人教A版高中数学选择性必修三
6.3.2第1课时-二项式系数的性质-导学案
学习目标 1.理解二项式系数的性质并灵活运用.2.掌握“赋值法”并会灵活应用．
一、杨辉三角
问题1 根据二项式定理写出(a＋b)n(n＝1,2,3,4,5,6)的展开式的二项式系数．可以写成如下形式，则第7行的数字分别是多少？
知识梳理
(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的二项式系数________；
(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数________，即C＝________________.
例1 (1)观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是( )
A．8 B．6 C．4 D．2
(2)已知(a＋b)2n的展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，则(2x－1)n展开式中x3的系数为( )
A．80 B．40
C．－40 D．－80
反思感悟 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路
(1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察．
(2)找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律．
(3)将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解．
跟踪训练1 (1)在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项的二项式系数相同的项是( )
A．第n－k项 B．第n－k－1项
C．第n－k＋1项 D．第n－k＋2项
(2)如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b等于( )
A．20 B．21 C．22 D．23
二、二项式系数的增减性与最大值
知识梳理
增减性与最大值：
C＝＝C，即＝，所以当>1，即k<时，C随k的增加而增大；由对称性知，当k>时，C随k的增加而减小．当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值．
例2 (1)在(2＋x)6的展开式中，二项式系数最大的项是( )
A．第3项和第4项 B．第4项和第5项
C．第3项 D．第4项
(2)已知f(x)＝(＋3x2)5，求展开式中二项式系数最大的项．
反思感悟 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论．
(1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；
(2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
跟踪训练2 (1)(1－x)2n－1展开式中，二项式系数最大的项是( )
A．第n－1项 B．第n项
C．第n－1项与第n＋1项 D．第n项与第n＋1项
(2)2n展开式的第6项的二项式系数最大，则其常数项为( )
A．120 B．252 C．210 D．45
三、二项展开式的系数和问题
问题2 在二项展开式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn中，令a＝b＝1，可得到什么结论？令a＝1，b＝－1，可得到什么结论？
例3 若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)|a0|＋|a1|＋…＋|a7|.
反思感悟 求展开式的各项系数之和常用赋值法
(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
跟踪训练3 设(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023(x∈R)．
(1)求a0的值；
(2)求a1＋a2＋a3＋…＋a2 023的值；
(3)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 023的值．
1．知识清单：
(1)二项式系数的对称性．
(2)二项式系数的增减性与最值．
(3)二项展开式的系数和问题．
2．方法归纳：赋值法．
3．常见误区：系数与二项式系数的区别，中间项的个数，含绝对值的系数．
1．在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是( )
A．第15项 B．第16项
C．第17项 D．第18项
2.11的展开式中二项式系数最大的项是( )
A．第3项 B．第6项
C．第6,7项 D．第5,7项
3．杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．如图所示的杨辉三角中，第15行第15个数是( )
A．14 B．15 C．16 D．17
若(2－x)7＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a7(1＋x)7，则a0＋a1＋a2＋…＋a6的值为______．
参考答案与详细解析
问题1 1,7,21,35,35,21,7,1
知识梳理
(1)相等 (2)相加 C＋C
例1 (1)B [由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a＝10，即a＝6.]
(2)A [由题意C＝C，所以3＋7＝2n，解得n＝5，
则(2x－1)5的展开式的通项为
Tk＋1＝C(2x)5－k(－1)k＝(－1)k25－kCx5－k，
由5－k＝3，得k＝2，所以x3的系数为(－1)2·C·23＝80.]
跟踪训练1 (1)D [第k项的二项式系数是C，由于C＝C，故第n－k＋2项的二项式系数与第k项的二项式系数相同．]
(2)C [由a＝7，可知b左肩上的数为6，右肩上的数为11＋5，即16，所以b＝6＋16＝22.]
例2 (1)D [二项式(2＋x)6的展开式的通项为Tk＋1＝C26－kxk，
当k＝3时，二项式系数最大，即第4项的二项式系数最大．]
(2)解 ∵5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为T3＝＝90x6，T4＝＝.
跟踪训练2 (1)D [由二项式系数的性质得，二项式系数最大为＝C，＝C，
分别为第n，n＋1项的二次项系数．]
(2)C [由题意，得2n＝10，易知n＝5，
由Tk＋1＝C()10－kk＝，
令30－5k＝0，得k＝6，故其常数项为C＝210.]
问题2 C＋C＋C＋…＋C＝2n；C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
例3 解 (1)令x＝0，得a0＝－1.
令x＝1，得a0＋a1＋…＋a7＝27＝128，①
∴a1＋a2＋…＋a7＝129.
