1.2 课时4 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 课件(共23张PPT)2024～2025学年湘教版初中数学九年级下册
文档属性
| 名称 | 1.2 课时4 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 课件(共23张PPT)2024～2025学年湘教版初中数学九年级下册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 436.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-07 14:24:24 | ||
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文档简介
(共23张PPT)
1.2 二次函数的图象与性质
课时4 二次函数y=ax +bx+c的图象与性质
1、一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的_____相同，______不同．
形状
位置
2、抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点：当a＞0时，开口
_______，有最小值；当a＜0时，开口_______，有最大值．对称轴是_______；顶点坐标是_______．
向上
向下
直线x=h
（h，k）
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5
y = -3 (x-1)2 -2
y = 4(x-3)2 +7
y = -5(x-2)2 +6
直线x=-3
向上
向下
(-3，5)
向上
向下
直线x=1
直线x=3
直线x=2
(1，-2)
(3，7)
(2，6)
3、完成下表：
怎样直接作出函数y=-2x2+6x-1的图象？
配方：
y=-2x2+6x-1
=-2（x2-3x）-1
提取二次项系数
配方：加上再减去一次项系数一半的平方
整理：前三项化为平方形式，再去掉中括号
化简：合并同类项
温馨提示：配方后的表达式通常称为配方式或顶点式．
由二次函数y=-2x2+6x-1= 可知，抛物线的开口向下，它的对称轴是直线 ，顶点坐标是 .
我们已经会画y=a(x-h)2+k的图象了，把-2x2+6x-1配方成-2(x-h)2+k的形式，我们就可以画出它的图象了．
列表：自变量x从顶点的横坐标 开始取值．
怎样画二次函数y=-2x2+6x-1 的图象？
x …
…
描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分．
利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分．这样就得到了函数y=-2x2+6x-1的图象．
观察图象回答，当x等于多少时，函数y=-2x2+6x-1的值最大？这个最大值是多少？
当x等于顶点的横坐标 时，函数值最大；
这个最大值等于顶点的纵坐标 .
二次函数y=ax2+bx+c 图象的画法：
（1）“化”: 化成顶点式 ．
通过配方把y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式．
（2）“定”：确定开口方向、对称轴、顶点坐标．
（3）“画”：列表、描点、连线．
结论：二次函数y=ax2+bx+c，当x等于顶点的横坐标时，达到最大值(当a＜0)或最小值 (当a＞0)，这个最大(小)值等于顶点的纵坐标．
例 求函数 的最大值．
解：配方
顶点坐标是(2，1)，于是当x=2时，y达到最大值1．
如何用配方法，把y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式？
一般地，对二次函数y=ax2+bx+c进行配方，
y=ax2+bx+c
这是确定抛物线顶点与对称轴的公式
对称轴是： ，
顶点坐标是： ．
因此，当 时，函数达到最大值(当a＜0)或最小值(当a＞0)： ．
（1）“提”：提出二次项系数；
（2）“配”：括号内配成完全平方；
（3）“化”：化成顶点式．
用配方法，把y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式的一般步骤：
二次函数y=ax2+bx+c的性质：
y=ax2+bx+c 开口 方向 对称轴 顶点坐标 最大(小)值 增减性
a>0
a<0
向上
向下
y随x的增大而减小， y随x的增大而增大．
y随x的增大而增大， y随x的增大而减小．
1．抛物线y=2x2+8x-11的顶点在（ ）
A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限 D ．第四象限
2 ．若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2，则a的值是（ ）
A. 4 B. -1 C. 3 D. 4或-1
C
A
3、用配方法求下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及最大值或最小值．
（1）y=x2-3x+2； （2） y=-2x2-8x-3 ．
解： （1）y=x2-3x+2
顶点坐标：
对称轴：直线
当 时，
（2） y=-2x2-8x-3
顶点坐标(-2，5)． 对称轴：x=-2．
当x=-2时，y最大=5．
4、用公式法求下列二次函数图象的顶点坐标、对称轴．
（1）y=3x2+4x-1； （2）y=-2x2+x+3．
解： （1）a=3，b=4，c=-1．
， ．
顶点坐标是： ，
对称轴是： ．
（2）a=-2，b=1，c=3．
， ．
顶点坐标是： ，
对称轴是： ．
5、已知二次函数y=（m-2）x2+（m+3）x+m+2的图象过点（0，5）．
（1）求m的值，并写出二次函数的解析式；
（2）求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
解：（1）把（0，5）代入
y=（m-2）x2+（m+3）x+m+2，得m+2=5，
解得m=3
所以二次函数解析式为y=x2+6x+5；
（2）因为y=x2+6x+5=（x+3）2-4，
所以此二次函数图象的顶点坐标为（-3，-4），对称轴为直线x=-3．
1、确定二次函数y=ax2+bx+c顶点坐标的方法：
配方法
公式法
3、二次函数y=ax2+bx+c 图象的画法：
2、二次函数y=ax2+bx+c顶点坐标：
顶点坐标是： ．
通过配方把y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式．
确定开口方向、对称轴、顶点坐标．
列表、描点、连线．
1.2 二次函数的图象与性质
课时4 二次函数y=ax +bx+c的图象与性质
1、一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的_____相同，______不同．
形状
位置
2、抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点：当a＞0时，开口
_______，有最小值；当a＜0时，开口_______，有最大值．对称轴是_______；顶点坐标是_______．
向上
向下
直线x=h
（h，k）
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5
y = -3 (x-1)2 -2
y = 4(x-3)2 +7
y = -5(x-2)2 +6
直线x=-3
向上
向下
(-3，5)
向上
向下
直线x=1
直线x=3
直线x=2
(1，-2)
(3，7)
(2，6)
3、完成下表：
怎样直接作出函数y=-2x2+6x-1的图象？
配方：
y=-2x2+6x-1
=-2（x2-3x）-1
提取二次项系数
配方：加上再减去一次项系数一半的平方
整理：前三项化为平方形式，再去掉中括号
化简：合并同类项
温馨提示：配方后的表达式通常称为配方式或顶点式．
由二次函数y=-2x2+6x-1= 可知，抛物线的开口向下，它的对称轴是直线 ，顶点坐标是 .
