(共20张PPT)
第1章 三角形的证明
1 等腰三角形
第3课时 等腰三角形的判定与反证法
旧知回顾
填空．
(1)等腰三角形的两底角_______．
(2)等腰三角形________________、________________及_________________互相重合．
(3)等腰三角形两底角的平分线_________．
(4)等边三角形的三个内角都__________，并且每个内角都是_________．
相等
底边上的高线
底边上的中线
顶角的平分线
相等
相等
60°
导入新课
A
B
C
前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？
已知：在△ABC 中∠B =∠C，
求证：AB = AC.
A
B
C
证明：作 AD⊥BC 于点 D，
D
∴∠ADB =∠ADC = 90°，
又∵∠B =∠C，AD = AD，
∴△ADB ≌ △ADC（AAS），
∴AB = AC.
探究新知
探究
已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C.
求证：AB＝AC.
证明一：
如图，作顶角的平分线AD，则∠1＝∠2.
在△ABD和△ACD中，
【等腰三角形的判定】
A
B
C
D
1
2
∵∠B＝∠C，∠1＝∠2，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD(AAS)，
∴AB＝AC(全等三角形的对应边相等)．
证明二：如图，作AD⊥BC于点D，
则∠ADB＝∠ADC＝90°.
A
B
C
在△ABD和△ACD中，
∵∠ADB＝∠ADC，∠B＝∠C，
AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD(AAS)，
∴AB＝AC(全等三角形的对应边相等)．
D
归纳总结
这一定理可以简述为：等角对等边.
A
B
C
几何语言：
∵∠B =∠C （已知）
∴ AB = AC（等角对等边）
定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形.
探究新知
探究
在一个三角形中，如果两个角不相等，那么，这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？
【反证法】
如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等．
假设AB＝AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C＝∠B，但已知条件是∠B≠∠C.“∠C＝∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC.
A
B
C
归纳总结
“反证法”的一般步骤：
(1)假设：假设结论的反面正确；
(2)归谬：从假设出发，通过推理得出矛盾；
(3)结论：说明假设不成立，从而得到原命题的结论正确．
先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．
应用举例
例1 已知：如图，AB = DC，BD = CA，BD 与 CA 相交于点 E.求证：△AED 是等腰三角形.
证明：∵ AB = DC，BD = CA，AD = DA，
∴△ABD ≌ △DCA（SSS）.
∴∠ADB = ∠DAC，
∴AE = ED（等角对等边）.
∴△ AED 是等腰三角形.
例2 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，交AD于点F，交AC于点E，求证：△AEF是等腰三角形．
【方法指导】根据角平分线和余角的性质，可得相等的角，再根据等角对等边得到等腰三角形．
A
B
C
D
E
F
1
2
3
证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠ABC＋∠C＝90°，∠ABC＋∠1＝90°，
∴∠1＝∠C(同角的余角相等)．
又∵BE平分∠ABC，∴∠2＝∠3，
∴∠1＋∠2＝∠1＋∠3.
又∵∠AFE＝∠1＋∠2，
∠AEF＝∠C＋∠3＝∠1＋∠3，
∴∠AFE＝∠AEF，
∴AE＝AF(等角对等边)，
∴△AEF是等腰三角形．
A
B
C
D
E
F
1
2
3
例3 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．
已知：△ABC.
求证：∠A，∠B，∠C不能有两个角是直角．
【分析】利用“反证法”的一般步骤：
(1)假设；(2)归谬；(3)结论来证明．
证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角都是直角，不妨设∠A和∠B是直角，即∠A＝90°，∠B＝90°，
于是∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，
这与三角形内角和定理相矛盾．
因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立，
所以，一个三角形中不能有两个角是直角．
随堂练习
1．在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝3，则AC的长为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
A．30° B．45°
C．60° D．90°
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B为圆心，BC的长为半径画圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD的度数为( )
B
B
A
B
C
D
3．用反证法证明三角形中必有一个内角不小于60°，应先假设这个三角形中( )
A．有一个内角小于60°
B．每个内角都小于60°
C．有一个内角大于60°
D．每个内角都大于60°
B
4. 如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC，交AC 于点 D，过点 D 作 BC 的平行线，交 AB 于点E，请判断△BDE 的形状，并说明理由.
解：△BDE 是等腰三角形.
∵ BD 平分∠ABC，
∴∠ABD = ∠DBC，
又∵DE∥BC，
∴∠DBC = ∠EDB，
∴∠ABD =∠EDB，
∴△BDE 是等腰三角形.
5. 已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于 .
1
5
证明：假设这五个数是a1，a2，a3，a4，a5全部小于 ，那么这五个数的和 a1 + a2 + a3 + a4 + a5 就小于 1.这与已知这五个数的和等于 1 相矛盾.因此假设不成立，原命题成立，即这五个数中至少有一个大于或等于 .
1
5
1
5
6.已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角， AD∥BC 且∠1 =∠2．
求证：AB = AC．
A
B
C
D
E
1
2
证明：∵ AD∥BC ，
∴∠1 = ∠B，∠2 = ∠C，
又∵∠1 = ∠2，
∴∠B = ∠C，
∴AB = AC.