(2)令x＝－1，则a0－a1＋…＋a6－a7＝(－4)7，②
由①－②得，2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7，
∴a1＋a3＋a5＋a7＝8 256.
(3)∵Tk＋1＝C(3x)7－k(－1)k，
∴|a0|＋|a1|＋…＋|a7|＝－a0＋a1－a2＋a3－…－a6＋a7＝47＝16 384.
跟踪训练3 解 (1)在等式(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023中，令x＝0，得1＝a0，∴a0＝1.
(2)令x＝1，得－1＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 023，
∴a1＋a2＋…＋a2 023＝－2.
(3)分别令x＝－1，x＝1，
得
②－①，得－1－32 023＝2(a1＋a3＋…＋a2 023)．
∴a1＋a3＋…＋a2 023＝.
随堂演练
1．B [第6项的二项式系数为C，又C＝C，所以第16项符合条件．]
2．C [11的展开式中第＋1项和＋1项，即第6,7项的二项式系数相等，且最大．]
3．B [由杨辉三角知：
第1行：C，C，
第2行：C，C，C，
第3行：C，C，C，C，
第4行：C，C，C，C，C，
由此可得第n行，第r(1≤r≤n＋1)个数为C，
所以第15行第15个数是C＝C＝15.]
4．129
解析 令x＝0，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝27＝128，
又(2－x)7＝[3－(x＋1)]7，
则a7(1＋x)7＝C·30·[－(x＋1)]7，
解得a7＝－1.
故a0＋a1＋a2＋…＋a6＝128－a7＝128＋1＝129.人教A版高中数学选择性必修三
6.3.2第2课时-二项式定理的综合应用-导学案
学习目标 1.熟练掌握二项式定理.2.能够利用二项式定理解决两个多项式乘积的特定项问题.3.掌握二项展开式中系数最大(小)问题.4.能利用二项式定理解决整除(余数)问题．
一、两个二项式积的问题
例1 (1)(1＋x2)(1＋x)5的展开式中x4的系数为( )
A．5 B．10 C．15 D．20
(2)已知(2x－a)6的展开式中x2的系数为－240，则该二项展开式中的常数项为________．
反思感悟 两个二项式乘积的展开式中特定项问题
(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点．
(2)找到构成展开式中特定项的组成部分．
(3)分别求解再相乘，求和即得．
跟踪训练1 5的展开式中各项系数的和为2，则a＝________，该展开式的常数项为________．
二、三项展开式问题
例2 5的展开式中的常数项是________．
反思感悟 三项或三项以上的式子的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时，要注意合理性和简捷性．
跟踪训练2 (x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为________．
三、整除和余数问题
例3 (1)今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期( )
A．一 B．二 C．三 D．四
(2)定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作a＝b(modm)，比如：26＝16(mod10)．已知n＝C＋C·8＋C·82＋…＋C·810，满足n＝p(mod7)，则p可以是( )
A．23 B．31 C．32 D．19
(3)设a∈Z，且0≤a<13，若512 023＋a能被13整除，则a＝________.
反思感悟 (1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了．
(2)解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．
四、二项展开式中的系数最值问题
例4 (1)在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为( )
A．－126 B．－70
C．－56 D．－28
(2)6的展开式中二项式系数最大的项为第______项，系数最大的项为________．
反思感悟 求解二项展开式中系数的最值策略
(1)求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二项式系数的性质求解．
(2)求展开式中项的系数的最大值，由于展开式中项的系数是离散型变量，设展开式各项的系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组即得结果．
1．知识清单：
(1)两个二项式积的问题．
(2)三项展开式问题．
(3)整除和余数问题．
(4)二项展开式中的系数最值问题．
2．方法归纳：分类讨论，方程思想等．
3．常见误区：分类不当，重复或遗漏．
1．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为( )
A．30 B．20 C．15 D．10
2．9192被100除所得的余数为( )
A．1 B．81 C．－81 D．992
3．(x＋y＋3)5展开式中不含y的各项系数之和为( )
A．25 B．35
C．45 D．(x＋3)5
在5的展开式中，x3的系数等于－5，则该展开式各项的系数中最大值为________．
参考答案与详细解析
例1 (1)C [因为二项式(1＋x)5的展开式的通项为Tk＋1＝Cxk，所以(1＋x2)(1＋x)5的展开式中含x4的项为1×Cx4＋x2×Cx2＝15x4，所以x4的系数为15.]
