北师大版数学八年级上册第七章平行线的证明第一节《为什么要证明》同步练习

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北师大版数学八年级上册第七章平行线的证明第1节为什么要证明
同步练习
1. 某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人．”乙说：“两项都参加的人数小于5．”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的是（　　）
A．若甲对，则乙对
B．若乙对，则甲对
C．若乙错，则甲错
D．若甲错，则乙对
答案：B
解析：解答：若甲对，即只参加一项的人数大于14人，不妨假设只参加一项的人数是15人，则两项都参加的人数为5人，故乙错．
若乙对，即两项都参加的人数小于5人，则两项都参加的人数至多为4人，
此时只参加一项的人数为16人，故甲对．
故选：B．
分析：分别假设甲说的对和乙说的正确，进而得出答案．
2. 某校九年级四个班的代表队准备举行篮球友谊赛．甲、乙、丙三位同学预测比赛的结果如下：
甲说：“902班得冠军，904班得第三”；
乙说：“901班得第四，903班得亚军”；
丙说：“903班得第三，904班得冠军”．
赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是（　　）
A．901班
B．902班
C．903班
D．904班
答案：B
解析：解答：假设甲说的“902班得冠军”是正确的，那么丙说的“904班得冠军”是错误的，
“903班得第三”就是正确的，那么乙说的“903班得亚军”是错误的，
“901班得第四”是正确的，这样三人都猜对了一半，且没矛盾．
故猜测是正确的．
故选B．
分析：因为三人都猜对了一半，假设甲说的前半句正确，来看看后面的说法有没有矛盾，有矛盾就是错误的没矛盾就是正确的．
3. 甲，乙，丙三位先生是同一家公司的职员，他们的夫人，M，N，P也都是这家公司的职员，知情者介绍说：“M的丈夫是乙的好友，并在三位先生中最年轻；丙的年龄比P的丈夫大”．根据该知情者提供的信息，我们可以推出三对夫妇分别是（　　）
A．甲-M，乙-N，丙-P △ADE与△ABC
B．甲-M，乙-P，丙-N
C．甲-N，乙-P，丙-M
D．甲-P，乙-N，丙-M
答案：B
解析：解答：∵甲，乙，丙三位先生是同一家公司的职员，他们的夫人，M，N，P也都是这家公司的职员，且M的丈夫是乙的好友，并在三位先生中最年轻，
∴ M的丈夫一定不是乙，一定是甲或丙，
∵ 丙的年龄比P的丈夫大，
∴ P与丙一定不是夫妻，且M的丈夫一定是甲，则P的丈夫是乙，N的丈夫是丙．
故选：B．
分析：根据已知M的丈夫是乙的好友，并在三位先生中最年轻；丙的年龄比P的丈夫大，即可得出M的丈夫一定不是乙，进而得出P的丈夫以及甲的丈夫进而求出即可．
4. 一同学在n天假期中观察：
（1）下了7次雨，在上午或下午
（2）当下午下雨时，上午是晴天
（3）一共有5个下午是晴天
（4）一共有6个上午是晴天
则n最小为（　　）
A．7
B．9
C．10
D．11
答案：B
解析：解答：由已知，设
（1）若上午或下午下雨7天，则应有下午或上午下雨0天，下午或上午晴7天，与一共有5个下午是晴天和一共有6个上午是晴天都不符，假设错误．
（2）若上午或下午下雨6天，则应有下午或上午下雨1天，下午或上午晴6天，与一共有5个下午是晴天不符，假设错误．
（3）若上午或下午下雨5天，则应有下午或上午下雨2天，下午或上午晴5天，与一共有6个上午是晴天不符，假设错误．
（4）若上午或下午下雨4天，则应有下午或上午下雨3天，那么都加3个上下午都晴天，此时上午晴6天，下午晴7天与条件不符，假设错误．
（5）若上午或下午下雨4天，则应有下午或上午下雨3天，那么都加2个上下午都晴天，则有5个下午是晴天和有6个上午是晴天，与所有条件相符合．即4+3+2=9．
