(共22张PPT)
第1章 三角形的证明
1 等腰三角形
第4课时 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形
导入新课
注意行人
注意儿童
注意信号灯
注意危险
等边
等边三角形是特殊的等
这几幅图是我们生活中常见的交通安全警示标志．
(1)图中的三角形都是__________三角形．
(2)等边三角形与等腰三角形的关系是
___________．
(3)等边三角形的特点是三条边相等、三个角相等、三线合一．
______________________
腰三角形
一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流.
探究新知
探究
【等边三角形的判定方法】
定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
A
B
C
已知：如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C.
求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵∠B＝∠C，
∴AC＝AB.
∵∠A＝∠C，
∴BC＝AB，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形．
定理2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
∴∠A＝∠B＝∠C，
A
B
C
已知：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°.
求证：△ABC是等边三角形．
方法一：
证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
已知：在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°.
求证：△ABC是等边三角形．
A
B
C
方法二：
证明：∵AB＝AC，∠B＝60°，
∴∠C＝∠B＝60°.
∴∠A＝180°－60°×2＝60°，
∴∠A＝∠B＝∠C，
∴△ABC是等边三角形．
归纳总结
等边三角形的判定定理：
定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
定理2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
名称
性质
判定
等边
三角形
三条边都相等
三个角都是60°
三条边都相等的三角形是等边三角形
三个角都相等的三角形是等边三角形
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
探究新知
探究
【含30°角的直角三角形的性质】
用含两个30°的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗
你能说出所拼成的三角形的形状吗？
30°
30°
30°
30°
猜想：在直角三角形中, 30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？
30°
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
证明：延长 BC 至 D，使 CD = BC，连接 AD.
∵∠ACB = 90°,∠BAC = 30°
A
B
C
D
已知：如图在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠BAC = 30°.
求证：BC = AB.
∴∠ACD= 90°, ∠B= 60°
∵AC = AC，∴△ABC ≌ △ADC（SAS）.
∴AB = AD（全等三角形的对应边相等）.
∴△ABD 是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）.
∴BC = BD = AB.
应用举例
例1 如图，在△ABC中，D为AC边上的一点，DE⊥AB于点E，DE的反向延长线交BC的延长线于点F，CD＝CF，且∠F＝30°.
求证：△ABC是等边三角形．
【方法指导】由CD＝CF，可得∠CDF＝∠F，从而得到∠ADE＝∠F，又由DE⊥AB，易得∠A＝∠B，∠B＝60°，即可证明△ABC是等边三角形．
A
E
B
D
C
F
证明：∵CD＝CF，
A
E
B
D
C
F
∴∠CDF＝∠F.
又∵∠CDF＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠F.
∵DE⊥AB，
∴∠A＋∠ADE＝90°，∠B＋∠F＝90°，
∴∠A＝∠B(等角的余角相等)，
∴△ABC是等腰三角形(等角对等边)．
又∵∠F＝30°，
∴∠B＝90°－∠F＝60°，
∴△ABC是等边三角形(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形).
例2 求证：如果等腰三角形的底角为 15°，那么腰上的高是腰长的一半.
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，∠B = 15°.
CD 是腰 AB 上的高. 求证：CD = AB.
1
2
B
A
D
C
证明：在△ABC 中，
∵AB = AC，∠B = 15°，
∴∠ACB =∠B = 15°（等边对等角）.
∴∠DAC =∠B +∠ACB = 15°+ 15°= 30°.
∵CD 是腰 AB 上的高，
∴∠ADC = 90°.
∴CD = AC（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）
∴CD= AB.
B
A
D
C
随堂练习
1．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有( )
A．①②③ B．①②④
C．①③ D．①②③④
D
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AO平分∠BAC，
若∠BOC＝60°，则△BOC的形状是( )
A．等边三角形
B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形
D．不等边三角形
3．等腰三角形的底角等于15°，腰长为10，则这个等腰三角形腰上的高是____．
A
B
C
O
A
5
4. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，∠B = 60°，CD 是△ABC 的高，且 BD = 1，求 AD 的长.
B
C
D
A
解：在△BCD 中，∠BDC = 90°，
∴∠BCD = 30°，
∴ BC = 2BD = 2，
在△ABC 中，∠ACB = 90°，
∴∠A = 30°，
∴AB = 2BC = 4，
∴AD = AB – BD = 4 – 1 = 3.
5.已知：如图，△ABC 是等边三角形，与 BC 平行的直线分别交 AB 和 AC 于点 D，E.
求证：△ADE 是等边三角形.
A
B
C
D
E
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A =∠B =∠C = 60°，
又∵DE∥BC，
∴∠ADE =∠B = 60°，
∠AED = ∠C = 60°，
∴∠ADE =∠AED =∠A= 60°，
∴△ADE是等边三角形.
