人教A版高中数学选择性必修三-6.2.3第2课时-组合数的性质-导学案
学习目标 1.掌握组合数公式和组合数的性质.2.能运用组合数的性质进行计算.3.会用组合数公式解决一些简单的组合问题．
一、组合数的性质1
问题1 假如我们年级将在月底进行一场篮球比赛．包括体育委员在内，班上篮球运动员有8人，按照篮球比赛规则，比赛时一个球队的上场队员是5人．我们可以形成多少种队员上场方案？我们又可以形成多少种队员不上场方案？这两种方案有什么关系？
知识梳理
组合数的性质1：C＝__________.
例1 (1)计算：C＝________，C·C＝__________.
(2)(多选)若C＝C(n∈N*)，则n等于( )
A．4 B．5 C．6 D．7
反思感悟 性质“C＝C”的意义及作用
跟踪训练1 (1)若C＝C，则C等于( )
A．1 B．10 C．11 D．55
(2)若C＝C，则C＝____________.
二、组合数的性质2
问题2 从问题1中的这8名篮球运动员中选择5人的时候，可以按照体育委员是否入选进行分类：当体育委员入选时，有C种选法；当体育委员未入选时，有C种选法．这与直接选5人参加的选法一样吗？你能得出什么结论？
知识梳理
组合数的性质2：C＝C＋C.
例2 (1)已知m≥4，C－C＋C等于( )
A．1 B．m C．m＋1 D．0
(2)C＋C＋C＋C＋…＋C等于( )
A．C B．C
C．C D．C
反思感悟 性质2常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明．应用时要注意公式的正用、逆用和变形用．正用是将一个组合数拆成两个，逆用则是“合二为一”，使用变形C＝C－C，为某些项前后抵消提供了方便，在解题中要注意灵活应用．
跟踪训练2 (1)若C－C＝C，则n等于( )
A．12 B．13 C．14 D．15
(2)计算C＋C＋C＋C＋C＝________.
三、组合数的综合应用
例3 在抗击新冠肺炎疫情的战役中，某省积极组织选派精干医疗工作者支援救援工作．某医院有内科医生10名，外科医生4名，现选派4名参加援助医疗队，其中：
(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？
(2)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？
反思感悟 求与两个基本原理的应用有关的问题，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏．
跟踪训练3 某市工商局对35种商品进行抽样检查，鉴定结果有15种假货，现从35种商品中选取3种．
(1)恰有2种假货在内的不同取法有多少种？
(2)至少有2种假货在内的不同取法有多少种？
(3)至多有2种假货在内的不同取法有多少种？
例4 已知平面α∥平面β，在平面α内有4个点，在平面β内有6个点，且平面α、平面β内的任意三点不共线．
(1)过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？
(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？
(3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？
反思感悟 解与几何有关的组合应用题的策略
(1)解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理．
(2)在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构造模型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，再将几何问题抽象成组合问题来解决．
跟踪训练4 在平面直角坐标系Oxy上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有( )
A．25个 B．36个
C．100个 D．225个
1．知识清单：
(1)组合数的两个性质及性质的理解．
(2)组合数在实际问题中的应用．
2．方法归纳：分类讨论、间接法．
3．常见误区：不注意组合数中m与n的限制条件；计算中不能构造组合数性质．
1．若C－C＝C(n∈N*)，则n等于( )
A．11 B．12
C．13 D．14
2．把5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案有( )
A．80种 B．120种
C．140种 D．50种
3．C＋C＋C＋…＋C＝________________.
4.如图，∠MON的边OM上有四个点A1，A2，A3，A4，ON上有三个点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3中三点为顶点的三角形的个数为( )
A．30 B．42
C．54 D．56
参考答案与详细解析
问题1 上场的方案有C，不上场的方案有C；C＝C＝56.
知识梳理
C
例1 (1)2 023
解析 C＝C＝2 023，C·C＝C·C＝.
(2)BD [由题意得，2n－3＝n＋2或2n－3＋n＋2＝20，即n＝5或7.]
跟踪训练1 (1)C [由C＝C，得n＝6＋5＝11，
C＝C＝C＝11.]
(2)28
解析 由C＝C，
得3n＋6＝4n－2或3n＋6＋4n－2＝18，
解得n＝2或n＝8(舍去)，
故C＝28.
问题2 一样，C＝C＋C.
例2 (1)D [C－C＋C＝C＋C－C＝C－C＝0.]
(2)D [原式＝C＋C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C＋C＝C＝C.]
跟踪训练2 (1)C [C＝C＋C＝C，∴n＋1＝7＋8，
n＝14.]