故选：B．
分析：此题可以依据题目的四个条件，通过假设列举排除法进行推理论证．如设下了7次雨，上午7天、下午0天；上午0天、下午7天；
上午6天、下午1天；上午1天，下午6天；…然后按题的要求论证得出答案．
5. 某旅行团在一城市游览，有甲、乙、丙、丁四个景点，导游说：“①要游览甲，就得去乙；②乙、丙只能去一个；③丙、丁要么都去，要么都不去；”根据导游的说法，在下列选项中，该旅行团可能游览的景点是（　　）
A．甲、丙
B．甲、丁
C．乙、丁
D．丙、丁
答案：D
解析：解答：导游说：“①要游览甲，就得去乙；②乙、丙只能去一个，；③丙、丁要么都去，要么都不去”，
①假设要去甲，就得去乙，就不能去丙，不去丙，就不能去丁，因此可以只去甲和乙；
②假设去丙，就得去丁，就不能去乙，不去乙也不能去甲，因此可以只去丙丁；
故选：D．
分析：根据导游说的分两种情况进行分析：①假设要去甲；②假设去丙；然后分析可得答案．
6. 甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，规则是：两人比赛，另一人当裁判，输者将在下一局中担任裁判，每一局比赛没有平局．已知甲、乙各比赛了4局，丙当了3次裁判．则第二局的输者是（　　）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
答案：C
解析：解答：由题意，知：三场比赛的对阵情况为：
第一场：甲VS乙，丙当裁判；
第二场：乙VS丙，甲当裁判；
第三场：甲VS乙，丙当裁判；
第四场：甲VS丙，乙当裁判；
第五场：乙VS甲，丙当裁判；
由于输球的人下局当裁判，因此第二场输的人是丙．
故选：C．
分析：由题意知道，甲和乙各与丙比赛了一场．丙当了三次裁判，说明甲和乙比赛了三场，这三场中间分别是甲和丙，乙和丙比赛．因此第一，三，五场比赛是甲和乙比赛，第二，四场是甲和丙，乙和丙比赛，并且丙都输了．故第二局输者是丙．
7. 成都七中学生网站是由成都七中四大学生组织共同管理的网站，该网站是成都七中历史上首次由四大学生组织共同合作建成的一个学生网站，其内容囊括了成都七中学生学习及生活的各个方面．某学生在输入网址“http：∥www．cdqzstu．com”中的“cdqzstu．com”时，不小心调换了两个字母的位置，则可能出现的错误种数是（　　）
A．90
B．45
C．88
D．44
答案：D
解析：解答：“cdqzstu．com”中共有10个字母；若c与后面的字母分别调换，则有：10-1=9种调换方法；
依此类推，调换方法共有：9+8+7+…+1=45种；
由于10个字母中，有两个字母相同，因此当相同字母调换时，不会出现错误．
因此出现错误的种数应该是：45-1=44种．
故选D．
分析：“cdqzstu．com”中字母有10个．相同字母有2个．若第一个错误的字母是第一个字母c，那么c和它后面除c外任何一个字母调换后都可能出现错误，则错误的种类可能有8种．若第1个错误的字母是第二个字母d，排除和第一个字母已经计算过的错误后，可能出现的错误应该有8种，按照此种方法，错误的种类依次为：7，6，5，4，3，2，1；共有：16+7+6+5+4+3+2+1=44种．
8. 在一次1500米比赛中，有如下的判断：甲说：丙第一，我第三；乙说：我第一，丁第四；丙说：丁第二，我第三．结果是每人的两句话中都只说对了一句，则可判断第一名是（　　）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
答案：B
解析：解答：假设甲说的前半句话是正确的，即丙第一，则乙的后半句是正确的，即丁第四，则丙说的后半句应是正确的，出现矛盾，所以必须是甲说的后半句是正确的，即甲第三，所以丙说的前半句是正确的，即丁第二，所以乙说的前半句是正确的，即乙第一．
故选B．
分析：此类题应从假设出发，经过推理，如果得到矛盾，则假设错误，再进一步推理即可.
