人教A版高中数学选择性必修三-6.2.2第1课时-排列数公式-导学案
学习目标 1.能用计数原理推导排列数公式.2.能用排列数公式解决简单的实际问题．
一、排列数公式
问题 怎样推导从n个不同的元素中取出m(m，n∈N*，m≤n)个元素的排列数A？
知识梳理
1．排列数：把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的________________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号________表示．
2．排列数公式：A＝________________＝(n，m∈N*，m≤n)．
3．全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列．
正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用________表示，于是，n个元素的全排列数公式可以写成________________________．
规定：0！＝1.
例1 (1)计算A.
(2)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且n<55)．
反思感悟 排列数的计算方法
排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行．应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用．
跟踪训练1 (1)化简：n(n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·(n＋m)．
(2)若M＝A＋A＋A＋…＋A，则M的个位数字是( )
A．3 B．8 C．0 D．5
二、利用排列数公式求值、化简与证明
例2 计算：
(1)；
(2)解方程：A＝140 A.
例3 求证：A－A＝mA.
反思感悟 排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算．
跟踪训练2 (1)不等式A<6A的解集为( )
A．[2,8] B．[2,6]
C．(7,12) D．{8}
(2)(多选)下列等式正确的是( )
A．(n＋1)A＝A
B.＝(n－2)!
C．A＝
D.A＝A
三、排列数公式的简单应用
例4 某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？
反思感悟 对于简单的排列问题可直接代入排列数公式，也可以用树状图法．情况较多的情形，可以进行分类后进行．
跟踪训练3 若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从2,3,4,5,6,9这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有( )
A．120个 B．80个
C．40个 D．20个
1．知识清单：
(1)排列数、排列数公式．
(2)利用排列数公式化简与证明．
(3)排列数公式的简单应用．
2．方法归纳：直接法、优先法、间接法．
3．常见误区：忽视A中“n，m∈N*”这个条件．
1．A等于( )
A．9×3
B．93
C．9×8×7
D．9×8×7×6×5×4×3
2．4×5×6×…×(n－1)×n等于( )
A．A B．A
C．n！－4! D．A
3．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)
4．从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．(用数字作答)
参考答案与详细解析
问题 我们把从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N*)个元素的排列，看成从n个不同的球中取出m个球，放入排好的m个盒子中，每个盒子里放一个球，我们根据分步乘法计数原理排列这些球：
第1步，从全体n个球中任选一个放入第1个盒子，有n种方法；
第2步，从剩下的(n－1)个球中任选一个放入第2个盒子，有(n－1)种方法；
第3步，从剩下的(n－2)个球中任选一个放入第3个盒子，有(n－2)种方法；
…
第m步，从剩下的[n－(m－1)]个球中任选一个放入第m个盒子，有[n－(m－1)]种方法，如图所示．
盒子 1 2 3 … m
方法数 n n－1 n－2 … n－(m－1)
因此，根据分步乘法计数原理，从n个不同的球中取出m个球的排列，共有n(n－1)(n－2)…[n－(m－1)]种方法．
知识梳理
1．所有不同排列的个数 A
2．n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
3．n！ A＝n(n－1)(n－2)×…×2×1＝n!
例1 (1)解 A＝10×9×8＝720.
(2)解 ∵55－n,56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有(69－n)－(55－n)＋1＝15(个)数，
∴(55－n)(56－n)…(69－n)＝A.
跟踪训练1 (1)解 由排列数公式可知n(n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·(n＋m)＝A.
(2)A [∵当n≥5时，
A＝1×2×3×4×5×…×n＝120×…×n，
∴当n≥5时，A的个位数字为0，
又∵A＋A＋A＋A＝1＋2＋6＋24＝33，
∴M的个位数字为3.]
例2 解 (1)
＝
＝＝＝.
(2)因为所以x≥3，x∈N*.
由A＝140 A得
(2x＋1)2x(2x－1)(2x－2)＝140x(x－1)(x－2)．
化简得4x2－35x＋69＝0，
解得x1＝3，x2＝(舍去)．所以原方程的解为x＝3.
例3 证明 ∵A－A＝－
＝·
＝·
＝m·＝mA，
∴A－A＝mA.
跟踪训练2 (1)D [由A<6A，得<6×，
化简得x2－19x＋84<0，解得7又所以2由①②及x∈N*，得x＝8.]
(2)ABD [对于A，(n＋1)A＝(n＋1)·＝＝＝A，正确；
对于B，＝
＝(n－2)！，正确；
对于C，A≠，错误；
对于D，A＝·＝＝A，正确．]
例4 解 分3类：第1类，用1面旗表示的信号有A种；
第2类，用2面旗表示的信号有A种；
第3类，用3面旗表示的信号有A种，
由分类加法计数原理，所求的信号种数是
A＋A＋A＝3＋3×2＋3×2×1＝15，
即一共可以表示15种不同的信号．
跟踪训练3 C [由题意知，可按十位数字的取值进行分类：
第一类，十位数字取9，有A个；
第二类，十位数字取6，有A个；
第三类，十位数字取5，有A个；
第四类，十位数字取4，有A个．
所以“伞数”的个数为A＋A＋A＋A＝40.]