(2)35
解析 C＋C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＋C
＝C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＝C＋C
＝C＝＝35.
例3 解 (1)只需从其他12人中选2人即可，共有C＝66(种)．
(2)方法一(直接法) 至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分三类：
一内三外；二内二外；三内一外，
所以共有CC＋CC＋CC＝790(种)．
方法二(间接法) 由总数中减去四名都是内科医生和四名都是外科医生的选法种数，得C－(C＋C)＝790(种)．
跟踪训练3 解 (1)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件，有CC＝2 100(种)，
所以恰有2种假货在内的不同取法有2 100种．
(2)选取2件假货有CC种，选取3件假货有C种，共有选取方法CC＋C＝2 555(种)．
(3)选取3件的种数有C，因此有选取方法
C－C＝6 090(种)．所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．
例4 解 (1)所作出的平面有三类：
①α内1点，β内2点确定的平面，有C·C个．
②α内2点，β内1点确定的平面，有C·C个．
③α，β本身，有2个．
故最多可作C·C＋C·C＋2＝98(个)不同的平面．
(2)所作的三棱锥有三类：
①α内1点，β内3点确定的三棱锥，有C·C个．
②α内2点，β内2点确定的三棱锥，有C·C个．
③α内3点，β内1点确定的三棱锥，有C·C个．
∴最多可作C·C＋C·C＋C·C＝194(个)三棱锥．
(3)∵在等底面积、等高的情况下，三棱锥的体积才能相等．
∴最多可以有C＋C＋C·C＝114(个)不同的体积．
跟踪训练4 D [从垂直于x轴的6条直线中任取2条，从垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交成一个矩形，所以矩形总数为C×C＝15×15＝225.]
随堂演练
1．B [根据题意，C－C＝C变形可得，C＝C＋C，由组合性质可得，C＋C＝C，即C＝C，则可得到n＋1＝6＋7，解得n＝12.]
2．A [当甲组中有3人，乙、丙组中各有1人时，有CC＝20(种)不同的分配方案；
当甲组中有2人，乙组中也有2人，丙组中只有1人时，有CC＝30(种)不同的分配方案；
当甲组中有2人，乙组中有1人，丙组中有2人时，有CC＝30(种)不同的分配方案．
故共有20＋30＋30＝80(种)不同的分配方案．]
3．7 315
解析 因为C＝C，
所以C＋C＋C＋…＋C＝(C＋C)＋C＋…＋C＝(C＋C)＋C＋…＋C＝…＝C＝C＝7 315.
4．B [利用间接法，先在8个点中任取3个点，再减去三点共线的情况，所以符合条件的三角形的个数为C－C－C＝42.]人教A版高中数学选择性必修三
6.2.3第1课时-组合与组合数-导学案
学习目标 1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.2.会用组合知识解决一些简单的组合问题．
一、组合概念的理解
知识梳理
组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素____________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
例1 (1)下列四个问题中，属于组合问题的是( )
A．从3个不同小球中，取出2个排成一列
B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星
D．将3张不同的电影票分给10人中的3人，每人1张
(2)判断下列问题是组合问题还是排列问题：
①a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？
②a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？
③从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？
④从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？
反思感悟 排列、组合辨析切入点
(1)组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素即可．
(2)只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合．
(3)判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题．
跟踪训练1 判断下列问题是组合问题还是排列问题：
(1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？
(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；
(3)从7本不同的书中取出5本给某个学生．
二、利用组合数公式化简、求值与证明
知识梳理
(1)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__________________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号________表示．
(2)组合数公式：C＝＝______________或C＝______________(n，m∈N*，且m≤n)．
(3)规定：C＝1.
例2 求值：
(1)3C－2C；
(2)已知－＝，求C.
例3 证明：C＝C.
反思感悟 (1)两个组合数公式在使用中的用途有所区别．
(2)在解有关组合数的方程或不等式时，必须注意隐含条件，即C中的n为正整数，m为自然数，且n≥m.因此求出方程或不等式的解后，要进行检验，将不符合的解舍去．
跟踪训练2 (1)计算：C－C·A；
(2)证明：mC＝nC.