A
B
C
D
E
6.房梁的一部分如图所示，其中，BC⊥AC，
∠A = 30°，AB = 7.4 m，点 D 是 AB 的中点，且 DE⊥AC，垂足为 E，求 BC，DE 的长.
解：在△ABC 中，∠A = 30°，BC⊥AC，
又∵点 D 是 AB 的中点，
∴AD = BD = 3.7 m，
在△ADE 中，∠A = 30°，DE⊥AC，
∴BC = AB = 3.7 m.
∴DE = AD = 1.85 m.
课堂小结
1.等边三角形的判定:
2.特殊的直角三角形的性质:
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
三个角都相等的三角形是等边三角形．
在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半．
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．(共21张PPT)
第4课时 等边三角形的判定
定理：三个角都相等的三角形是____________．
定理：有一个角等于__________的等腰三角形是等边三角形．
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的__________．
等边三角形
60°
一半
【例1】如图，△ABC是等边三角形，且∠1＝∠2＝∠3，判断△DEF的形状，并说明理由．
【名师点拨】利用三个角都相等证明△DEF是等边三角形．
【学生解答】
解：△DEF是等边三角形．
理由如下：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°.
∵∠1＝∠2＝∠3，
∴∠DFE＝∠3＋∠FAC＝∠1＋∠FAC＝∠CAB＝60°.
同理，得∠DEF＝∠EDF＝60°，
∴△DEF是等边三角形．
【例2】如图，E是等边三角形ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，则△ADE的形状是( )
A.等腰三角形
B．等边三角形
C．不等边三角形
D．不能确定形状
【学生解答】B
等边三角形的判定
1．下列三角形中，不一定是等边三角形的是( )
A．有两个角等于60°的三角形
B．有一个外角等于120°的等腰三角形
C．三个角都相等的三角形
D．一边上的高也是这边的中线的三角形
D
2．小明假期去成都大熊猫繁育研究基地参观．如图，EF为熊猫基地的围栏，点A处有一只熊猫，小明想要知道他与熊猫的距离AB，他在点B处测得∠ABF＝60°，然后沿着EF的方向走了10m到达点C处，测得∠ACE＝60°，则AB的长为__________．
10 m
3．如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，且AD＝DC＝DB，∠B＝30°.求证：△ADC是等边三角形．
证明：∵DC＝DB，∴∠DCB＝∠B＝30°，
∴∠ADC＝∠DCB＋∠B＝30°＋30°＝60°.
又∵AD＝DC，∴△ADC是等边三角形．
含30°角的直角三角形的性质
A
B
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，BD＝3，则AB的长为____．
12
7．△ABC的三边长分别为a，b，c，若满足(a－b)2＋|b－c|＋(c－a)2＝0，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形
B．等腰直角三角形
C.有30°角的直角三角形
D．钝角三角形
A
8．如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A，B两点，“九曲桥”的每一段与AC平行或BD平行．若AB＝100m，∠CAB＝∠DBA＝60°，则此“九曲桥”的总长度为________．
200 m
9． (2024·新疆)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8.若点D在直线AB上(不与点A，B重合)，且∠BCD＝30°，则AD的长为_________.
6或12
10．(2024·毕节期末)如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA的延长线于点F.
(1)求证：△ADF是等腰三角形；
(2)若∠B＝60°，BD＝6，AD＝3，
求EC的长．
解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵FE⊥BC，∴∠CEF＝90°，
∴∠F＋∠C＝90°，∠BDE＋∠B＝90°，
∴∠F＝∠BDE.
∵∠BDE＝∠FDA，
∴∠F＝∠FDA，∴AF＝AD，
∴△ADF是等腰三角形；
11．如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B，C，D在同一条直线上，连接AD，BE，分别交CE，AC于点G，H，连接GH.
(1)请说出AD＝BE的理由；
(2)试说出△ACG≌△BCH的理由；
(3)试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，
并加以证明．
解：(1)∵△ABC和△CDE均为等边三角形，
∴AC＝BC，EC＝DC，
∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACB＋∠ACE＝∠ECD＋∠ACE，即∠ECB＝∠ACD.
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE；
(2)∵△ACD≌△BCE，∴∠CBH＝∠CAG.
∵∠ACB＝∠ECD＝60°，点B，C，D在同一条直线上，∴∠ACG＝180°－∠ACB－∠ECD＝180°－60°－60°＝60°，∴∠ACB＝∠ACG.
在△ACG和△BCH中，
∴△ACG≌△BCH(ASA)；
(3)△CGH是等边三角形．理由如下：
∵△ACG≌△BCH，
∴CG＝CH.
又∵∠ACG＝60°，
∴△CGH是等边三角形．
