(共19张PPT)
第1章 三角形的证明
1 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的特殊性质与等边三角形的性质
导入新课
已知：如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC.完成下列各题：
(1)∵AB＝AC，
∴∠B＝______．根据是_____________；
(2)若AD是△ABC的角平分线，BC＝8，
则CD＝______．根据是_____________；
(3)若AD⊥BC，∠BAC＝40°，
则∠BAD＝______；
(4)若BD＝CD，则AD_____BC，
∠BAD＝________.
A
B
C
D
∠C
等边对等角
4
三线合一
20°
⊥
∠CAD
在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中线、高等），你能发现其中一些相等的线段吗？你能证明你的结论吗？
A
B
C
等腰三角形两个底角的角平分线相等；
等腰三角形腰上的高相等；
等腰三角形腰上的中线相等.
探究新知
探究
已知：如图，在△ABC 中， AB = AC，BD和CE 是△ABC 的角平分线.
证明: 等腰三角形两底角的平分线相等.
求证：BD = CE.
〖等腰三角形中的相等线段〗
方法一：证明：∵AB = AC，
∴∠ABC =∠ACB（等边对等角）.
1
2
1
2
∵∠1 = ∠ABC，∠2 = ∠ACB，∴∠1 =∠2.
∵BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB
在△BDC 和△CEB 中，
∵∠ACB =∠ABC，BC = CB，∠1 =∠2.
∴△BDC ≌△CEB（ASA）.
∴BD = CE（全等三角形的对应边相等）.
方法二：证明：∵AB = AC，
在△ABD 和△ACE 中，
∵∠3 =∠4，AB = AC，∠A =∠A.
∴△ABD ≌△ACE（ASA）.
∴BD = CE（全等三角形的对应边相等）.
∵BD，CE是△ ABC的角平分线
∵∠ABC=2 ∠3， ∠ACB= 2∠4(角平分线性质)
∵∠3=∠4(等式性质)
∴∠ABC =∠ACB（等边对等角）
已知：如图，在△ABC 中， AB = AC，BD、CE 是△ABC 的中线.
证明: 等腰三角形两腰上的中线相等.
求证：BD = CE.
探究
探究新知
〖等腰三角形中的相等线段〗
A
B
C
E
D
证明： ∵AB=AC , BD、CE 是△ABC 的中线.
A
B
C
E
D
∴AE = AD.
1
2
1
2
∵AD = AC，AE = AB，
在△ABD 和△ACE 中，
∵AE = AD，AB = AC，∠A =∠A.
∴△ABD ≌△ACE（SAS）.
∴BD = CE（全等三角形的对应边相等）.
A
B
C
E
D
探究
探究新知
已知：如图，在△ABC 中， AB = AC，BD、CE 是△ABC 的高.
证明:等腰三角形两腰上的高相等.
求证：BD = CE.
〖等腰三角形中的相等线段〗
证明：∵ BD、CE 是△ABC 的高.
A
B
C
E
D
∴∠AEC =∠ADB = 90°.
在△ABD 和△ACE 中，
∵∠AEC =∠ADB = 90°，
AB = AC，∠A =∠A.
∴△ABD ≌△ACE（AAS）.
∴BD = CE（全等三角形的对应边相等）.
拓展延伸
如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D，E 分别在边 AC 和 AB 上.
(1)如果∠ABD＝ ∠ABC，∠ACE＝
∠ACB，那么BD＝CE吗？如果∠ABD＝ ∠ABC，∠ACE＝ ∠ACB呢？由此你能得到的一个结论是___________；
BD＝CE
E
D
A
B
C
(3)为什么等腰三角形有这样的特殊性质？因为___________________________．
E
D
A
B
C
(2)如果AD＝ AC，AE＝ AB，那么BD＝CE吗？如果AD＝ AC，AE＝ AB呢？由此你得到的结论是
_____________；
等腰三角形是轴对称图形
BD＝CE
探究
探究新知
〖等边三角形的性质〗
已知：如图，在△ABC 中，AB = BC = AC.
求证：∠A =∠B =∠C = 60°.
A
B
C
证明：∵AB = AC，
∴∠B =∠C (等边对等角).
又∵AC=BC , ∴∠B =∠A(等边对等角)
∴∠A =∠B =∠C（等量代换）.
又∵∠A +∠B +∠C = 180°
∴∠A =∠B =∠C = 60°.
归纳总结
定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
应用举例
例1 如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形．
求证：AE＝CD.
【分析】利用等边三角形的性质定理证明△ABE和△CBD全等得到AE＝CD.