随堂演练
1．C
2．D [由题意知4×5×6×…×(n－1)×n＝n×(n－1)×…×6×5×4＝A.]
3．1 560
解析 根据题意，得A＝1 560，故全班共写了1 560条毕业留言．
4．36
解析 文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有A＝12(种)方法，由分步乘法计数原理知，共有3×12＝36(种)选法．人教A版高中数学选择性必修三
6.2.2第2课时-排列的综合问题-导学案
学习目标 1.掌握几种有限制条件的排列.2.能应用排列数公式解决简单的实际问题．
一、数字排列问题
例1 用0,1,2,3,4,5这六个数字：(最后运算结果请以数字作答)
(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？
(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？
(3)能组成多少个无重复数字且比1 230大的四位数？
跟踪训练1 用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个无重复数字的七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有______个．
二、排队问题
例2 从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题．
(1)甲不在首位的排法有多少种？
(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？
(3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？
(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？
反思感悟
解决排列问题，常用的思考方法有直接法和间接法．
把特殊元素或特殊位置作为研究对象．
跟踪训练2 5名学生和1位老师站成一排照相，问老师不排在两端的排法有多少种？
例3 3名男生，4名女生，这7个人站成一排，下列情况下，各有多少种不同的站法？
(1)男、女各站在一起；
(2)男生必须排在一起；
(3)男生不能排在一起；
(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻．
反思感悟 处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．
跟踪训练3 (1)(多选)若3男3女排成一排，则下列说法错误的是( )
A．共计有720种不同的排法
B．男生甲排在两端的共有120种排法
C．男生甲、乙相邻的排法总数为120种
D．男女生相间排法总数为72种
(2)永定土楼，位于中国东南沿海的福建省龙岩市，是世界上独一无二的神奇的山区民居建筑，是中国古建筑的一朵奇葩，并成功列入世界遗产名录．它历史悠久、风格独特，规模宏大、结构精巧．土楼具体有圆形、方形、五角形、八角形、日字形、回字形、吊脚楼等类型．现有某大学建筑系学生要重点对这七种主要类型的土楼依次进行调查研究．要求调查顺序中，圆形要排在第一个或最后一个，方形、五角形相邻，则不同的排法共有( )
A．480种 B．240种
C．384种 D．1 440种
例4 将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，则有多少种不同的排列方法？
反思感悟 在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻)．解决这类问题的基本方法有两个：
(1)整体法，即若有(m＋n)个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，将这(m＋n)个元素排成一列，有A种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有A种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法；
(2)插空法，即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空中．
跟踪训练4 某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相．
(1)其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？
(2)3位老者与2位年轻人都要分别按从小到大的顺序出场，顺序有多少种？
1．知识清单：
(1)有限制条件的排列问题．
(2)“相邻”与“不相邻”、“在”与“不在”、定序问题．
2．方法归纳：捆绑法、插空法、定序问题除法处理、间接法．
3．常见误区：分类讨论时，出现重复或遗漏，各种方法使用不当．
1．某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有( )
A．6种 B．9种
C．18种 D．24种
2．6名同学排成一排，其中甲、乙必须排在一起的不同排法共有( )
A．720种 B．360种
C．240种 D．120种
3．3位老师和3名学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排法种数为( )
A．144 B．72 C．36 D．12
用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数，若1,3,5,7的顺序一定，则有________个七位数符合条件．
参考答案与详细解析
例1 解 (1)符合要求的四位偶数可分为三类：
第一类：0在个位时有A个，
第二类：2在个位时，首位从1,3,4,5中选定1个，有A种，十位和百位从余下的数字中选，有A种，于是有AA个，
第三类：4在个位时，与第二类同理，也有AA个，
由分类加法计数原理知，共有四位偶数：A＋AA·2＝156(个)．
(2)符合要求的数可分为两类：
第一类：个位上的数字是0的四位数有A个，
第二类：个位上的数字是5的四位数有AA个，
故满足条件的四位数的个数共有
A＋AA＝108(个)．
(3)符合要求的比1 230大的四位数可分为四类：
第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共AA个；
第二类：形如13□□，14□□，15□□，共有AA个；