课堂小结
等角对等边
有两个角相等的三角形是等腰三角形
反证法
先假设结论不成立，然后推导与已知定理相矛盾的结果，从而证明原命题成立.
等腰三角形的判定(共19张PPT)
第3课时 等腰三角形的判定与反证法
定理：有两个角相等的三角形是________三角形．这一定理可以简述为：_____________．
先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相__________的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为________．
等腰
等角对等边
矛盾
反证法
【例1】如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为D，DE∥AC，交AB于点E.
求证：△BDE是等腰三角形．
【名师点拨】先证明∠EAD＝∠EDA，再由∠B＋∠EAD＝∠EDA＋∠EDB＝90°，可得∠B＝∠EDB.
【学生解答】
证明：∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠EDA.
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD，
∴∠EAD＝∠EDA.
∵AD⊥BD，
∴∠EAD＋∠B＝90°，∠EDA＋∠BDE＝90°，
∴∠B＝∠BDE，∴BE＝DE，
∴△BDE是等腰三角形．
【例2】用反证法证明：一个三角形中不能有两个钝角．
【学生解答】
证明：假设在△ABC中有两个钝角，不妨设∠A>90°，∠B>90°，则∠A＋∠B>180°，而∠C>0°，
∴∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾，故假设不成立，
∴一个三角形中不能有两个钝角．
等腰三角形的判定
1． 如图是一个自带支架的平板保护壳及其简易图，若∠ACB＝∠ABC，AB＝13cm，则AC的长为( )
A．11cm B．12cm C．13cm D．14cm
C
2．(教材P10习题T4变式)如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以20nmile/h的速度向正北航行，10时到达海岛B处．从海岛A，B望灯塔C，测得∠NAC＝34°，∠NBC＝68°，则从海岛B到灯塔C的距离为____nmile.
40
3．如图，点C为∠AOB平分线上一点，CD∥OB交OA于点D.求证：△DOC是等腰三角形．
证明：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC.
∵CD∥OB，∴∠DCO＝∠BOC，
∴∠AOC＝∠DCO，∴OD＝CD，
∴△DOC是等腰三角形．
反证法
4．用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个内角是锐角”时，应先假设( )
A．三个内角都是锐角 B．三个内角都是钝角
C．三个内角都不是锐角 D．三个内角都不是钝角
C
5．阅读下列文字，回答问题．
题目：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A≠45°，则AC≠BC.
证明：假设AC＝BC.因为∠A≠45°，∠C＝90°，所以∠A≠∠B，所以AC≠BC.这与假设矛盾，所以AC≠BC.
上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正．
解：有错误．改正如下：假设AC＝BC，则∠A＝∠B.
∵∠C＝90°，∴∠B＝∠A＝45°，这与∠A≠45°矛盾，
∴AC＝BC不成立，∴AC≠BC.
6． 如图，平面直角坐标内有一点A(3，－2)，O为原点，P是x轴上的一个动点．如果以点P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．1
C
7． (贵阳期末)如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上的一点，OC＝12cm，动点P从点C出发，沿CB以3cm/s的速度移动，动点Q从点O出发，沿OA以2cm/s的速度移动．如果点P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t＝_____________s时，△POQ是等腰三角形．
8．用反证法证明：如图，a⊥b，c与b不垂直．
求证：a与c必相交．
证明：如图，假设a与c不相交，则a∥c.
∵a⊥b，∴∠1＝90°.
又∵a∥c，∴∠2＝∠1＝90°，
∴c⊥b，这与c和b不垂直相矛盾，
∴假设不成立，
∴a与c必相交．
9. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点F，交AC于点E.
求证：△AEF为等腰三角形．
证明：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠BAD＋∠CAD＝90°，∠CAD＋∠C＝90°，
∴∠BAD＝∠C.
∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBE.
∵∠AFE＝∠ABF＋∠BAD，∠AEF＝∠CBE＋∠C，
∴∠AFE＝∠AEF，∴AF＝AE，
即△AEF为等腰三角形．
10． 如图，在△ABC中，已知∠ABC＝∠ACB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB.
(1)图①中的等腰三角形是________；
解：(1)△ABC，△BOC
(2)若过点O作一直线EF和边BC平行，与AB交于点E，与AC交于点F，如图②，则图②中有哪几个等腰三角形？线段EF和EB， FC之间有怎样的数量关系？
(3)若∠ABC≠∠ACB，其他条件不变，如图③，则图③中是否还 有等腰三角形？(2)中第二问的关系是否还存在？写出你的理由．
(2)有5个等腰三角形：△ABC，△BOC，△BEO，△CFO，△AEF.线段EF和EB，FC之间的数量关系为EF＝EB＋FC；理由略；
(3)还有等腰三角形，即△BOE和△COF.(2)中EF＝EB＋FC仍然成立．
理由如下：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠EBO＝∠CBO，∠FCO＝∠BCO.
又∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠CBO，∠FOC＝∠BCO，
∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，
∴BE＝EO，FO＝FC，
∴EF＝EO＋FO＝EB＋FC.
【变式】(教材P9随堂练习T1变式)如图，在△ABC中，BC＝7，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F.若△AEF的周长为14，则△ABC的周长是____．
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