较χ2与xα的大小作出结论．
跟踪训练3 学校举行运动会，为了搞好接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余人不喜爱运动．
(1)根据以上数据完成以下2×2列联表：
喜爱运动 不喜爱运动 合计
男 10 16
女 6 14
合计 30
(2)根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关？
附表：
α 0.10 0.05 0.010
xα 2.706 3.841 6.635
1．知识清单：
(1)2×2列联表．
(2)独立性检验、χ2公式．
2．方法归纳：数形结合．
3．常见误区：对独立性检验的原理不理解，导致不会用χ2分析问题．
1．在独立性检验中，两个分类变量“X与Y有关系”的可信度为99%，则随机变量χ2的取值范围是( )
A．[2.706,3.841) B．[3.841,6.635)
C．[6.635,7.879) D．[7.879,10.828)
2．对两个分类变量A，B的下列说法中正确的个数为( )
①A与B无关，即A与B互不影响；
②A与B关系越密切，则χ2的值就越大；
③χ2的大小是判定A与B是否相关的唯一依据．
A．0 B．1 C．2 D．3
3．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班学生的数学成绩优秀和及格统计人数后，得到如下列联表：
优秀 及格 合计
甲班 11 34 45
乙班 8 37 45
合计 19 71 90
则χ2约为( )
A．0.600 B．0.828
C．2.712 D．6.004
4．下表是某届某校本科志愿报名时，对其中304名学生进入高校时是否了解所学专业的调查表：
了解所学专业 不了解所学专业 合计
男生 63 117 180
女生 42 82 124
合计 105 199 304
根据表中数据，则下列说法正确的是________．(填序号)
①性别与了解所学专业有关；
②性别与了解所学专业无关；
③女生比男生更了解所学专业．
参考答案与详细解析
问题1 假设H0表示{X＝1}和{Y＝1}没有关系(通常称H0为零假设)．
问题2 相互独立．
知识梳理
1．卡方独立性检验 独立性检验
2. a＋b＋c＋d
例1 (1)A [依题意，χ2＝≈8.129>6.635＝x0.01，
所以依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“关注冰雪运动与性别有关”，A正确，B不正确；
而8.129<10.828＝x0.001，在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“关注冰雪运动与性别无关”，C，D不正确．]
(2)D [分析已知条件，易得如下2×2列联表：
男生 女生 合计
玩手机超过1 h 120 70 190
玩手机不超过1 h 80 80 160
合计 200 150 350
根据列联表可得χ2，再与临界值比较，检验可得这些中学生假期里每天玩手机超过1 h是否与性别有关的结论，故利用独立性检验的方法最有说服力，故选D.]
跟踪训练1 (1)AD [因为χ2＝3.305，且3.305>2.706，由临界值表知，P≈0.10，
所以依据小概率值α＝0.1的独立性检验，认为“患肺病与吸烟有关”，则A正确，C不正确；.
因为临界值3.841>3.305，则依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为“患肺病与吸烟无关”，即B不正确，D正确．]
(2)AB [由P(χ2≥6.635)≈0.01可知，C，D正确，A，B都不正确．]
例2 解 (1)
患心脏病 患其他病 合计
秃顶 200 150 350
不秃顶 400 600 1 000
合计 600 750 1 350
P1＝＝，P2＝＝.
由于P1远大于P2，所以判断秃顶与患心脏病有关．
(2)零假设为H0：秃顶与患心脏病无关．
由题可知
χ2＝＝≈30.86>10.828＝x0.001，
所以依据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为秃顶与患心脏病有关．
跟踪训练2 解 (1)由表得，m＝50－20＝30，n＝55＋45＝100，即m＝30，n＝100.
(2)零假设为H0：“教学方式”与“成绩”无关．
由表得χ2＝≈9.091>7.879＝x0.005，我们推断H0不成立，所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“教学方式”与“成绩”有关系．
例3 解 (1)2×2列联表如表所示：
教师年龄 对新课程教学模式 合计
赞同 不赞同
老教师 10 10 20
青年教师 24 6 30
合计 34 16 50
(2)零假设为H0：对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关．由公式得
χ2＝≈4.963<6.635＝x0.01，
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以以为H0成立，即认为对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关．
跟踪训练3 解 (1)
喜爱运动 不喜爱运动 合计
男 10 6 16
女 6 8 14
合计 16 14 30
(2)零假设为H0：喜爱运动与性别无关，由已知数据可得
χ2＝≈1.157 5，因为1.157 5<2.706＝x0.1，根据小概率值α＝0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以以为H0成立，即认为性别与喜爱运动无关．
随堂演练
1．C [对照临界值表可知选C.]
2．B [①正确，A与B无关即A与B相互独立；②不正确，χ2的值的大小只是用来检验A与B是否相互独立；③不正确，例如借助三维柱形图、二维条形图等．故选B.]
3．A [根据列联表中的数据，可得
χ2＝≈0.600.]