第三类：形如124□，125□，共有AA个；
第四类：形如123□，共有A个，
由分类加法计数原理知，无重复数字且比1 230大的四位数共有：
AA＋AA＋AA＋A＝284(个)．
跟踪训练1 144
解析 先排奇数位有A种，再排偶数位有A种，故共有AA＝144(个)．
例2 解 (1)方法一 把元素作为研究对象．
第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名放在5个位置上，有A种排法；
第二类，含有甲，甲不在首位，先从除首位以外的其他4个位置中选出1个放甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在另外4个位置上，有A种排法．根据分步乘法计数原理，有4×A种排法．
由分类加法计数原理知，共有A＋4×A＝2 160(种)排法．
方法二 把位置作为研究对象．
第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有A种方法；
第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有A种方法．
由分步乘法计数原理知，共有AA＝2 160(种)排法．
方法三 (间接法)先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉．
不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有A种，甲在首位的情况有A种，
所以符合要求的排法有A－A＝2 160(种)．
(2)把位置作为研究对象．
第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有A种方法；
第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有A种方法．
根据分步乘法计数原理，共有AA＝1 800(种)方法．
(3)把位置作为研究对象．
第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有A种方法；
第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有A种方法．
根据分步乘法计数原理，共有AA＝1 200(种)方法．
(4)间接法．
总的可能情况有A种，减去甲在首位的A种排法，再减去乙在末位的A种排法，注意到甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回一次A种排法，所以共有A－2A＋A＝1 860(种)排法．
跟踪训练2 解 方法一 (先满足特殊位置)由于排头和排尾两个位置有限制要求，因此先从5名学生中选出2名站在排头和排尾，有A种方法，余下的四人可任意站，有A种方法，
所以符合要求的排法有AA＝480(种)．
方法二 (先满足特殊元素)老师既然不能排在两端，于是可以从中间四个位置中任选一个，有A种方法.5名学生在余下的五个位置中任意排列，有A种排法．因此符合题意的排法有AA＝480(种)．
方法三 (间接法)由于六个人任意排有A种排法，但实际必须减去老师排在排头的A种方法和排在排尾的A种方法，因而有A－2A＝480(种)．
例3 解 (1)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有A种排法，女生必须站一起，即把4名女生进行全排列，有A种排法，全体男生和全体女生各看作一个元素全排列有A种排法，由分步乘法计数原理知，共有A·A·A＝288(种)排法．
(2)(捆绑法)把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，
故有A·A＝720(种)不同的排法．
(3)(不相邻问题插空法)先排女生有A种排法，把3名男生安排在4名女生隔成的五个空中，有A种排法，故有A·A＝1 440(种)不同的排法．
(4)先排男生有A种排法，让女生插空，有A·A＝144(种)不同的排法．
跟踪训练3 (1)BC [3男3女排成一排共计有A＝720(种)；男生甲排在两端的共有2A＝240(种)；男生甲、乙相邻的排法总数为AA＝240(种)；男女生相间排法总数2AA＝72(种)．]
(2)A [当圆形排在第一个时，因为方形、五角形相邻，
所以捆在一起与其他图形全排列，且方形、五角形内部排列，有AA＝240(种)不同的排法，
同理当圆形排在最后一个时，有AA＝240(种)不同的排法．
综上，圆形要排在第一个或最后一个，方形、五角形相邻，则共有480种不同的排法．]
例4 解 5个不同元素中部分元素A，B，C的排列顺序已定，这种问题有以下两种常用的解法．
方法一 (整体法)5个元素无约束条件的全排列有A种，由于字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”或“C，B，A”，因此在上述的全排列中恰好符合“A，B，C”或“C，B，A”排列方式的排列有×2＝40(种)．
方法二 (插空法)若字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”，将字母D，E插入，这时形成的4个空中，分两类：
第一类，若字母D，E相邻，则有A·A种排法；
第二类，若字母D，E不相邻，则有A种排法．
所以有A·A＋A＝20(种)不同的排列方法．
同理，若字母A，B，C的排列顺序为“C，B，A”，也有20种不同的排列方法．
因此满足条件的排列有20＋20＝40(种)．
跟踪训练4 解 (1)5位嘉宾无约束条件的全排列有A种，由于3位老者的排列顺序已定，因此满足3位老者按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有＝20(种)．
(2)设符合条件的排法共有x种，
用(1)的方法可得x·A·A＝A，
解得x＝＝10.
随堂演练
1．C [先排体育有A种，再排其他的三科有A种，共有AA＝18(种)．]
2．C [将甲、乙两人视为1人与其余4人排列，有A种排列方法，甲、乙两人可互换位置，所以总的排法有A·A＝240(种)．]
3．A [先将老师排好，有A种排法，形成4个空，将3名学生插入4个空中，有A种排法，故共有AA＝144(种)排法．]
4．210
解析 若1,3,5,7的顺序不定，
则4个数字有A＝24(种)排法，
故1,3,5,7的顺序一定的排法只占全排列种数的.故有×A＝210(个)七位数符合条件．