我们已经会画y=a(x-h)2+k的图象了，把-2x2+6x-1配方成-2(x-h)2+k的形式，我们就可以画出它的图象了．
列表：自变量x从顶点的横坐标 开始取值．
怎样画二次函数y=-2x2+6x-1 的图象？
x …
…
描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分．
利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分．这样就得到了函数y=-2x2+6x-1的图象．
观察图象回答，当x等于多少时，函数y=-2x2+6x-1的值最大？这个最大值是多少？
当x等于顶点的横坐标 时，函数值最大；
这个最大值等于顶点的纵坐标 .
二次函数y=ax2+bx+c 图象的画法：
（1）“化”: 化成顶点式 ．
通过配方把y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式．
（2）“定”：确定开口方向、对称轴、顶点坐标．
（3）“画”：列表、描点、连线．
结论：二次函数y=ax2+bx+c，当x等于顶点的横坐标时，达到最大值(当a＜0)或最小值 (当a＞0)，这个最大(小)值等于顶点的纵坐标．
例 求函数 的最大值．
解：配方
顶点坐标是(2，1)，于是当x=2时，y达到最大值1．
如何用配方法，把y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式？
一般地，对二次函数y=ax2+bx+c进行配方，
y=ax2+bx+c
这是确定抛物线顶点与对称轴的公式
对称轴是： ，
顶点坐标是： ．
因此，当 时，函数达到最大值(当a＜0)或最小值(当a＞0)： ．
（1）“提”：提出二次项系数；
（2）“配”：括号内配成完全平方；
（3）“化”：化成顶点式．
用配方法，把y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式的一般步骤：
二次函数y=ax2+bx+c的性质：
y=ax2+bx+c 开口 方向 对称轴 顶点坐标 最大(小)值 增减性
a>0
a<0
向上
向下
y随x的增大而减小， y随x的增大而增大．
y随x的增大而增大， y随x的增大而减小．
1．抛物线y=2x2+8x-11的顶点在（ ）
A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限 D ．第四象限
2 ．若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2，则a的值是（ ）
A. 4 B. -1 C. 3 D. 4或-1
C
A
3、用配方法求下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及最大值或最小值．
（1）y=x2-3x+2； （2） y=-2x2-8x-3 ．
解： （1）y=x2-3x+2
顶点坐标：
对称轴：直线
当 时，
（2） y=-2x2-8x-3
顶点坐标(-2，5)． 对称轴：x=-2．
当x=-2时，y最大=5．
4、用公式法求下列二次函数图象的顶点坐标、对称轴．
（1）y=3x2+4x-1； （2）y=-2x2+x+3．
解： （1）a=3，b=4，c=-1．
， ．
顶点坐标是： ，
对称轴是： ．
（2）a=-2，b=1，c=3．
， ．
顶点坐标是： ，
对称轴是： ．
5、已知二次函数y=（m-2）x2+（m+3）x+m+2的图象过点（0，5）．
（1）求m的值，并写出二次函数的解析式；
（2）求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
解：（1）把（0，5）代入
y=（m-2）x2+（m+3）x+m+2，得m+2=5，
解得m=3
所以二次函数解析式为y=x2+6x+5；
（2）因为y=x2+6x+5=（x+3）2-4，
所以此二次函数图象的顶点坐标为（-3，-4），对称轴为直线x=-3．
1、确定二次函数y=ax2+bx+c顶点坐标的方法：
配方法
公式法
3、二次函数y=ax2+bx+c 图象的画法：
2、二次函数y=ax2+bx+c顶点坐标：
顶点坐标是： ．
通过配方把y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式．
确定开口方向、对称轴、顶点坐标．
列表、描点、连线．