证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴△ABE≌△CBD(SAS)，
A
B
C
D
E
在△ABE和△CBD中
AB＝BC
BE＝BD
∠ABE＝∠CBD
∴AE＝CD.
∴∠ABC＝∠CBD＝60°，AB＝BC，BE＝BD.
例2 如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一条直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝________．
【分析】
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，∴∠ACD＝120°.
又∵CG＝GD，
∴∠CDG＝30°，∴∠FDE＝150°.
又∵DF＝DE，
∴∠E＝15°.
15°
A
B
C
G
F
D
E
随堂练习
1．求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数．
2．如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，求∠BAC的度数．
解：120°.
解：60°.
A
B
D
E
C
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接CE.
(1)求∠ECD的度数；
(2)若CE＝5，求BC的长．
解：(1)∠ECD＝36°；
(2)BC＝5.
A
E
D
C
B
课堂小结
等腰三角形两底角上的平分线、两腰上的高、两腰上的中线的相关性质：
定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
底角的两条平分线相等；
两条腰上的中线相等；
两条腰上的高线相等.(共19张PPT)
第2课时 等腰三角形的特殊性质与等边三角形的性质
等腰三角形两腰上的中线长相等，两腰上的高相等，两底角的平分线相等．
定理：等边三角形的三个内角都_______，并且每个角都等于_______．
相等
相等
【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，给出的下列条件中，不能使BD＝CE的是( )
【学生解答】D
【例2】如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形．求证：AE＝CD.
【学生解答】
证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠DBE＝60°，BE＝BD.
在△ABE和△CBD中，
∴△ABE≌△CBD(SAS)，∴AE＝CD.
等腰三角形中的相等线段
1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线．若BD＝7，则CE的长度为( )
A．3.5 B．4.5 C．7 D．9
C
2．如图，在△ABC中，CA＝CB，AD⊥BC，BE⊥AC，AB＝5，AD＝4，则AE的长为____．
3
3．(教材P5例1变式)如图，在△ABC中，AB＝AC，中线BD，CE相交于点O.求证：∠ECB＝∠DBC.
等边三角形的性质
4．如图，△ABC是等边三角形，点D在AB边上．若∠BCD＝13°，则∠ADC的度数为( )
A．45° B．60° C．73° D．77°
C
5．如图，AD是等边三角形ABC的高，且BD＝1cm，那么AB的长是( )
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
B
6．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE的度数为________．
15°
7． (2024·四川自贡)如图，等边三角形ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12m．现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°，则新钢架减少用钢( )
D
8． 已知点P是等边三角形ABC的边BC上的一点，若∠APC＝104°，则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最小内角的大小为( )
A．14° B．16° C．24° D．26°
B
9．如图，已知等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则∠EFD＝_______．
45°
10．如图①，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是AB，BC，AC上一点，且∠DEF＝60°.
(1)若∠1＝50°，求∠2的度数；
(2)如图②，连接DF，若DF∥BC.
求证：∠1＝∠3.
解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠A＝∠C＝60°.
∵∠B＋∠1＝∠DEC＝∠DEF＋∠2，
又∵∠DEF＝60°，
∴∠B＝∠DEF，∴∠2＝∠1＝50°；
(2)∵DF∥BC，∴∠2＝∠3.
同(1)，得∠1＝∠2，∴∠1＝∠3.
11． 如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由点A向点C运动(点P与点A，C不重合)，Q是CB延长线上一动点，由点B沿CB延长线的方向运动(点Q与点B不重合)，点P，Q同时出发，且速度相同．过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D.
(1)当∠BQD＝30°时，求AP的长；
(2)在运动过程中线段DE的长是否发
生变化？如果不发生变化，请直接写
出线段DE的长；如果发生变化，请说明理由．
解：(1)过点P作PF∥QC交AB于点F.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°.
∵PF∥QC，∴∠AFP＝∠ABC＝60°，∠APF＝∠C＝60°，则∠A＝∠AFP＝∠APF＝60°，
∴△AFP是等边三角形，∴AP＝PF＝AF.
∵点P，Q同时出发，且速度相同，
∴BQ＝AP，∴BQ＝PF.
∵PF∥QC，∴∠DQB＝∠DPF.
(2)线段DE的长不发生变化．DE＝3.[解析：由(1)，得BD＝FD.
∵△AFP是等边三角形，PE⊥AF，∴AE＝EF.
∵DE＋(BD＋AE)＝AB＝6，∴DE＋(FD＋EF)＝6，即DE＋DE＝6，∴DE＝3]