9. 在可以不同年的条件下，下列结论叙述正确的是（　　）
A．400个人中至少有两人生日相同
B．300个人至少有两人生日相同
C．300个人一定没有两人生日相同
D．300个人一定有两人生日相同
答案：A
解析：解答：一年最多有366天，所以300个人两人生日可能不相同，故选项B错误；
300个人至少有两人生日相同以及300个人一定有两人生日相同，都是不确定事件，故C、D错误．
400个人中至少有两人生日相同，正确．
故选A．
分析：根据相应事件的类型判断可能性即可．
10. 4个人进行游泳比赛，赛前A、B、C、D等4名选手进行预测．A说：“我肯定得第一名．”B说：“我绝对不会得最后一名．”C说：“我不可能得第一名，也不会得最后一名．”D说：“那只有我是最后一名！”，比赛揭晓后，发现他们之中只有一位预测错误．预测错误的人是（　　）
A．A
B．B
C．C
D．D
答案：A
解析：解答：先考虑B和D，如果B错，则B最后，D也错如果D错，则A第一，
B不是最后，C不是最后，D不是最后矛盾，则B和D都对；
再考虑A和C，如果C错，则A第一，B中间，D最后，C就对了，矛盾；
若A错，则C中间D最后，A中间B第一，成立所以A是错的．
故选：A．
分析：首先考虑B和D，进而得出矛盾，再考虑A和C得出A预测错误．
11. 妈妈让小明给客人烧水沏茶，洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，放茶叶要用2分钟，给同学打电话要用1分钟．为使客人早点喝上茶，小明最快可在几分钟内完成这些工作？（　　）
A．19分钟
B．18分钟
C．17分钟
D．16分钟
答案：D
解析：解答：小明应先洗开水壶用1分钟，再烧开水用15分钟，
在烧水期间，洗茶壶用1分钟，洗茶杯用1分钟，放茶叶用2分钟，给同学打电话用1分钟，一共用5分钟，不用算入总时间，
故为使客人早点喝上茶，小明最快可在16分钟内完成这些工作．
故选：D．
分析：利用已知得出烧水时间里完成洗茶壶、洗茶杯、再放茶叶、给同学打电话最节省时间进而得出答案．
12. 一座大楼有4部电梯，每部电梯可停靠六层（不一定是连续六层，也不一定停最底层）．对大楼中任意的两层，至少有一部电梯可同时停靠，则这座大楼最多有（　　）层．
A．11
B．12
C．13
D．14
答案：A
解析：解答：首先把楼层看作点，
大楼中任意的两层，有一部电梯都可停靠，则两层所代表的点之间可以连一条线段，
每部电梯可停靠六层，则这六层所代表的点之间可以连：5+4+3+2+1=15条线段，
则四部电梯最多可以连15×4=60条线段，
∵ 7层楼需要：6+5+4+3+2+1=21条线段，
8层楼需要：7+6+5+4+3+2+1=28条线段，
9层楼需要：8+7+6+5+4+3+2+1=36条线段，
10层楼需要：9+8+7+6+5+4+3+2+1=45条线段，
11层楼需要：10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55条线段，
12层楼需要：11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=66条线段，
∴ 这个大楼的层数不超过11层．
故选：A．
分析：首先把楼层看作点，大楼中任意的两层，有一部电梯都可停靠，则两层所代表的点之间可以连一条线段，进而得出得出四部电梯最多可以连15×4=60条线段，再求出楼层与线段条数关系，进而得出答案．
13. 七年级（1）班的四位同学参加数学知识竞赛活动，分别获得第一、二、三、四名，大家猜测谁得第几名时，明明说：“甲得第一，乙得第二”；文文说：“甲得第二，丁得第四”；凡凡说：“丙得第二，丁得第三”．名次公布后，他们每人只猜对一半，那么甲、乙、丙、丁的名次顺序为（　　）
A．甲、乙、丙、丁
B．甲、丙、乙、丁
C．甲、丁、乙、丙
D．甲、丙、丁、乙
答案：B
解析：解答：因为他们每人只猜对一半，
可以先假设明明说“甲得第一”是正确的，由此推导：
明明：甲得第一→文文：丁得第四→凡凡：丙得第二→乙得第三，成立；
若假设明明说“乙得第二”是正确的，由此进行推导：
明明：乙得第二→文文：丁得第四→凡凡：丙得第二，矛盾．
所以甲、乙、丙、丁的名次顺序为甲、丙、乙、丁．
故选：B．
分析：因为他们每人只猜对一半，可以先假设明明说“甲得第一”是正确的，由此推导：分别分析得出所有的可能即可．
14. 世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球排序，一个队要保证出线，这个队至少要积（　　）