4．②
解析 χ2＝≈0.041<2.706＝x0.1，所以性别与了解所学专业无关．
学习目标 1.了解随机变量χ2的意义.2.通过对典型案例分析，了解独立性检验的基本思想和方法．
一、独立性检验的理解
问题1 由2×2列联表，如何判断事件{X＝1}和{Y＝1}之间是否有关联？
X Y 合计
Y＝0 Y＝1
X＝0 a b a＋b
X＝1 c d c＋d
合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d
问题2 假若分类变量X与Y没有关联，则X＝1与Y＝1、 X＝0与Y＝1、 X＝0与Y＝0、 X＝1与Y＝0有什么关系？
知识梳理
1．独立性检验：利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“________________”，简称________________．
2．χ2＝_________________，其中n＝________________.
例1 (1)第24届冬季奥林匹克运动会于2022年在北京举办，为了解某城市居民对冰雪运动的关注情况，随机抽取了该市100人进行调查统计，得到如下2×2列联表：
关注冰雪运动 不关注冰雪运动 合计
男 45 10 55
女 25 20 45
合计 70 30 100
下列说法正确的是( )
参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
附表：
α 0.100 0.050 0.010 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
A.依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“关注冰雪运动与性别有关”
B．依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“关注冰雪运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“关注冰雪运动与性别无关”
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“关注冰雪运动与性别有关”
(2)调查中学生假期里玩手机的情况，可知某校200名男生中有120名假期里每天玩手机时间超过1 h,150名女生中有70名假期里每天玩手机时间超过1 h，在检验这些中学生假期里每天玩手机超过1 h是否与性别有关时，最有说服力的方法是( )
A．平均数 B．方差
C．回归分析 D．独立性检验
反思感悟 根据所给的观测值，与所给的临界值表中的数据进行比较，即可得出结论．
跟踪训练1 (1)(多选)某机构通过抽样调查，利用2×2列联表和χ2统计量研究患肺病是否与吸烟有关，计算得χ2＝3.305，经查对临界值表知P(χ2≥2.706)≈0.10，P(χ2≥3.841)≈0.05，现给出四个结论，其中正确的是( )
A．因为χ2>2.706，故依据小概率值α＝0.1的独立性检验，我们认为“患肺病与吸烟有关”
B．因为χ2<3.841，故依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为“患肺病与吸烟有关”
C．因为χ2>2.706，故依据小概率值α＝0.1的独立性检验，我们认为“患肺病与吸烟无关”
D．因为χ2<3.841，故依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为“患肺病与吸烟无关”
(2)(多选)某研究所为了检验新开发的疫苗的预防作用，对1 000名注射了疫苗的人与另外
1 000名未注射疫苗的人的一年的健康记录进行比较，并提出假设：这种疫苗不能起到预防该疾病的作用，并计算出P(χ2≥6.635)≈0.01，则下列说法不正确的是( )
A．这种疫苗能起到预防该疾病的作用的有效率为1%
B．若某人未使用该疫苗，则他在半年内有99%的可能性得该疾病
C．依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为这种疫苗能起到预防该疾病的作用
D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为这种疫苗能起到预防该疾病的作用
二、有关“相关的检验”
例2 在某医院，因为患心脏病而住院的600名男性病人中，有200人秃顶，而另外750名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有150人秃顶．
(1)填写下列秃顶与患心脏病列联表：
患心脏病 患其他病 合计
秃顶
不秃顶
合计
据表中数据估计秃顶病患中患心脏病的概率P1和不秃顶病患中患心脏病的概率P2，并用两个估计概率判断秃顶与患心脏病是否有关；
(2)依据α＝0.001的独立性检验，分析秃顶与患心脏病有关吗？请说明理由．
注∶χ2＝.
α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
反思感悟 用χ2进行“相关的检验”步骤
(1)零假设：即先假设两变量间没关系．
(2)计算χ2：套用χ2的公式求得χ2值．
(3)查临界值：结合所给小概率值α查得相应的临界值xα.
(4)下结论：比较χ2与xα的大小，并作出结论．
跟踪训练2 某校在两个班进行教学方式的对比试验，两个月后进行了一次检测，试验班与对照班成绩统计如下表所示(单位：人)：
80及80分以上 80分以下 合计
实验班 35 15 50
对照班 20 m 50
合计 55 45 n
(1)求m，n的值；
(2)能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“教学方式”与“成绩”有关系？
参考公式：χ2＝.
附表：
α 0.010 0.005 0.001
xα 6.635 7.879 10.828
三、有关“无关的检验”
例3 某省进行高中新课程改革，为了解教师对新课程教学模式的使用情况，某教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进行了问卷调查，共调查了50人，其中有老教师20人，青年教师30人．老教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人．
(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；
(2)试根据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄是否有关系．
附表：
α 0.025 0.01 0.005
xα 5.024 6.635 7.879
反思感悟 运用独立性检验的方法
(1)列出2×2列联表，根据公式计算χ2.
