人教A版高中数学选择性必修三
7.3.2第2课时-离散型随机变量的方差的综合问题-导学案
学习目标 1.掌握离散型随机变量的方差的性质.2.会用离散型随机变量的均值和方差解决一些实际应用问题．
一、方差的性质
问题 你能推导出D与D的关系吗？
例1 已知X的分布列如表所示：
X －1 0 1
P a
(1)求X2的分布列；
(2)计算X的方差；
(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．
反思感悟 方差性质应用的关注点
(1)公式：D(aX＋b)＝a2D(X)．
(2)优势：既避免了求随机变量Y＝aX＋b的分布列，又避免了涉及大数的计算，从而简化了计算过程．
跟踪训练1 已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4，则D(2X－1)等于( )
A. B. C．4 D．5
二、方差的实际应用
例2 甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X，Y，且X和Y的分布列如下表：
X 0 1 2
P 0.6 0.1 0.3
Y 0 1 2
P 0.5 0.3 0.2
根据次品数的均值和方差，试对这两名工人的技术水平进行比较．
反思感悟 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
跟踪训练2 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，两个保护区内每个季度发生违反保护条例的事件次数的分布列分别为
甲保护区：
ξ 0 1 2 3
P 0.3 0.3 0.2 0.2
乙保护区：
η 0 1 2
P 0.1 0.5 0.4
试评定两个保护区的管理水平．
三、决策问题
例3 某保险公司对一个拥有20 000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为A，B，C三类工种，从事这三类工种的人数分别为12 000，6 000，2 000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如表(并以此估计赔付概率)：
工种类别 A B C
赔付频率
已知A，B，C三类工种的职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元．
(1)求保险公司在该业务中所获利润的均值；
(2)现有如下两个方案供企业选择：
方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔付给意外职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；
方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%，职工个人负责保费的30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支．
请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议．
反思感悟 均值、方差在决策中的作用
(1)均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高．
(2)方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定．
(3)在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断．
跟踪训练3 某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研．项目A：通信设备．根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利40%、亏损20%、不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，a.项目B：新能源汽车．根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利30%、亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为b，c.
经测算，当投入A，B两个项目的资金相等时，它们所获得的平均收益(即均值)也相等．
(1)求a，b，c的值；
(2)若将100万元全部投到其中一个项目，请你从投资回报稳定性的角度考虑，为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
1．知识清单：
(1)方差的性质．
(2)方差的实际应用．
2．方法归纳：转化化归．
3．常见误区：公式计算错误．
1．已知随机变量X满足D(X)＝2，则D(3X＋2)等于( )
A．6 B．8 C．18 D．20
2．已知随机变量ξ满足P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝2)＝0.7，则E(ξ)和D(ξ)的值分别为( )
A．0.6和0.7 B．1.7和0.09
C．0.3和0.7 D．1.7和0.21
3．设0＜a＜，随机变量X的分布列是：
X －1 1 2
P －a ＋
则当D(X)最大时的a的值是( )
A. B. C. D.
4．已知随机变量ξ的分布列如下表，D(ξ)表示ξ的方差，则D(2ξ＋1)＝________.
ξ 0 1 2
P a 1－2a
参考答案与详细解析
问题 D＝a2D.
例1 解 (1)由分布列的性质知＋＋a＝1，
解得a＝，
所以X2的分布列为
X2 0 1
P
(2)方法一 由(1)知a＝，
所以E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，
D(X)＝2×＋2×＋2×＝.
方法二 由(1)知a＝，
所以E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.
E(X2)＝0×＋1×＝，
所以D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝.
(3)因为Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，
D(Y)＝42D(X)＝11.
跟踪训练1 D [∵P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4，
∴E(X)＝×(1＋2＋3＋4)＝，
D(X)
＝×
＝，
∴D(2X－1)＝22D(X)＝4×＝5.]
例2 解 E(X)＝0.1＋0.6＝0.7，
D(X)＝0.72×0.6＋0.32×0.1＋1.32×0.3＝0.294＋0.009＋0.507＝0.81.
