北师大版数学八年级上册第一章勾股定理第二节《一定是直角三角形吗》课时练习

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北师大版数学八年级上册1.2一定是直角三角形吗课时练习
一.选择题（共15题）
1.下列各组数可以构成直角三角形的一组是( )
A.3 5 6 B.2 3 4 C.6 7 9 D.1.5 2 2.5
答案：D
解析：解答：根据勾股定理的逆定理可知能构成直角三角形的三边的关系是较小的两边的平方和等于较大边的平方，因此只有D选项满足，故答案选D.
分析：此题考查了勾股定理的逆定理这一知识点，要注意如何通过三边的关系来判断直角三角形.
2.下列三角形中,是直角三角形的是( )
A.三角形的三边满足关系a+b=c B.三角形的三边长分别为32,42,52
C.三角形的一边等于另一边的一半 D.三角形的三边长为7,24,25
答案：D
解析：解答：要满足勾股定理的逆定理，，其他选项都不符合，故答案为D选项.
分析：此题考查了勾股定理的逆定理，注意其内容为较小的两边的平方和等于较大边的平方.
3.三角形的三边长为a、b、c，且满足等式(a+b)2－c2=2ab，则此三角形是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
答案：D
解析：解答：，整理即根据勾股定理的逆定理可以判定这个三角形为直角三角形.
分析：解决此题的关键是整理这个式子，得出关键的两边的平方和等于第三条边的平方.
4.下列命题中的假命题是( )
A.在△ABC中，若∠A=∠C－∠B，则△ABC是直角三角形
B.在△ABC中，若a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形
C.在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的度数比是5∶2∶3，则△ABC是直角三角形
D.在△ABC中，若三边长a∶b∶c=2∶2∶3，则△ABC是直角三角形
答案：D
解析：解答： A.在△ABC中，若∠A=∠C－∠B，则∠A+∠B=∠C,又∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠C=180°，∠C=90°.则△ABC是直角三角形.
B.在△ABC中，若a2+b2=c2，由勾股定理逆定理得△ABC是直角三角形.
C.在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的度数比是5∶2∶3，可设∠A=5x,
则∠B=2x，∠C=3x，∠A+∠B+∠C=180°,即5x+2x+3x=180°.
解得x=18°，故∠A=5x=5×18°=90°,则△ABC是直角三角形.
D.在△ABC中，若三边长a∶b∶c=2∶2∶3，可设a=2x，则b=2x，
c=3x，(2x)2+(2x)2=8x2≠(3x)2,即a2+b2≠c2.由勾股定理逆定理知△ABC不是直角三角形.
分析：从角来判断三角形是看有没有90度的角，从边上来判断就要看是否符合两边的平方和等于较大边的平方.
5. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm，另一直角边长为6 cm，则它的斜边长( ).
A.4 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm
答案：C
解析：解答：设斜边长为x，那么一直角边为x-2，根据勾股定理可以得到，经过整理计算可以得到x=10，故答案选择C选项.
分析：设出未知数，通过勾股定理列出关系式，从而解决问题.
6.已知三角形的三边长之比为1∶1∶，则此三角形一定是( ).
A.锐角三角形　 B.钝角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
答案：D
解析：解答从三边之比可以得到为等腰三角形，那么三边关系为根据勾股定理的逆定理可以判断为直角三角形，综合起来可知为等腰直角三角形.
分析：注意从题目所给的条件入手结合勾股定理的逆定理来判断.
7.已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（　　）
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
答案：D
解析：解答：因为(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，所以有两种情况：一，a2－b2=0，此时a=b为等腰三角形.二，a2+b2－c2 =0，根据勾股定理的逆定理可知为直角三角形，故答案选择D选项.
分析：注意两个代数式相乘等于零的时候要进行分析.