(2)比较χ2与xα的大小作出结论．
跟踪训练3 学校举行运动会，为了搞好接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余人不喜爱运动．
(1)根据以上数据完成以下2×2列联表：
喜爱运动 不喜爱运动 合计
男 10 16
女 6 14
合计 30
(2)根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关？
附表：
α 0.10 0.05 0.010
xα 2.706 3.841 6.635
1．知识清单：
(1)2×2列联表．
(2)独立性检验、χ2公式．
2．方法归纳：数形结合．
3．常见误区：对独立性检验的原理不理解，导致不会用χ2分析问题．
1．在独立性检验中，两个分类变量“X与Y有关系”的可信度为99%，则随机变量χ2的取值范围是( )
A．[2.706,3.841) B．[3.841,6.635)
C．[6.635,7.879) D．[7.879,10.828)
2．对两个分类变量A，B的下列说法中正确的个数为( )
①A与B无关，即A与B互不影响；
②A与B关系越密切，则χ2的值就越大；
③χ2的大小是判定A与B是否相关的唯一依据．
A．0 B．1 C．2 D．3
3．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班学生的数学成绩优秀和及格统计人数后，得到如下列联表：
优秀 及格 合计
甲班 11 34 45
乙班 8 37 45
合计 19 71 90
则χ2约为( )
A．0.600 B．0.828
C．2.712 D．6.004
4．下表是某届某校本科志愿报名时，对其中304名学生进入高校时是否了解所学专业的调查表：
了解所学专业 不了解所学专业 合计
男生 63 117 180
女生 42 82 124
合计 105 199 304
根据表中数据，则下列说法正确的是________．(填序号)
①性别与了解所学专业有关；
②性别与了解所学专业无关；
③女生比男生更了解所学专业．
参考答案与详细解析
问题1 假设H0表示{X＝1}和{Y＝1}没有关系(通常称H0为零假设)．
问题2 相互独立．
知识梳理
1．卡方独立性检验 独立性检验
2. a＋b＋c＋d
例1 (1)A [依题意，χ2＝≈8.129>6.635＝x0.01，
所以依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“关注冰雪运动与性别有关”，A正确，B不正确；
而8.129<10.828＝x0.001，在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“关注冰雪运动与性别无关”，C，D不正确．]
(2)D [分析已知条件，易得如下2×2列联表：
男生 女生 合计
玩手机超过1 h 120 70 190
玩手机不超过1 h 80 80 160
合计 200 150 350
根据列联表可得χ2，再与临界值比较，检验可得这些中学生假期里每天玩手机超过1 h是否与性别有关的结论，故利用独立性检验的方法最有说服力，故选D.]
跟踪训练1 (1)AD [因为χ2＝3.305，且3.305>2.706，由临界值表知，P≈0.10，
所以依据小概率值α＝0.1的独立性检验，认为“患肺病与吸烟有关”，则A正确，C不正确；.
因为临界值3.841>3.305，则依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为“患肺病与吸烟无关”，即B不正确，D正确．]
(2)AB [由P(χ2≥6.635)≈0.01可知，C，D正确，A，B都不正确．]
例2 解 (1)
患心脏病 患其他病 合计
秃顶 200 150 350
不秃顶 400 600 1 000
合计 600 750 1 350
P1＝＝，P2＝＝.
由于P1远大于P2，所以判断秃顶与患心脏病有关．
(2)零假设为H0：秃顶与患心脏病无关．
由题可知
χ2＝＝≈30.86>10.828＝x0.001，
所以依据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为秃顶与患心脏病有关．
跟踪训练2 解 (1)由表得，m＝50－20＝30，n＝55＋45＝100，即m＝30，n＝100.
(2)零假设为H0：“教学方式”与“成绩”无关．
由表得χ2＝≈9.091>7.879＝x0.005，我们推断H0不成立，所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“教学方式”与“成绩”有关系．
例3 解 (1)2×2列联表如表所示：
教师年龄 对新课程教学模式 合计
赞同 不赞同
老教师 10 10 20
青年教师 24 6 30
合计 34 16 50
(2)零假设为H0：对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关．由公式得
χ2＝≈4.963<6.635＝x0.01，
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以以为H0成立，即认为对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关．
跟踪训练3 解 (1)
喜爱运动 不喜爱运动 合计
男 10 6 16
女 6 8 14
合计 16 14 30
(2)零假设为H0：喜爱运动与性别无关，由已知数据可得
χ2＝≈1.157 5，因为1.157 5<2.706＝x0.1，根据小概率值α＝0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以以为H0成立，即认为性别与喜爱运动无关．
随堂演练
1．C [对照临界值表可知选C.]
2．B [①正确，A与B无关即A与B相互独立；②不正确，χ2的值的大小只是用来检验A与B是否相互独立；③不正确，例如借助三维柱形图、二维条形图等．故选B.]
3．A [根据列联表中的数据，可得
χ2＝≈0.600.]
4．②
解析 χ2＝≈0.041<2.706＝x0.1，所以性别与了解所学专业无关．