三、简单的组合问题
例4 一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：
(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？
(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
反思感悟 解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏．
跟踪训练3 一个口袋内装有7个白球和1个黑球．
(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
1．知识清单：
(1)组合与组合数的定义．
(2)排列与组合的区别与联系．
(3)组合数的计算与证明．
2．方法归纳：公式法．
3．常见误区：分不清“排列”还是“组合”．
1．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有( )
A．A种 B．C种
C．CA种 D．30种
2．从5名同学中推选4人去参加一个会议，则不同的推选方法种数是( )
A．10 B．5 C．4 D．1
3．(多选)使不等式C≥C(n∈N*)成立的n的取值可以是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
已知a，b，c，d这四个元素，则每次取出2个元素的所有组合为________________________．
参考答案与详细解析
知识梳理
作为一组
例1 (1)C [A，B，D与顺序有关，是排列问题，而C与顺序无关，是组合问题，故选C.]
(2)解 ①单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．
②冠、亚军是有顺序的，是排列问题．
③3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题．
④3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题．
跟踪训练1 解 (1)因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车票是不同的，所以它是排列问题．
(2)由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是排列问题．
(3)从7本不同的书中，取出5本给某个学生，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题．
知识梳理
(1)所有不同组合的个数 C
(2)
例2 解 (1)3C－2C＝3×－2×＝148.
(2)由－＝得，
－＝，
∴1－＝，即n2－23n＋42＝0，
解得n＝2或n＝21，又0≤n≤5，
∴n＝2，∴C＝C＝28.
例3 证明 右边＝C
＝·＝＝C＝左边．所以原式成立．
跟踪训练2 (1)解 原式＝C－A＝－7×6×5＝210－210＝0.
(2)证明 mC＝m·＝
＝n·＝nC.
例4 解 (1)由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案种数为C＝12 376.
(2)教练员可以分两步完成这件事情：
第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有C种选法；
第2步，从选出的11人中选出1名守门员，共有C种选法．
所以教练员做这件事情的方式种数为C×C＝136 136.
跟踪训练3 解 (1)从口袋内的8个球中取出3个球，
取法种数是C＝＝＝56.
(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C＝＝＝21.
(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C＝＝＝35.
随堂演练
1．B [三张票没区别，从10人中选3人即可，即C.]
2．B [方法一 组合问题，可从对立面考虑，选出一人不参加会议即可，故有5种方法．
方法二 由题意可知，推选方法种数为C＝5.]
3．ABC [在C中，n∈N*，且n≥2，在C中，n∈N*，n≥3，即有n∈N*，n≥3，
因为C≥C，则有≥，即n－2≤3，解得n≤5，因此有3≤n≤5，n∈N*，
所以n的取值可以是3或4或5.]
4．ab，ac，ad，bc，bd，cd
解析 可按a→b→c→d顺序写出，即
所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd.人教A版高中数学选择性必修三
6.2.3第3课时-排列、组合的综合应用-导学案
学习目标 1.掌握具有限制条件的排列、组合问题的解决方法.2.理解排列、组合中的多面手问题、分组分配等问题．
一、有限制条件的排列、组合问题
例1 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)至少有一名队长当选；
(2)至多有两名女生当选；
(3)既要有队长，又要有女生当选．
反思感悟 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类
(1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数．
(2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．
跟踪训练1 (1)某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：①任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；②任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天午餐不同的搭配方法共有( )
A．210种 B．420种
C．56种 D．22种
(2)设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤x1＋x2＋x3＋x4＋x5≤3”的元素个数为______．
二、多面手问题
例2 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？
反思感悟 解决多面手问题时，依据多面手参加的人数和从事的工作进行分类，将问题细化为较小的问题后再处理．
跟踪训练2 某车间有11名工人，其中5名钳工，4名车工，另外2名既能当车工又能当钳工，现在要从这11名工人中选4名钳工，4名车工修理一台机床，则共有多少种不同的选法？
三、分组、分配问题
问题 将甲、乙两名同学分成两组，有多少种分法？将甲、乙两名同学分成两组，分别去参加上午、下午的活动，有多少种分法？
例3 6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1)每组2本(平均分组)；
(2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)；
(3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组)．