E(Y)＝0.3＋0.4＝0.7，
D(Y)＝0.72×0.5＋0.32×0.3＋1.32×0.2＝0.245＋0.027＋0.338＝0.61.
E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，
两者的均值相同，但乙的稳定性比甲好，故可认为乙的技术水平更高．
跟踪训练2 解 甲保护区的违规次数ξ的均值和方差分别为E(ξ)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，
D(ξ)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.
乙保护区的违规次数η的均值和方差分别为
E(η)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，
D(η)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.
因为E(ξ)＝E(η)，D(ξ)＞D(η)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，故乙保护区的管理水平较高．
例3 解 (1)设工种A，B，C职工的每份保单保险公司的收益为随机变量X，Y，Z，则X，Y，Z的分布列分别为
X 25 25－100×104
P 1－
Y 25 25－100×104
P 1－
Z 40 40－50×104
P 1－
所以E(X)＝25×＋(25－100×104)×＝15(元)，
E(Y)＝25×＋(25－100×104)×＝5(元)，
E(Z)＝40×＋(40－50×104)×＝－10(元)，
保险公司所获利润的均值为12 000×15＋6 000×5－2 000×10－100 000＝90 000(元)，所以保险公司在该业务中所获利润的均值为9万元．
(2)方案1：企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出与固定开支共为12 000×100×104 ×＋6 000×100×104×＋2 000×50×104×＋12×104＝46×104(元)；
方案2：企业与保险公司合作，则企业支出保险金额为(12 000×25＋6 000×25＋2 000×40) ×0.7＝37.1×104(元)．因为46×104>37.1×104，
所以建议企业选择方案2.
跟踪训练3 解 (1)依题意，得＋＋a＝1，解得a＝.
设投到项目A，B的资金都为x万元，变量X1和X2分别表示投资项目A和B所获得的利润，
则X1和X2的分布列分别为
X1 0.4x －0.2x 0
P
X2 0.3x －0.1x
P b c
所以E(X1)＝0.4x×＋(－0.2x)×＋0×＝0.2x，
E(X2)＝0.3bx－0.1cx，
因为E(X1)＝E(X2)，
所以0.3bx－0.1cx＝0.2x，
即0.3b－0.1c＝0.2.①
又b＋c＝1，②
由①②，解得b＝，c＝，
所以a＝，b＝，c＝.
(2)选择项目B.理由如下：
当投入100万元资金时，由(1)知x＝100，
所以E(X1)＝E(X2)＝20，
D(X1)＝(40－20)2×＋(－20－20)2×＋(0－20)2×＝600，
D(X2)＝(30－20)2×＋(－10－20)2×＝300.
因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，说明虽然项目A和项目B的平均收益相等，但项目B更稳妥，所以从风险回报稳定性的角度考虑，建议该投资公司选择项目B.
随堂演练
1．C [∵D(X)＝2，∴D(3X＋2)＝9D(X)＝18.]
2．D [E(ξ)＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，
D(ξ)＝(1－1.7)2×0.3＋(2－1.7)2×0.7＝0.21.]
3．D [根据随机变量的分布列和均值与方差的计算公式，
可得E(X)＝－1×＋1×＋2×＝，
又由E(X2)＝1×＋1×＋22×
＝1＋a，
可得D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝1＋a－
＝－2＋，
因为0
4．2
解析 由分布列知，a＋(1－2a)＋＝1，解得a＝，
于是得E(ξ)＝0×a＋1×(1－2a)＋2×＝1，
D(ξ)＝a×(1－0)2＋(1－2a)(1－1)2＋×(1－2)2＝，
所以D(2ξ＋1)＝4D(ξ)＝4×＝2.人教A版高中数学选择性必修三
7.3.2第1课时-离散型随机变量的方差-导学案
学习目标 1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．
一、离散型随机变量的方差
问题 要从甲、乙两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛．根据以往的成绩记录，应派哪位同学参赛？
甲同学击中目标靶的环数X1的分布列为
X1 5 6 7 8 9 10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
乙同学击中目标靶的环数X2的分布列为
X2 5 6 7 8 9
P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
知识梳理
方差：设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2 ，…，(xn－E(X))2 ，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度，我们称
D(X)＝______________________________＝____________________________为随机变量X的________，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的________，记为σ(X)．
例1 (多选)下列说法正确的是( )
A．离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定
B．若a是常数， 则D(a)＝0
C．离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于均值的平均程度
D．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小
反思感悟 方差反应了随机变量取值的离散程度，方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散．
跟踪训练1 (多选)下列说法中错误的是( )
A．离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的概率的平均值
B．离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平
C．离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平
D．离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的概率的平均值
二、方差的计算
例2 有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E(ξ)和D(ξ)．
反思感悟 求离散型随机变量方差的步骤
(1)理解随机变量X的意义，写出X的所有取值．
(2)求出X取每个值的概率．
(3)写出X的分布列．
(4)计算E(X)．
(5)计算D(X)．
跟踪训练2 (1)设离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
则D(X)等于( )