A．6分
B．7分
C．8分
D．9分
答案：B
解析：解答：4个队单循环比赛共比赛4×3÷2=6场，每场比赛后两队得分之和或为2分（即打平），或为3分（有胜负），所以6场后各队的得分之和不超过18分，
①若一个队得7分，剩下的3个队得分之和不超过11分，不可能有两个队得分之和大于或等于7分，所以这个队必定出线，
②如果一个队得6分，则有可能还有两个队均得6分，而净胜球比该队多，该队仍不能出线．
应选：B．
分析：小组赛的总场数为小组数×（小组数-1）÷2，可得4个队的总积分，进而分类讨论小组得6分或7分能否出线即可．
15. 有一堆形状、大小相同的珠子，其中只有一粒重量比其它的轻，某同学经过思考，他说根据科学的算法，利用天平，三次肯定能找到这粒最轻的珠子，则这堆珠子最多有几粒（　　）
A．30
B．27
C．24
D．21
答案：B
解析：解答：若只有一粒重量轻的珠子，对于均衡的三组珠子（最少时一组一粒珠子）一定为下面两种情况：
（1）天平不平衡，此时重量轻的珠子存在于天平较轻的一侧；
（2）天平平衡，此时重量轻的珠子存在于不在天平上的一组，对于均衡的三组珠子，轻珠子存在于其中一组里面，无论是天平平衡还是不平衡，都可以检验出来，最后一次，最多是三粒珠子，以此向上类推，构成等比数列，公比为3，可得最多为：33=27粒
故选：B．
分析：由题意利用天平，三次能找到这粒最轻的珠子，从特殊到一般，从少到多，平均分三堆，进行称量，有两种情况：判断较轻的珠子在哪一堆，再对此堆平分三分，重复以上步骤，最后可以求解．
16. 小明同学每天早上6：00钟开始起床，起床穿衣的时间需要5分钟，起床穿衣后他立即用煤气灶煮面条吃，有下面几道工序：①洗锅盛水2分钟；②洗菜3分钟；③准备面条和佐料2分钟；④用锅把水烧开7分钟；⑤用烧开的水煮面条和菜要3分钟．若小明要将面条煮好，最少需要______分钟．
答案：17
解析：解答：小明起床需要5分钟，起床后先洗锅盛水需2分钟，再用锅把水烧开需7分钟，在烧水的同时需要洗菜3分钟、再准备面条和佐料需要2分钟，
等水烧开后，再用烧开的水煮面条和菜要3分钟，
所以小明同学要将面条煮好，最少需要：5+2+7+3=17（分钟）．
故答案为：17．
分析：先根据题意得出最节省时间的方法，然后即可求出最少需要多少时间．
17. 一个黑暗的房间里有3盏关着的电灯，每次都按下其中的2个开关，最后______将3盏电灯都开亮．（填“能”或“不能”）
答案：不能
解析：解答：∵ 一个黑暗的房间里有3盏关着的电灯，每次都按下其中的2个开关，
∴ 第一次按下后有两盏电灯亮着，有一盏电灯不亮，
这样再继续按两个开关，不论怎样一定会至少有一盏电灯不亮，故最后不能将3盏电灯都开亮．
故答案为：不能．
分析：根据按灯开关的要求，可得出不论怎样一定会至少有一盏电灯不亮，进而得出答案．
18. 有5名新同学，如果每两个人都握手1次，那么他们握手的总次数是______次．
答案：10
解析：解答：有5名同学，因此每个人握手的次数为5×4=20次，
由于每两个人握手一次，所以它们握手的总次数为20÷2=10次．
分析：根据每两个人都握手1次，则每个同学参与了4次握手，但每一次握手算了2次，所以这5人握手的总次数是5×4÷2=10次．
19. A、B、C、D四人参加某一期的体育彩票兑奖活动，现已知：如果A中奖，那么B也中奖；如果B中奖，那么C中奖或A不中奖；如果D不中奖，那么A中奖，C不中奖；如果D中奖，那么A也中奖，则这四个人中，中奖的人数是______人．
答案：4
解析：解答：根据题意，可将已知条件大致分为三类：（为叙述方便，将中奖简写为“中”）
① 如果A中，则B中；
② 如果B中，则C中或A不中；
③ 如果D不中，则A中且C不中；
已知了A中且D中，当A中时，由①知：B也中；
当B中时，由②知C也中（由于A已中奖，因此A不中的条件可以舍去）；
因此A、B、C、D四人都中奖了，由此可得出中奖的人数为4人．
故答案为：4．
分析：从最后一句话出发：如果D中奖，那么A也中奖；返回到第一句，如果A中奖，那么B也中奖；继续判断，A已经中奖，那么“如果B中奖，那么C中奖或A不中奖”的条件中，应只考虑C中将的情况．可得到如果B中奖，那么C中奖．所以一共有4个人中奖．
20. A，B，C，D，E五名同学猜测自己的数学成绩．
A说：“如果我得优，那么B也得优．”
B说：“如果我得优，那么C也得优．”
C说：“如果我得优，那么D也得优．”
D说：“如果我得优，那么E也得优．”
大家都没说错，如果A得优，那么他们之中有______人得优．
答案：5