(2)－640
解析 6的展开式的通项公式为
Tk＋1＝Cx6－kk＝C2kx6－2k(k＝0,1,2,3,4,5,6),
令6－2k＝1，得k＝(舍去)；
令6－2k＝2，得k＝2.
故(2x－a)6的展开式中x2的系数为
－aC22＝－240，解得a＝4.
令6－2k＝－1，得k＝(舍去)；
令6－2k＝0，得k＝3.
故(2x－4)6的展开式中的常数项为－4C·23＝－640.
跟踪训练1 1 40
解析 令x＝1，得(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1，
故5的展开式中常数项即为5的展开式中与x的系数之和．
5的展开式的通项为Tk＋1＝(－1)k25－kCx5－2k，
令5－2k＝1，得k＝2，
∴展开式中x的系数为C×25－2×(－1)2＝80.
令5－2k＝－1，得k＝3，
∴展开式中的系数为C×25－3×(－1)3＝－40，
∴5的展开式中常数项为80－40＝40.
例2
解析 方法一 原式＝5，
∴展开式的通项为＝(k1＝0,1,2，…，5)．
当k1＝5时，T6＝()5＝4，当0≤k1<5时，的展开式的通项为
(k2＝0,1,2，…，5－k1)．
令5－k1－2k2＝0，即k1＋2k2＝5.
∵0≤k1<5且k1∈Z，
∴或
∴常数项为4＋CC×2×＋CC××()3＝4＋＋20＝.
方法二 原式＝5＝·[(x＋)2]5＝·(x＋)10.
求原式的展开式中的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5项的系数，即C()5.
∴所求的常数项为＝.
跟踪训练2 30
解析 方法一 (x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的项为T3＝C(x2＋x)3y2，
其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4x＝Cx5，
所以x5y2的系数为CC＝30.
方法二 (x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可得含x5y2的项，所以x5y2的系数为CCC＝30.
例3 (1)A [求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数．
因为810＝(7＋1)10＝710＋C×79＋…＋C×7＋1＝7M＋1(M∈N*)，所以第810天相当于第1天，故为星期一．]
(2)A [因为n＝C＋C·8＋C·82＋…＋C·810＝(1＋8)10＝(7＋2)10，
也即n＝C×710＋C×79·2＋…＋C×7×29＋C·210，
故n除以7的余数为C·210＝1 024除以7的余数2，
又23除以7的余数也为2，满足题意，其他选项都不满足题意，所以p可以是23.]
(3)1
解析 因为512 023＋a＝(52－1)2 023＋a＝C522 023－C522 022＋C522 021－…＋C×521－1＋a能被13整除，故－1＋a能被13整除，又0≤a<13，故a＝1.
例4 (1)C [因为只有第5项的二项式系数最大，所以n＝8，n的展开式的通项为
Tk＋1＝(k＝0,1,2，…，8)，
所以展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开式中第4项和第6项的系数相等且最小，为(－1)3C＝－56.]
(2)4 240x－8y2
解析 因为6的展开式中二项式系数的最大值为C，所以二项式系数最大的项为第4项．因为6的展开式的通项为Tk＋1＝Cy6－kk＝C(－2)kx－2ky6－k，所以展开式中系数最大的项为奇数项．
方法一 设第r＋1项的系数最大，则
因为r∈Z,0≤r≤6，且r为偶数，所以r＝4，
则T5＝C·(－2)4x－8y2＝240x－8y2，
所以展开式中系数最大的项为240x－8y2，
方法二 展开式中第1,3,5,7项的系数分别为C·(－2)0，C·(－2)2，C·(－2)4，C·(－2)6，即1,60,240,64，所以展开式中系数最大的项为240x－8y2.
随堂演练
1．C [因为(1＋x)6的展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Cxk，所以x(1＋x)6的展开式中含x3的项为Cx3＝15x3，所以含x3项的系数为15.]
2．B [9192＝(90＋1)92＝C×9092＋C×9091＋…＋C×902＋C×90＋C.前91项均能被100整除，剩下两项为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得的余数为81.
故9192被100除所得的余数为81.]
3．C [由(x＋y＋3)5＝[(x＋3)＋y]5，则展开式的通项为Tk＋1＝C(x＋3)5－kyk，
当k＝0时，不含y的项，T1＝C(x＋3)5＝(x＋3)5，
令x＝1，可得不含y的各项系数之和为45.]
4．10
解析 5的展开式的通项
Tk＋1＝Cx5－kk＝(－a)kCx5－2k，
令5－2k＝3，得k＝1，所以－a×5＝－5，即a＝1，
展开式中第2,4,6项的系数为负数，第1,3,5项的系数为正数，故各项的系数中最大值为C＝10.