8.已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足则三角形的形状是（ ）
A.底与边不相等的等腰三角形 B.等边三角形
C.钝角三角形 D.直角三角形
答案：D
解析：解答：三个为非负数的代数式相加之和等于0，可以得到a=6，b=8，c=10.根据勾股定理的逆定理可知这三个数为勾股数，所以判断为直角三角形.
分析：注意三个非负数的代数式子相加时的情况是只能都为零.
9.下列定理中，没有逆定理的是（ ）
A.两直线平行，内错角相等 B.直角三角形两锐角互余
C.对顶角相等 D.同位角相等两直线平行
答案：C
解析：解答：A的逆命题为内错角相等两直线平行.B的逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形.D的逆命题是两直线平行同位角相等.这几个逆命题都成立，唯有C的逆命题相等的角是对顶角不成立.故答案选择C.
分析：逆命题是真命题的就是逆定理，逆命题是假命题的就不是逆定理.
10.我国古代数学家赵爽在《周髀算经》中作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（ ）
A.黄金分割 B.垂径定理 C.勾股定理 D.正弦定理
答案：C
解析：解答：弦图说明了直角三角形三边的关系，证明的是勾股定理，故答案选择C.
分析：本题考察的是勾股定理的证明，证明的方法最常用的思路是通过图形的面积来证明.
二.填空题（共10题）
11. 一个正方形的一边长为3 cm，那么它的一条对角线长是_________________.
答案：
解析：解答：正方形的一条对角线把正方形分成了两个全等的等腰三角形，根据勾股定理可得对角线长为.
分析：考察勾股定理，注意计算的过程.
12.勾股定理的逆命题是_________________________________________________.
答案：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
解析：解答：勾股定理为在直角三角形中，如果三角形的三边长a、b、c则满足a2+b2=c.那么逆命题就是把题设和结论换一下位置.
分析：本题考查原命题和逆命题的联系.
13. 有四根木棒，长度分别为3，4，5，6,若取其中三根木棒组成三角形，有__________种取法，其中，能构成直角三角形的是__________________________.
答案：4|3，4，5
解析：解答：从三角形三边关系上考虑，三角形的两边之和大于第三边.①3，4，5;②4，5，6;③3，4，6;④3，5，6.其中，能构成直角三角形的是①3，4，5..
分析：构成三角形的三边应满足三边关系，根据勾股定理的逆定理可以判断出直角三角形.
14. 测得一个三角形花坛的三边长分别为6 m、8 m、10 m,则这个花坛的面积是____________.
答案：24
解析：解答：因为62+82=102，根据勾股定理的逆定理可以判断这是一个直角三角形，6和8为两条直角边，. ,其面积是6×82=24(m2).
分析：首先判断出是直角三角形来就容易解决问题了.
15. 如图，校园内有两棵树，相距12 m，一棵树高为13 m，另一棵树高8 m，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞____________m.
答案：13
解析：解答：：如图，作DE⊥AB于E，因为AB=13 m，CD=8 m，所以AE=5 m.由BC=12 m，
所以DE=12 m.
在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2，
因为AE=5，DE=12，所以AD2=52+122.
所以AD2=169.
所以AD=13(m).
所以一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞13 m..
分析：会把实际问题转化成几何图形来解决问题.
16.在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、 12、15，则以两个这样的三角形所拼成的长
方形的面积是_________ .
答案：108
解析：解答：因为92+122=152，根据勾股定理的逆定理可以判断这是一个直角三角形，9和12为两条直角边，. ,其面积是9×122=54，当这样的两个直角三角形拼成一个长方形的时候，长方形的面积为542=108.
分析：首先判断出是直角三角形，然后计算面积.
17. 已知甲往东走了8km，乙往南走了6km，这时甲、乙俩人相距_______km .
答案：10
解析：解答：因为甲向东走，乙向南走，那么两人的行走路线的夹角为90度，求甲乙两人的相距多少就是求直角三角形的斜边长为km
分析：注意向东和向南为90度的夹角.
18. 在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线，已知AB=，那么AD=_______________.
