人教A版高中数学选择性必修三
7.3.1第2课时-离散型随机变量的均值的综合应用-导学案
学习目标 1.掌握离散型随机变量的均值的性质.2.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题．
一、均值的性质
问题 若X，η都是离散型随机变量，且η＝aX＋b(其中a，b是常数)，那么E(η)与E(X)有怎样的关系？
知识梳理
离散型随机变量的均值的性质
若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝________________.
例1 已知随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2
P m
若Y＝－2X，则E(Y)＝________.
反思感悟 求线性关系的随机变量η＝aξ＋b的均值的方法
(1)定义法：先列出η的分布列，再求均值．
(2)性质法：直接套用公式，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，求解即可．
跟踪训练1 (1)已知Y＝5X＋1，E(Y)＝6，则E(X)的值为( )
A. B．5 C．1 D．31
(2)已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的分布列如表所示，则m的值为( )
ξ 1 2 3 4
P m n
A. B. C. D.
二、均值的实际应用
例2 某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘．由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：
周一 无雨 无雨 有雨 有雨
周二 无雨 有雨 无雨 有雨
收益 20万元 15万元 10万元 7.5万元
若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务．无雨时收益为20万元；有雨时收益为10万元．额外聘请工人的成本为a万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36.
(1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益(即X的均值)；
(2)该基地是否应该外聘工人，请说明理由．
反思感悟 解答概率模型的三个步骤
(1)建模：即把实际问题概率模型化．
(2)解模：确定分布列，计算随机变量的均值．
(3)回归：利用所得数据，对实际问题作出判断．
跟踪训练2 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如表所示：
品牌 甲 乙
首次出现故障时间x(年) 02 02
轿车数量(辆) 2 3 45 5 45
每辆利润(万元) 1 2 3 1.8 2.9
将频率视为概率，解答下列问题：
(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；
(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；
(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的轿车？说明理由．
三、决策问题
例3 甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：
甲公司送餐员送餐单数频数表：
送餐单数 38 39 40 41 42
天数 10 15 10 10 5
乙公司送餐员送餐单数频数表：
送餐单数 38 39 40 41 42
天数 5 10 10 20 5
若将频率视为概率，回答下列两个问题：
(1)记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和均值；
(2)小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．
反思感悟 (1)求分布列的关键是根据题意确定随机变量的所有可能取值和取每一个值时的概率，然后列成表格的形式即可．
(2)根据统计数据做出决策时，可根据实际情况从均值的大小关系作出比较后得到结论．
跟踪训练3 某地盛产脐橙，该地销售脐橙按照等级分为四类：珍品、特级、优级和一级(每箱重量为5 kg)，某采购商打算在该地采购一批脐橙销往外地，并从采购的这批脐橙中随机抽取50箱，利用脐橙的等级分类标准得到的数据如表：
等级 珍品 特级 优级 一级
箱数 10 15 15 10
(1)用分层随机抽样的方法从这50箱脐橙中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，ξ表示随机抽取的3箱中是特级的箱数，求ξ的分布列及均值E(ξ)；
(2)利用样本估计总体，该地提出两种购销方案供采购商参考：
方案一：不分等级卖出，价格为20元/kg；
方案二：分等级卖出，分等级的脐橙价格如表：
等级 珍品 特级 优级 一级
售价(元/kg) 25 20 15 10
从采购商节约资金的角度考虑，应该采用哪种方案？
1．知识清单：
(1)离散型随机变量的均值的性质．
(2)离散型随机变量的均值的实际应用．
2．方法归纳：建模思想．
3．常见误区：不会应用均值对实际问题作出正确分析．
1．已知Y＝4X＋7，E(Y)＝15，则E(X)等于( )
A．67 B．11 C．2 D．1
2．若p为非负实数，随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P p －p
则E(X)的最小值为( )
A．1 B. C. D．2
3．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率为，则此人试验次数X的均值是( )
A. B. C. D.
4．利用下列盈利表中的数据进行决策，
自然状况 方案盈利概率 A1 A2 A3 A4
S1 0.25 50 70 －20 98
S2 0.30 65 26 52 82
S3 0.45 26 16 78 －10
应选择的方案是________．
参考答案与详细解析
问题 X，η的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
η ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b
P p1 p2 … pi … pn
则E(η)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn
＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b.
知识梳理
aE(X)＋b
例1
解析 由分布列的性质，得
＋＋＋m＋＝1，
解得m＝，
∴E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.
由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，
即E(Y)＝－2×＝.
跟踪训练1 (1)C [因为E(Y)＝E(5X＋1)＝5E(X)＋1＝6，所以E(X)＝1.]
(2)A [因为η＝12ξ＋7，E(η)＝34，
则E(η)＝12E(ξ)＋7，
即E(η)＝12×＋7＝34.
所以2m＋3n＝，①
又＋m＋n＋＝1，所以m＋n＝，②
由①②，解得m＝.]