解析：解答：由如果A得优，那么B也得优．如果B得优，那么C也得优．如果C得优，那么D也得优．如果D得优，那么E也得优．
根据以上条件．可以由A是优，则B就是优，所以C是优，所以D是优，所以E是优，这样以来就5人都是优．
故答案为：5．
分析：根据大家都没说错，如果A得优，由此进行推理即可得到结论．
三、解答题
21. 大冠买了一包宣纸练习书法，每星期一写1张，每星期二写2张，每星期三写3张，每星期四写4张，每星期五写5张，每星期六写6张，每星期日写7张．若大冠从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数已超过120张，则5月30日可能为星期几？请求出所有可能的答案并完整说明理由．
答案：解答：∵5月1日～5月30日共30天，包括四个完整的星期，
∴ 5月1日～5月28日写的张数为：，
若5月30日为星期一，所写张数为112+7+1=120，
若5月30日为星期二，所写张数为112+1+2＜120，
若5月30日为星期三，所写张数为112+2+3＜120，
若5月30日为星期四，所写张数为112+3+4＜120，
若5月30日为星期五，所写张数为112+4+5＞120，
若5月30日为星期六，所写张数为112+5+6＞120，
若5月30日为星期日，所写张数为112+6+7＞120，
故5月30日可能为星期五、六、日．
解析：分析：首先得出5月1日～5月30日，包括四个完整的星期，分别分析5月30日当分别为星期一到星期天时所有的可能，进而得出答案．
22. 某足球协会举办了一次足球联赛，其积分规则为：胜-3，平-1，负-0，当全部比赛结束（每队平均比赛12场）时，A队共积19分，请通过计算，判断A队胜、平、负各几场．
答案：
如果它胜7场，就21分了，不可能．
如果它胜不到4场，那最多3胜9平18分，也不可能．
所以它可能胜4、5、6场．
按19分算，相应地平了7、4、1场．
再用12场去减，负了1、3、5场．
解析：
分析：利用胜、平所获得分数，进而分别分析得出符合题意答案．
23. 推理能力都很强的甲、乙、丙站成一列，丙可以看见甲、乙，乙可以看见甲但看不见丙，甲看不见乙、丙．现有5顶帽子，3顶白色，2顶黑色．老师分别给每人戴上一顶帽子（在各自不知道的情况下）．老师先问丙是否知道头上的帽子颜色，丙回答说不知道；老师再问乙是否知道头上的帽子颜色，乙也回答说不知道；老师最后问甲是否知道头上的帽子颜色，甲回答说知道．请你说出甲戴了什么颜色的帽子，并写出推理过程．
答案：
甲戴的是白帽子．理由如下：
因为丙说不知道，说明甲、乙中至少有一个人戴白帽子（如果甲、乙都戴黑帽子，丙马上知道自己戴的是白帽子）．
因为乙也说不知道，说明甲戴的是白帽子（如果甲戴黑帽子，甲、乙中至少有一个人戴白帽子，则乙马上知道自己戴的是白帽子）．
解析：
分析：如果甲、乙都戴黑帽子，丙马上知道自己戴的是白帽子，如果甲戴黑帽子，甲、乙中至少有一个人戴白帽子，则乙马上知道自己戴的是白帽子．
24. 有一座三层楼房不幸起火，一个消防员搭梯子爬往三楼去救一个小孩子，当他爬到梯子正中1级时，二楼窗口喷出了火，他就往下退了3级，等到火过了，他又爬了7级，这时屋顶有两块杂物掉下来，他又往下退了2级，幸好没有打中他．他又向上爬了8级，这时他距离梯子最高层还有1级，问这个梯子共有几级？
答案：设消防队员向上爬的方向为正、往下退的方向为负，并设这个楼梯共有x级．
根据题意，我们知道这个楼梯的级数是奇数（因为只有奇数级的楼梯正中间才可以站人），
列得：，
整理得：，
解得：，
则梯子共有23级．
解析：分析：先规定消防队员向上爬的方向为正、往下退的方向为负；然后根据题意列出算式计算即可．
25. 某参观团依据下列约束条件，从A、B、C、D、E五个地方选定参观地点：
① 如果去A地，那么也必须去B地；
② D、E两地至少去一处；
③ B、C两地只去一处；
④ C、D两地都去或都不去；
⑤ 如果去E地，那么A、D两地也必须去
依据上述条件，你认为参观团只能去哪些地方参观？
答案：
由② 知，D、E两地至少去一地，若去E地，则由⑤也必须去A、D地，
由于① 和 ④ 必须去B、C两地，但与③矛盾，
所以不能去E地，因此必须去D地．
由 ④ 也必须去C地，
再由③ 知，不能去B地，从而由①知也不能去A地，
故参观团只能去C、D两地．
解析：
分析：根据题中告诉的条件，可运用假设法进行推理，若得出矛盾则否定之，若得不出矛盾则推理正确．
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