答案：4
解析：解答：在△ABC中，由∠C=90°，∠B=30°，AB=可求出AC=,∠BAC=60°，AD是∠BAC的平分线，可得∠CAD=30°,若设CD=x，则AD=2x,由勾股定理得(23)2+x2=(2x)2,解得x=2，故AD=2x=4.
分析：注意在直角三角形中30度所对的边等于斜边的一半.
19. 两只小鼹鼠在地下从同一处开始打洞，一只朝北面挖，每分钟挖8 cm，另一只朝东面
挖，每分钟挖6 cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ ）cm.
答案：100
解析：解答：十分钟后两只鼹鼠行走的路程是80cm和60cm，而且他们行走的路线的夹角为90度，所以根据勾股定理可以求得小鼹鼠相距cm..
分析：注意他们行走的路线的夹角为直角，所以就是求直角三角形中的斜边的长度.
20.一个三角形三边的长度为5，12，13，那么求最长边上的高为_________.
答案：
解析：解答：三边为5，12，13，因为，那么根据勾股定理的逆定理可以判定为直角三角形，5和12为直角边，13为斜边，根据三角形的面积公式可以求得斜边上的高为.
分析：注意三边的关系，先判定出是直角三角形.
三、解答题（共5题）
21. 一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A与∠DBC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3，DC=13，BC=12，这个零件符合要求吗？
答案：解答：在△ABD中，AB2+AD2=32+42=9+16=25=BD2,
所以△ABD为直角三角形,且∠A=90°.
在△BDC中，BD2+BC2=52+122=25+144=169=132=DC2,
所以△BDC是直角三角形,且∠DBC=90°，因此这个零件符合要求.
答：这个零件符合要求.
解析：分析：注意如何判断直角三角形.
22. 有一块四边形地ABCD,如图,∠B=90°,AB=4 m,BC=3 m,CD=12 m,DA=13 m,求该四边形地ABCD的面积.
答案：解答：连接AC，在直角三角形ABC中，根据勾股定理可以得到AC=，
在三角形BCD中，因为，根据勾股定理的逆定理可知三角形BCD为直角三角形，所以四边形的面积为.
解析：分析：注意如何判断直角三角形.
23. 如图，将一根25 cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8 cm、6 cm和103 cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少厘米
答案：解答：设放入长方体盒子中的最大长度是x cm，
根据题意，得x2=82+62+(103)2=64+36+300=400.
所以x=20 cm，故细木棒露在盒外面的最短长度是25－20=5(cm).
解析：分析：该题中要用到两次勾股定理.
24.如图，南北向MN为我国的领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我国反走私艇A发现正东方有一走私艇C以每小时13海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇B密切注意.反走私艇A通知反走私艇B：A和C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里.反走私艇B测得距离C艇是12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？
答案：解答：设MN与AC相交于E，则∠BEC=90°，
又AB2+BC2=52+122=132=AC2，由勾股定理逆定理得
△ABC为直角三角形，即∠ABC=90°.
∵MN⊥CE，
∴走私艇进入我国领海的最近距离是CE.
∵两式相减得CE=，
÷13=≈0.85(小时),0.85小时=51分钟，
9时50分+51分=10时41分.
答：走私艇C最早在10时41分进入我国领海.
解析：分析：注意定理的应用以及时间上的变化.
25. 喜欢爬山的同学都知道,很多名山上都有便于游人观光的索道,如图所示,山的高度AC为800 m,从山上A与山下B处各建一索道口,且BC=1 500 m,一游客从山下索道口坐缆车到山顶,知缆车每分钟走50 m,那么大约多长时间后该游客才能到达山顶 说明理由.
答案：大约34分钟后该游客到达山顶，理由见解析
解析：解答：∵∠ACB=90°,
∴AB2=AC2+BC2=8002+1 5002.
∴AB=1 700. 1 700÷50=34,
∴大约34分钟后该游客到达山顶.
分析：本题中应该注意如何把实际问题转化为需要解决的问题.
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