例2 解 (1)设下周一无雨的概率为p，
由题意得，p2＝0.36，则p＝0.6，基地收益X的可能取值为20,15,10,7.5，
则P(X＝20)＝0.36，P(X＝15)＝0.24，P(X＝10)＝0.24，P(X＝7.5)＝0.16，
所以基地收益X的分布列为
X 20 15 10 7.5
P 0.36 0.24 0.24 0.16
基地的预期收益
E(X)＝20×0.36＋15×0.24＋10×0.24＋7.5×0.16＝14.4(万元)，
所以基地的预期收益为14.4万元．
(2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，
则其预期收益E(Y)＝20×0.6＋10×0.4－a＝(16－a)万元，
E(Y)－E(X)＝1.6－a，
综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人；
成本低于1.6万元时，外聘工人；
成本恰为1.6万元时，是否外聘工人均可以．
跟踪训练2 解 (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝＝.
(2)依题意得，X1的分布列为
X1 1 2 3
P
X2的分布列为
X2 1.8 2.9
P
(3)由(2)得E(X1)＝1×＋2×＋3×＝2.86(万元)．
E(X2)＝1.8×＋2.9×＝2.79(万元)．
∵E(X1)>E(X2)，∴应生产甲品牌轿车．
例3 解 (1)设乙公司送餐员送餐单数为a，
当a＝38时，X＝38×6＝228，P＝＝；
当a＝39时，X＝39×6＝234，P＝＝；
当a＝40时，X＝40×6＝240，P＝＝；
当a＝41时，X＝40×6＋1×7＝247，P＝＝；
当a＝42时，X＝40×6＋2×7＝254，P＝＝，
故X的所有可能取值为228,234,240,247,254，
故X的分布列为
X 228 234 240 247 254
P
故E(X)＝228×＋234×＋240×＋247×＋254×＝241.8(元)．
(2)甲公司送餐员日平均送餐单数为
38×0.2＋39×0.3＋40×0.2＋41×0.2＋42×0.1＝39.7，
则甲公司送餐员日平均工资为80＋4×39.7＝238.8(元)，
因为乙公司送餐员日平均工资为241.8元，238.8<241.8，
所以推荐小王去乙公司应聘．
跟踪训练3 解 (1)用分层随机抽样的方法从这50箱脐橙中抽取10箱，特级品的箱数为10×＝3，非特级品的箱数为10－3＝7，ξ的取值为0,1,2,3.
则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，
则ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(2)方案一的单价为20元/kg，
设方案二的单价为η，则η的均值为
E(η)＝25×＋20×＋15×＋10×
＝17.5(元/kg)，
因为17.5<20，所以从采购商节约资金的角度考虑，应该采用方案二．
随堂演练
1．C [E(Y)＝4E(X)＋7＝15，则E(X)＝2.]
2．A [由p≥0，－p≥0，得0≤p≤，
则E(X)＝－p＋2×＝－p≥1，故选A.]
3．B [试验次数X的可能取值为1,2,3，
则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝××＝.
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.]
4．A3
解析 A1的均值为50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7；
A2的均值为70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5；
A3的均值为－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7；
A4的均值为98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6，
因为A3的均值最大，所以应选择的方案是A3.人教A版高中数学选择性必修三-7.3.1第1课时-离散型随机变量的均值-导学案
学习目标 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.2.掌握两点分布的均值.3.会利用离散型随机变量的均值，解决一些相关的实际问题．
一、离散型随机变量的均值
问题1 某人射击10次，所得环数分别是7,7,7,7,8,8,8,9,9,10，则所得的平均环数是多少？
知识梳理
均值：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示，
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
则称E(X)＝_____________＝ipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称________．
例1 某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．
如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和ξ的均值，并求李明在一年内领到驾照的概率．
反思感悟 求随机变量X的均值的方法和步骤
(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值．
(2)求出X取每个值的概率P(X＝k)．
(3)写出X的分布列．
(4)利用均值的定义求E(X)．
跟踪训练1 从装有2个红球，2个白球和1个黑球的袋中逐一取球，已知每个球被取到的可能性相同．若取后不放回，设取完红球所需的次数为X，求X的分布列及均值．
二、两点分布的均值
知识梳理
两点分布的均值：一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝________________.
例2 (1)已知随机变量X满足P(X＝1)＝0.3，P(X＝0)＝0.7，则E(X)等于( )
A．0.3 B．0.7 C．0.21 D．1
(2)一个袋中装有除颜色外其他都相同的3个白球和4个红球．
①从中任意摸出1个球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X＝求X的分布列及均值；
②从中任意摸出两个球，用Y＝0表示“两个球全是白球”，用Y＝1表示“两个球不全是白球”，求Y的分布列及均值．
反思感悟 两点分布的特点
(1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的．
(2)由对立事件的概率求法可知P(X＝0)＋P(X＝1)＝1.
