1.2 课时1 二次函数y=ax²的图象与性质 课件（28张PPT）---2024～2025学年湘教版初中数学九年级下册

(共28张PPT)
1.2 二次函数的图象与性质
课时1 二次函数y=ax 的图象与性质
1.用描点法画二次函数y=ax 的图象，知道抛物线y=ax 是轴对称图形，知道抛物线y=ax 的开口方向与a的符号有关.
2. 掌握二次函数y=ax 的性质：能根据图象说出顶点式抛物线y=ax 的开口方向、对称轴、顶点坐标.
什么是二次函数？
一般地，形如 y=ax +bx+c ( a，b，c是常数，a≠ 0 ) 的函数叫做二次函数. 其中， x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项，当b=0，c=0时，二次函数呈最简单的形式为： y=ax (a≠ 0)
类比一次函数的学习，我们在学习了二次函数的定义之后还要研究什么？
二次函数的图象和性质
新课引入
画一次函数图象的步骤是什么？
描点法：
列表（表中给出一些自变量的值及其对因的函数值）；
描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；
连线（按照横坐标有小到大的顺序把所描出的各点用平滑的曲线顺次连接起来）.
我们可以按照画一次函数图象的方法来画二次函数y=ax 的图象吗？
例1 画出二次函数y=x2的图象.
1. 列表：在y = x 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　
9
4
1
0
1
9
4
一 二次函数 y=ax2的图象和性质
2. 描点：根据表中x，y的数值在坐标平面中描点(x，y)
x
y
O
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
8
6
4
2
-2
9
1
观察:1.点A与点A’，点B与点B’，...,它们有什么关系？
A
A’
B
B’
横坐标互为相反数，纵坐标相同,关于y轴互相对称
2.取更多的点试试，你能得出函数y = x 的图象关于y 轴对称吗？
可以得出y = x 的图象关于y 轴对称
x
y
O
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
8
6
4
2
-2
9
1
3.y 轴右边描出的各点，当横坐标增大时，纵坐标有什么变化？
4.y 轴右边的所有点都具有纵坐标随着横坐标的增大而增大的特点吗？
增大
是
可以证明y = x 的图象关于y 轴对称；图象在y 轴右边的部分，函数值随自变量的增大而增大，简称为“右升”
3. 连线：根据前面的分析，我们可以用一条光滑的曲线把原点和y 轴右边各点顺次连接起来；然后利用对称性，画出图象在y 轴左边的部分（把y 轴左边的点和原点用一条光滑的曲线顺次连接起来）.这样就得到y = x2 的图象．
x
y
O
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
8
6
4
2
-2
9
1
函数y = x2 的图象出了具有关于y 轴对称和“右升”外还具有哪些性质
①可以看出y = x2 的图象是一条曲线，他它的开口向上，对称轴与图象的交点是原点（0,0）；
②图象在y 轴左边的部分，函数值随自变量的增大而减小，简称为“左降”；
③当x=0时，函数值最小，最小值为0.
④在抛物线y=x2上任取一点(m，m )，因为它关于y轴的对称点(-m，m )也在抛物线y=x2上，所以抛物线y=x2关于y轴对称.
观察
一般的，当a>0时，y =ax2的图象都具有上述性质.于是我们画y = ax2(a>0)的图象时，可以先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分.
只需“列表、描点、连线”三个步骤.
归纳
请总结出a>0时，函数y=ax2图象有何特点？并与同伴交流.
y=ax2 文字语言 图形/符号语言
x取值范围
y取值范围
图象
开口
对称轴
顶点
最值
增减性
全体实数
非负数
y≥0
抛物线
向上
y轴
x=0
原点
(0,0)
最小值（最低点）
x=0时，y最小值=0
在对称轴左侧，抛物线从左到右下降；
x<0时，y随x增大而减小
在对称轴右侧，抛物线从左到右上升；
x>0时，y随x增大而增大
1
当，
当，
y
O
x
y
O
x
思考
例2 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象．
分别列表：
x ... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ...
y= ... 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ...
x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ...
y=2x ... 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ...
1
2
3
4
5
x
-1
5
4
3
2
1
-1
y
O
-2
-3
-4
-5
-2
6
7
8
函数 有何相同点和不同点？
相同点：1.开口向上
2.都以y轴为对称轴对称
3.都过（0,0）
不同点：开口的大小不同
总结：当a＞0时，a的值越大，开口越小；a的值越小，开口越大.
我们已经会画 的图象，能不能从它得出二次函数 的图象呢？
探究
1. 在 的图象上任取一点 P（ ），它关于x轴的对称点 Q 的坐标是（ ）
2. 点 Q 的坐标是否在 图象上？
给a赋任意值点 Q 的坐标都在 图象上
3. 由此可知， 的图象与
的图象关于 对称
x轴
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
··· ···
－8
－2
－0.5
0
－8
－4.5
－2
－0.5
－4.5
图象在对称轴左边的部分， 函数值随自变量取值的增大而_______；
4.函数 的图象具有哪些性质？
增大
图象在对称轴右边的部分， 函数值随自变量取值的增大而_______；
减小
函数图象“左升右降”
当 x ＝ 0 时，函数值最大，最大值为 0．
当 a ＜ 0 时， y ＝ ax2 的图象是不是都具有上述性质呢？
按“列表、描点、连线” 三个步骤画图试一试.