反思感悟 “分组”与“分配”问题的解法
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！；
②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．
例4 将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数．
(1)每个盒子都不空；
(2)恰有一个空盒子．
反思感悟 相同元素分配问题的处理策略
(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此方法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．
(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C种方法．可描述为(n－1)个空中插入(m－1)块隔板．
跟踪训练3 (1)某社区服务站将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传肾脏日的主题：“尽快行动，尽快预防”，则不同的分配方案有________种(用数字作答)．
(2)将12枝相同颜色的鲜花放入编号为1,2,3,4的花瓶中，要求每个花瓶中的鲜花的数量不小于其编号数，则不同的放法种数为________．
1．知识清单：
(1)有限制条件的排列、组合问题．
(2)多面手问题．
(3)分组、分配问题．
2．方法归纳：分类讨论、插空法、隔板法、均分法．
3．常见误区：分类不当；平均分组理解不到位．
1．登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是( )
A．30 B．60 C．120 D．240
2．空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为( )
A．205 B．110 C．204 D．200
3．某大厦一层有A，B，C，D四部电梯，现有3人在一层乘坐电梯上楼，其中恰有2人乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有______种．(用数字作答)
4．某校从8名教师中选派4名去某个偏远地区支教，其中甲和乙不能都去，则不同的选派方案共有________种(用数字作答)．
参考答案与详细解析
例1 解 (1)C－C＝825(种)．
(2)至多有2名女生当选含有三类：
有2名女生当选；只有1名女生当选；没有女生当选，
所以共有CC＋CC＋C＝966(种)选法．
(3)分两类：
第一类：女队长当选，有C＝495(种)选法；
第二类：女队长没当选，有CC＋CC＋CC＋C＝295(种)选法，
所以共有495＋295＝790(种)选法．
跟踪训练1 (1)A [由分类加法计数原理知，两类午餐的搭配方法之和即为所求，所以每天午餐的不同搭配方法共有CC＋CC＝210(种)．]
(2)90
解析 集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，
∵1≤x1＋x2＋x3＋x4＋x5≤3，
∴1＋0＋0＋0＋0＝1，
1＋1－1＋0＋0＝1，
1＋1＋1－1－1＝1，
1＋1＋0＋0＋0＝2，
1＋1＋1－1＋0＝2，
1＋1＋1＋0＋0＝3，
1＋1＋1＋1－1＝3，
当和为1时，有C＋CC＋C＝45(个)，
当和为2时，有C＋CC＝30(个)，
当和为3时，有C＋C＝15(个)，
根据分类加法计数原理可得，共有45＋30＋15＝90(个)．
例2 解 由题意知，有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．
方法一 分两类．
第一类：从只会英语的6人中选1人教英语，有6种选法，则教日语的有2＋1＝3(种)选法．此时共有6×3＝18(种)选法．
第二类：从不只会英语的1人中选1人教英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有1×2＝2(种)选法．
所以由分类加法计数原理知，共有18＋2＝20(种)选法．
方法二 设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语．
第一类：甲入选．
(1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×2＝2(种)选法；
(2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×6＝6(种)选法．
故甲入选的不同选法共有2＋6＝8(种)．
第二类：甲不入选，可分两步：
第一步，从只会英语的6人中选1人，有6种选法；第二步，从只会日语的2人中选1人，有2种选法．由分步乘法计数原理知，有6×2＝12(种)不同的选法．
综上，共有8＋12＝20(种)不同的选法．
跟踪训练2 解 分三类：第一类，选出的4名钳工中无“多面手”，
此时选法有CC＝75(种)；
第二类，选出的4名钳工中有1名“多面手”，
此时选法为CCC＝100(种)；
第三类，选出的4名钳工中有2名“多面手”，
此时选法为CCC＝10(种)．
由分类加法计数原理得，共有75＋100＋10＝185(种)不同的选法．
问题 1种，2种．
例3 解 (1)每组2本，均分为3组的分组种数为＝＝15.
(2)一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为CCC＝20×3＝60.
(3)一组4本，另外两组各1本的分组种数为＝＝15.
例4 解 (1)先把6个相同的小球排成一行，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，故共有C＝10(种)放法．
(2)恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有C种选法，第二步在小球之间5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，由分步乘法计数原理得，共有C·C＝40(种)放法．
跟踪训练3 (1)90
解析 ·A＝90(种)．
(2)10
解析 先给每个花瓶放入数量与其编号数相同的鲜花，则还剩2枝鲜花．这2枝鲜花可以放在1个或2个花瓶中，
所以不同的放法共有C＋C＝10(种)．
随堂演练
1．B [先将4个熟悉道路的人平均分成两组，有种，再将余下的6人平均分成两组，有种，然后这四个组自由搭配还有A种，故最终分配方法有＝60(种)．]
2．A [方法一 可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则可构成四面体的个数为CC＋CC＋CC＋CC＝205.
方法二 从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为C－C＝205.]
3．36
解析 由题意得，不同的乘坐方式有CCA＝36(种)．
4．55
解析 由于“甲和乙不能都去”，故要分三类完成：
第一类，甲去乙不去，有C种选派方案；
第二类，乙去甲不去，有C种选派方案；
第三类，甲、乙都不去，有C种选派方案．
故共有C＋C＋C＝55(种)不同的选派方案．