跟踪训练2 在掷一枚图钉的随机试验中，令X＝如果针尖向上的概率为，那么试写出随机变量X的分布列并求其均值．
三、均值的简单应用
例3 在某校开展的知识竞赛活动中，共有A，B，C三道题，答对A，B，C分别得2分、2分、4分，答错不得分．已知甲同学答对问题A，B，C的概率分别为，，，且各题回答正确与否相互独立．
(1)求甲同学至少有一道题不能答对的概率；
(2)求甲同学本次竞赛中得分的分布列及均值．
反思感悟 解答应用类问题时，首先把问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应概率．
跟踪训练3 随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X.
(1)求X的分布列；
(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；
(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.若此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
1．知识清单：
(1)离散型随机变量的均值．
(2)两点分布的均值．
(3)均值的简单应用．
2．方法归纳：函数与方程、转化化归．
3．常见误区：不会应用均值对实际问题作出正确分析．
1．已知离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
则X的均值E(X)等于( )
A. B．2 C. D．3
2．设随机变量X的分布列如表，且E(X)＝1.6，则a－b等于( )
X 0 1 2 3
P 0.1 a b 0.1
A.0.2 B．0.1
C．－0.2 D．－0.4
3．学校要从10名候选人中选2名同学进入学生会，其中高二(1)班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到，若X表示选到高二(1)班的候选人的人数，则E(X)等于( )
A. B. C. D.
4．随机变量X的取值为0,1,2，若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则P(X＝1)＝________.
参考答案与详细解析
问题1 ＝＝7×＋8×＋9×＋10×＝8.
知识梳理
x1p1＋x2p2＋…＋xnpn 期望
例1 解 ξ的取值分别为1,2,3,4.
ξ＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P(ξ＝1)＝0.6.
ξ＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P(ξ＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.
ξ＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故
P(ξ＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.
ξ＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故
P(ξ＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.
故ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4
P 0.6 0.28 0.096 0.024
∴均值E(ξ)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544.
李明在一年内领到驾照的概率为
1－(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)×(1－0.9)＝0.997 6.
跟踪训练1 解 由题意知X的可能取值为2,3,4,5.
当X＝2时，表示前2次取的都是红球，
∴P(X＝2)＝＝；
当X＝3时，表示前2次中取得1个红球，1个白球或黑球，第3次取红球，
∴P(X＝3)＝＝；
当X＝4时，表示前3次中取得1个红球，2个不是红球，第4次取得红球，
∴P(X＝4)＝＝；
当X＝5时，表示前4次中取得1个红球，3个不是红球，第5次取得红球，
∴P(X＝5)＝＝.
∴X的分布列为
X 2 3 4 5
P
∴E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝4.
知识梳理
0×(1－p)＋1×p＝p
例2 (1)A [根据题意知随机变量X服从两点分布，所以E(X)＝0.3.]
(2)解 ①由题意知P(X＝0)＝，P(X＝1)＝.
所以X的分布列为
X 0 1
P
E(X)＝0×＋1×＝.
②由题意知P(Y＝0)＝＝，
P(Y＝1)＝1－P(Y＝0)＝.
所以Y的分布列为
Y 0 1
P
E(Y)＝0×＋1×＝.
跟踪训练2 解 根据分布列的性质，针尖向下的概率是1－＝.
则随机变量X的分布列为
X 0 1
P
E(X)＝0×＋1×＝.
例3 解 (1)设甲同学三道题都答对的事件为A，
则P(A)＝××＝，
所以甲同学至少有一道题不能答对的概率为
P＝1－P(A)＝1－＝.
(2)设甲同学本次竞赛中得分为X，则X的可能取值为0,2,4,6,8，
则P(X＝0)＝××＝＝，
P(X＝2)＝××＋××＝＝，
P(X＝4)＝××＋××＝，
P(X＝6)＝××＋××＝＝，
P(X＝8)＝××＝，
所以X的分布列为
X 0 2 4 6 8
P
所以E(X)＝×0＋×2＋×4＋×6＋×8＝＝.
跟踪训练3 解 (1)X的所有可能取值有6,2,1，－2，
P(X＝6)＝＝0.63，P(X＝2)＝＝0.25，
P(X＝1)＝＝0.1，P(X＝－2)＝＝0.02.
故X的分布列为
X 6 2 1 －2
P 0.63 0.25 0.1 0.02
(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(万元)．
(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)，
依题意，知E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，
解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.
随堂演练
1．A [E(X)＝1×＋2×＋3×＝.]
2．C [易知a，b∈[0,0.8]，
由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8.①
又由E(X)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，
得a＋2b＝1.3，②
由①②，解得a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2.]
3．D [X的可能取值有0,1,2，
且P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
则E(X)＝0×＋1×＋2×＝.]
4.
解析 设P(X＝1)＝p，因为P(X＝0)＝，E(X)＝1，故0×＋1×p＋2×＝1，即p＋－2p＝1，解得p＝.