一般地， 当 a ＜ 0 时， y ＝ ax2 的图象都具有上述性质． 于是我们画y ＝ ax2（a ＜ 0 ）的图象时， 可以先画出图象在 y 轴右边的部分， 然后利用对称性， 画出图象在 y 轴左边的部分.
思考
归纳
x
y
O
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
－8
相同点：1、开口向下；
2、对称轴是y轴；
4、顶点坐标是（0，0）；
是抛物线上的最高点；
5、当x<0时，y随x的增大而增大,
简称“左升”；
当x>0时， y随x的增大而减小，
简称“右降”.
不同点：开口大小不一样
观察抛物线 ，考虑这些抛物线有什么相同点和不同点.
观察
请总结出a<0时，函数y=ax2图象有何特点？并与同伴交流.
y=ax2 文字语言 图形/符号语言
x取值范围
y取值范围
图象
开口
对称轴
顶点
最值
增减性
全体实数
非正数
y≤0
抛物线
向下
y轴
x=0
原点
(0,0)
最大值（最高点）
x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧，抛物线从左到右上升；
x<0时，y随x增大而增大
在对称轴右侧，抛物线从左到右下降；
x>0时，y随x增大而减小
1
当，
当，
y
O
x
y
O
x
思考
二次函数y = ax2(a>0)与y = ax2(a＜0)的函数图象之间的关系
y＝ax2 a>0 a<0
图象
位置开
口方向
对称性
顶点最值
增减性
开口向上，在x轴上方
开口向下，在x轴下方
|a|越大，开口越小
关于y轴（直线x＝0）对称
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧y随x变大而变小
在对称轴右侧y随x变大而变大
在对称轴左侧y随x变大而变大
在对称轴右侧y随x变大而变小
y
O
x
y
O
x
思考
解 列表： 自变量 x 从原点的横坐标 0 开始取值.
x ··· 0 ···
y = x2 ··· 0 ···
1
2
3
4
-1
-4
例3 画出二次函数 的图象
描点和连线：画出图象在 y 轴右边的部分．利用对称性， 画出图象在 y 轴左边的部分.
这样就得到了 的图象.
观察图 的图象跟实际生活中的什么相像？
以棒球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系， x 轴的正方向水平向右， y 轴的正方向竖直向上， 则可以看出棒球在空中经过的路线是形如 y ＝ ax2（a ＜ 0 ）的图象的一段． 由此受到启发， 我们把二次函数 y ＝ ax2 的图象这样的曲线叫作抛物线 ，简称为抛物线 y ＝ ax2．
观察
一般地， 二次函数 y ＝ ax2
的图象关于 y 轴对称， 抛物线
与它的对称轴的交点（0，0）
叫作抛物线 y ＝ ax2 的顶点.
顶点
②函数 y = x2 的图象的开口 ，对称轴是 ， 顶点是 ，顶点是抛物线的最 点；在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而 ，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而 .
① 函数 y = 3x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ，顶点是抛物线的最 点；在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而 ，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而 .
向下
y 轴
(0，0)
向上
y 轴
(0，0)
高
低
增大
减小
减小
增大
1.
2.已知点A（－2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数y=-9x2图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3
C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
D
对称性：在抛物线y=ax2(a<0)上任取一点(m，n)，n<0,因为它关于y轴的对称点(-m，n)也在抛物线y=ax2(a<0)上
3.已知 是二次函数，且其图象开口向上，求m的值和函数解析式.
m+1>0①
m +m=2②
解：依题意得
由①得：m>-1
∴m=1，所以二次函数解析式为y=2x
由②得：m1=-2,m2=1
m+1>0
m +m=2
4. 当 ab > 0 时，抛物线 y ＝ ax2 与直线 y ＝ ax ＋ b在同一直角坐标系中的图象大致是 (　　)
解析：根据 a、b 的符号来确定．
当 a > 0 时，抛物线 y ＝ ax2 的开口向上．∵ ab > 0，∴ b > 0 .
∴直线 y ＝ ax＋b过第一、二、三象限；当a < 0 时，抛物线 y ＝ ax2 的开口向下．
∵ab > 0，∴b < 0.∴直线 y ＝ ax＋b 过第二、三、四象限．
故选 D.
D
y＝ax2 a>0 a<0
图象
位置开
口方向
对称性
顶点最值
增减性
开口向上，在x轴上方
开口向下，在x轴下方
|a|越大，开口越小
关于y轴（直线x＝0）对称
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧y随x变大而变小
在对称轴右侧y随x变大而变大
在对称轴左侧y随x变大而变大
在对称轴右侧y随x变大而变小
y
O
x
y
O
x