(共26张PPT)
第1章 二次函数
1.4 二次函数与一元二次方程的联系
1.掌握二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程两根的关系.
2.理解二次函数图象与x轴的交点的个数与一元二次方程根的个数的关系.
3.会用二次函数图象求一元二次方程的近似根.
4.能用二次函数与一元二次方程的关系解决综合问题.
学习目标
我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)后,讨论了它们之间的关系如下:
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们之间存在怎样的关系呢?
当一次函数中的函数值y=0时,一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0.一次函数kx+b=0(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解.
画二次函数y=x2-2x-3的图象,回答下列问题:
问题1:如图,你能从图象中看出它与x轴的交点吗?
二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴的交点坐标分别是(-1,0),(3,0).
观察图象与x轴的交点坐标,当x=-1时,y=___,即________,也就是说x=-1是一元二次方程_________的一个根.同理,当x=3时,y=0,即x2-2x-3=0,也就是说______是一元二次方程__________的一个根.
问题2:二次函数y=x2-2x-3与一元二次方程x2-2x-3=0有怎样的关系呢?
0
x2-2x-3=0
x2-2x-3=0
x=3
x2-2x-3=0
结论:方程x2-2x-3=0的解就是抛物线y=x2-2x-3与x轴的两个交点的横坐标.因此,抛物线与一元二次方程之间是有密切联系的.
即:若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的两个不同交点,坐标分别是A(x1,0),B(x2,0),则一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根分别是x=x1、x=x2.
观察二次函数y=x2-6x+9,y=x2-2x+2的图象,分别说出一元二次方程x2-6x+9=0和x2-2x+2=0的根的情况.
(1)抛物线y=x2-6x+9的图象与x轴有______交点,它们的横坐标是_____,此时函数值为0,所以而一元二次方程x2-6x+9=0的根是_________.
(2)抛物线y=x2-2x+2的图象与x轴______交点,所以一元二次方程x2-2x+2=0______实根.
y=x2-6x+9
y=x2-2x+2
一个
3
x1=x2=3
没有
没有
在坐标系中画出二次函数y=x2-2x-3的图象,说出一元二次方程x2-2x-3=0的根的情况.
抛物线y=x2-2x-3的图象与x轴有______交点,它们的坐标分别是___________________,此时函数值为0,所以而一元二次方程x2-2x-3=0的根是___________.
两个
(-1,0),(3,0)
x1=-1,x2=3
y=x2-2x-3
观察以上三个函数的图像,说一说一元二次方程的根与二次函数与x轴交点有什么关系?
y=x2-6x+9
y=x2-2x+2
y=x2-2x-3
一元二次方程的根与二次函数与x轴交点的关系:
抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的个数 判别式△=b2-4ac的符号 方程ax2+bx+c=0有实数根的个数 函数的图象
2个
1个
没有
△>0
△=0
△<0
两个不相等实根
两个相等实根
没有实根
求一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是求二次函数y=ax2+bx+c在y=0时,自变量x的值,也就是二次函数与x轴交点的横坐标.因而我们可以利用二次函数的图象来求一元二次方程的根.由于作图或观察的误差,由图象求得的根,一般是近似的.
例1 求一元二次方程x2-2x-1=0的根的近似值(精确到0.1).
一元二次方程x2-2x-1=0的根就是抛物线y=x2-2x-1与x轴的交点的横坐标.因此我们可以先画出这条抛物线,然的从图象上找出它与x轴的交点的横坐标.这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
解 设二次函数y=x2-2x-1.作出二次y=x2-2x-1的图象,如图.
可以发现抛物线与x轴的一个交点在-1和0之间,另一个交点在2和3之间.
通过观察或测量,可得抛物线与x轴的交点的横坐标约为-0.4或2.4,即一元二次方程x2-2x-1=0的实数根为x1≈-0.4,x2≈2.4.
方法一:
借助计算器也可以来分析所求方程的实数根.其方法是将二次函数y=x2-2x-1在-1至0范围内的部分x值所对应的y值列表如下:
x -1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0
y
2
1.61
1.24
0.89
0.56
0.25
-0.04
-0.31
-0.56
-0.79
-1
观察表格可以发现,
当x=-0.5时,y=0.25>0;
当x=-0.4时,y=-0.04<0.
结合图象可以看出,使y=0的x的值一定在-0.5与-0.4之间,即-0.5方法二:
要求把方程的根精确到0.1,这时取x=-0.4或x=-0.5作为所求的根均满足要求.当x=-0.4时,y=-0.04,比当x=-0.5时,y=0.25更接近于0,因此选x=-0.4.
