(共21张PPT)
第1章 三角形的证明
1 等腰三角形
第1课时 全等三角形和等腰三角形
导入新课
想一想
我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗？
探究新知
探究
已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠A =∠D，
∠B =∠E，BC = EF.
求证：△ABC≌△DEF.
A
B
C
D
E
F
三角形全等的性质
证明：∵∠A +∠B +∠C = 180°，
A
B
C
D
E
F
∴∠C = 180°－（∠A +∠B），
∠F = 180°－（∠D +∠E），
∵∠A =∠D，∠B =∠E（已知） .
∴∠C =∠F（等量代换）.
∵BC = EF（已知）.
∴△ABC ≌ △DEF（ASA）.
∠D +∠E +∠F = 180°(三角形内角和等于180°).
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.（AAS）
归纳总结
根据全等三角形的定义，我们可以得到
全等三角形的对应边相等、对应角相等.
探究新知
探究
等腰三角形的性质
1.你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗
推论:
定理:
等腰三角形的两个底角相等.
等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线 底边上的高互相重合(三线合一).
A
B
C
顶角
底角
底角
腰
腰
底边
A
B
C
（B）
定理 等腰三角形的两底角相等.
这一定理可以简述为：等边对等角.
折纸的办法回忆等腰三角形性质
应用举例
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC.
求证：∠B =∠C.
A
B
C
如图，取 BC 的中点 D，连接 AD.
∵ AB = AC，BD = CD，AD = AD，
∴ △ABD ≌ △ACD（SSS）.
∴ ∠B =∠C （全等三角形的对应角相等）.
证法一：
D
A
B
C
D
证法二：
如图，作△ABC 顶角∠A 的角平分线 AD.
在△ABD 和△ACD 中，
∵ AB = AC，∠BAD =∠CAD，AD = AD ，
∴ △ABD ≌ △ACD（SAS）.
∴ ∠B =∠C （全等三角形的对应角相等）.
证法三：
A
B
C
在△ABC 和△ACB 中，
∵ AB = AC，∠A = ∠A，AC = AB，
∴ △ABC ≌△ACB（SAS）.
∴ ∠B =∠C （全等三角形的对应角相等）.
A
B
C
D
在图中，线段 AD 还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？
想一想
推论 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.
可分解成下面三个方面来理解：
1. 等腰三角形的顶角的平分线，既是底边上的中线，又是底边上的高。
∵AB ＝ AC，
∠1 ＝∠2（已知）
∴BD ＝ DC，
AD⊥BC（等腰三角形三线合一）
A
B
C
D
1
2
2. 等腰三角形的底边上中线，既是底边上的高，又是顶角平分线。
∵AB ＝ AC
BD ＝ DC （已知）
∴AD⊥BC
∠1 ＝∠2 （等腰三角形三线合一）
A
B
C
D
1
2
3. 等腰三角形的底边上的高，既是底边上的中线，又是顶角平分线。
∵AB＝AC
AD⊥BC （已知）
∴BD＝DC
∠1＝∠2 （等腰三角形三线合一）
A
B
C
D
1
2
例1 如图，已知∠E＝∠F，∠ECA＝∠FBD，AB＝CD.
求证：AE＝DF.
【方法指导】要证明AE＝DF，可先证AE和DF所在的两个三角形全等，即证△ACE≌△DBF，从而转化为寻找使△ACE≌△DBF成立的条件，然后在证得两个三角形全等后再利用全等三角形的对应边相等的性质即可得到AE＝DF.
应用举例
A
D
B
E
C
F
证明：∵AB＝CD，
A
D
B
E
C
F
∴AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝DB.
在△ACE和△DBF中，
∵∠E＝∠F，∠ECA＝∠FBD，
AC＝DB，
∴△ACE≌△DBF(AAS)，
∴AE＝DF(全等三角形的对应边相等)．
例2 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．
【分析】利用等腰三角形的性质定理，等边对等角求△ABC各角度数．
A
B
C
D
解：∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，
∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD.
设∠A＝x，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，
∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x，
∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°，
解得x＝36°，
∴∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°.
随堂练习
1．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝6，则AC的长为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
A
B
C
D
2．若(a－5)2＋|b－10|＝0，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为____．
3．已知等腰三角形的一个内角为70°，则另两个内角的度数是______________________________．
25
70°和40°或55°和55°
4.在△ABC 中，AB = AC.
（1）若∠A = 40°，则∠C 等于多少度？
（2）若∠B = 72°，则∠A 等于多少度？
A
B
C
解：（1）70°
（2）36°
课堂小结
等腰三角形的性质
等边对等角
三线合一
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质.
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.
全等三角形的对应边相等，对应角相等.(共21张PPT)
第一章 三角形的证明
1 等腰三角形
第1课时 全等三角形和等腰三角形
定理：两角分别相等且其中一组等角的对边________的两个三角形全等．
全等三角形的对应边________、对应角________．
定理：等腰三角形的两底角________．这一定理可以简述为：____________．
推论：等腰三角形顶角的________、底边上的________及底边上的________互相重合．
相等
相等
相等
相等
等边对等角
平分线
中线
高线
【例1】如图，△ABC≌△DEF，BE＝4，AE＝1，则DE的长是________.
【学生解答】5
【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，AD的延长线交BC于点E.
求证：AE⊥BC.
【名师点拨】先利用“SSS”证明△ABD≌△ACD，得出∠BAD＝∠CAD，再由等腰三角形“三线合一”的性质即可证出．
【学生解答】
证明：在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠BAD＝∠CAD，即AD为∠BAC的平分线．
又∵在△ABC中，AB＝AC，点E在AD上，
∴AE⊥BC.
全等三角形的性质与判定定理
1．如图，已知△ABC≌△BAD.若AB＝6，AC＝4，BC＝5，则AD的长为( )
A．4 B．5 C．6 D．以上都不对
B
2．如图，在△ABC中，已知∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，则CE＝____．
3
等边对等角
3． 如图是某小区健身器材太空漫步机及侧面支撑部分的示意图，已知AB＝AC，∠A＝46°，则∠B的度数为( )
A．46° B．67° C．76° D．80°
B
4．(2024·湖南)若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为__________．
100°
等腰三角形中的“三线合一”
D
6．如图，点D，E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE.
求证：BD＝CE.
证明：过点A作AP⊥BC于点P.
∵AB＝AC，∴BP＝PC.
∵AD＝AE，∴DP＝PE，
∴BP－DP＝PC－PE，
即BD＝CE.
7．(贵阳期末)如图，在△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80°，是∠B的度数是( )
A．20° B．25° C．35° D．40°
B
8．(六盘水期中)如图，点D为△ABC的边BC上一点，且满足AD＝DC，作DE⊥AB于点E.若∠BAC＝70°，∠C＝34°，则∠ADE的度数为( )
A．60° B．58° C．56° D．54°
D
9． (2024·四川内江)如图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为_____．
100°
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE＝AF.求证：DE＝DF.
证明：连接AD.
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD.
在△AED和△AFD中，
∴△AED≌△AFD(SAS)，
∴DE＝DF.
11．如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D，使DB＝DE.
(1)求证：DE∥BC；
(2)若∠A＝65°，∠AED＝45°，
求∠EBC的度数．
解：(1)∵DB＝DE，
∴∠DBE＝∠DEB.
∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠CBE，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴DE∥BC；
12． 在△ABC中，AB＝AC.
(1)如图①，若∠BAD＝30°，AD是BC边上的高，AD＝AE，则∠EDC＝________；
(2)如图②，若∠BAD＝40°，AD是BC边上的高，AD＝AE，则∠EDC＝________；
解：(1)15°
(2)20°
(3)思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：_______________________________；
(4)如图③，若AD不是BC边上的高，AD＝AE，上述关系是否仍成立？若成立，请说明理由．
(3)∠BAD＝2∠EDC
(4)∠BAD＝2∠EDC仍成立．理由如下：
∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，
∴∠BAD＋∠B＝∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝∠AED＋∠EDC＝(∠EDC＋∠C)＋∠EDC＝2∠EDC＋∠C.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∴∠BAD＝2∠EDC.