试借助计算器,确定一元二次方程的另一个实数根x=2.4.
归纳 一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤:
1、用描点法作二次函数的图象;
2、通过观察、测量或借助计算器估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标;
3、确定一元二次方程的解.
例2:如图,丁丁在扔铅球时, 铅球沿抛物线 运行,其中 x 是铅球离初始位置的水平距离, y 是铅球离地面的高度.
(1) 当铅球离地面的高度为 2.1 m 时, 它离初始位置的水平距离是多少?
(2) 铅球离地面的高度能否达到 2.5 m, 它离初始位置的水平距离是多少?
(3) 铅球离地面的高度能否达到 3 m? 为什么?
(1) 当铅球离地面的高度为 2.1 m 时, 它离初始位置的水平距离是多少?
解(1) 由抛物线的表达式得
即 x2 - 6x + 5 = 0 ,
解得 x1 = 1, x2 = 5.
即当铅球离地面的高度为2.1 m时,
它离初始位置的水平距离是1 m或5 m.
(2) 铅球离地面的高度能否达到 2.5 m, 它离初始位置的水平距离是多少?
(2) 由抛物线的表达式得
即 x2 - 6x + 9 = 0 ,
解得 x1 = x2 = 3.
即当铅球离地面的高度为 2.5 m 时,
它离初始位置的水平距离是 3 m.
(3) 铅球离地面的高度能否达到 3 m? 为什么?
(3) 由抛物线的表达式得
即 x2 - 6x + 14 = 0 ,
因为 Δ = (-6)2 - 4×1×14
= -20 < 0,
所以方程无实数根.
所以铅球离地面的高度不能达到 3 m.
1、二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴的交点情况是( )
A.一个交点 B.两个交点
C.没有交点 D.无法确定
2、抛物线y=-x2-2x+3与坐标轴的交点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则( )
A.a>0,b2-4ac<0
B.a>0,b2-4ac>0
C.a<0,b2-4ac<0
D.a<0,b2-4ac>
A
D
A
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y -1 -0.49 0.04 0.59 1.16
4、下表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值:
那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是( )
A.1 B.1.1 C.1.2 D.1.3
5、已知二次函数y=ax2+2ax-3的部分图象(如图),由图象可知
关于x的一元二次方程ax2+2ax-3=0的两个根分别是x1=1.3和x2=( )
A.-1.3 B.-2.3
C.-0.3 D.-3.3
C
D
6、判断下列函数的图象与x轴的公共点情况,并说明理由.
(1)y=2x2-3x; (2)y=-x2-4x-1; (3)y=x2+2x+5.
解:(1)令y=0,则2x2-3x=0,所以,△=(-3)2-4×2×0=9>0,
所以,该方程有两个不相等的实数根,即函数y=2x2-3x与x轴有两个公共点;
(2)-x2-4x-1=0,所以,△=(-4)2-4×(-1)×(-1)=12>0,
所以,该方程有两个不相等的实数根,即函数y=-x2-4x-1与x轴有两个公共点;
(3)x2+2x+5=0,所以,△=22-4×1×5=-16<0,
所以,该方程没有实数根,即函数y=x2+2x+5与x轴没有公共点.
7、在高尔夫球比赛中,某运动员打出的球在空中飞行高度h(m) 与打出后飞行的时间t(s)之间的关系是h=7t-t2.
(1)经过多少秒钟,球飞出的高度为10 m;
(2)经过多少秒钟,球又落到地面.
解:(1)把h=10代入函数解析式h=7t-t2得,7t-t2=10,
解得t1=2,t2=5,
答:经过2秒或5秒,球飞出的高度为10 m;
(2)把h=0代入函数解析式h=7t-t2得,7t-t2=0,
解得t1=0(为球开始飞出时间),t2=7(球又落到地面经过的时间),
答:经过7秒钟,球又落到地面.
一般地,从二次函数y=ax2+bx+c的图象可知
1、如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点,公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时,函数的值是0,因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根.
2、一元二次方程ax2+bx+c=m的根就是二次函数y=ax2+bx+c与直线y=m(m是实数)图象交点的横坐标.
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式△=b2-4ac
b2-4ac>0
b2-4ac=0
b2-4ac<0
有两个交点
有一个交点
没有交点
有两个不相等实数根
有两个相等实数根
没有实数根