A. B. C. D.
(2)在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且i＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( )
A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4
B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1
C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3
D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2
三、方差的简单应用
例3 有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如表所示：
ξA 110 120 125 130 135
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
ξB 100 115 125 130 145
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
其中，ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好)．
反思感悟 (1)解题时可采用比较分析法，通过比较两个随机变量的均值和方差得出结论．
(2)均值体现了随机变量取值的平均水平，有时只比较均值往往是不恰当的，还需比较方差，才能准确地得出更适合的结论．
跟踪训练3 甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列如下表所示．
ξ 1 2 3
P a 0.1 0.6
η 1 2 3
P 0.3 b 0.3
(1)求a，b的值；
(2)计算ξ，η的均值与方差，并以此分析甲、乙的技术状况．
1.知识清单：离散型随机变量的方差、标准差.
2.方法归纳：公式法.
3.常见误区：方差公式套用错误.
1．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝3,6,9，则D(X)等于( )
A．6 B．9 C．3 D．4
2．设随机试验的结果只有A发生和A不发生，且P(A)＝m，令随机变量X＝则X的方差D(X)等于( )
A．m B．2m(1－m)
C．m(m－1) D．m(1－m)
3．已知离散型随机变量X的分布列为
X 1 3 5
P 0.5 m 0.2
则其方差D(X)等于( )
A．1 B．0.6 C．2.44 D．2.4
4．已知随机变量ξ的分布列为
ξ －1 0 1
P a b c
若a，b，c成等差数列，且E(ξ)＝，则b的值是________，D(ξ)的值是________．
参考答案与详细解析
问题 E(X1)＝8，E(X2)＝8，因为两个均值相等，所以只根据均值无法判断这两名同学的射击水平．可以利用样本方差，它可以刻画样本数据的稳定性．
知识梳理
(x1－E(X))2 p1 ＋(x2－E(X))2 p2＋…＋(xn－E(X))2pn (xi－E(X))2pi 方差 标准差
例1 BCD [随机变量的方差越小，随机变量越稳定．
所以A错误．]
跟踪训练1 ABD [E(X)反映了X取值的平均水平，D(X)反映了X取值的离散程度．]
例2 解 这3张卡片上的数字之和为ξ，ξ的可能取值为6,9,12.
ξ＝6表示取出的3张卡片上均标有2，
则P(ξ＝6)＝＝；
ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，
则P(ξ＝9)＝＝；
ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5，
则P(ξ＝12)＝＝.
∴ξ的分布列为
ξ 6 9 12
P
∴E(ξ)＝6×＋9×＋12×＝7.8，
D(ξ)＝(6－7.8)2×＋(9－7.8)2×＋(12－7.8)2×＝3.36.
跟踪训练2 (1)C [由题意知，
E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，
故D(X)＝2×＋2×＋2×＋2×＝.]
(2)B [对于A选项，该组数据的平均数为A＝(1＋4)×0.1＋(2＋3)×0.4＝2.5，
方差为s＝(1－2.5)2×0.1＋(2－2.5)2×0.4＋(3－2.5)2×0.4＋(4－2.5)2×0.1＝0.65；
对于B选项，该组数据的平均数为B＝(1＋4)×0.4＋(2＋3)×0.1＝2.5，
方差为s＝(1－2.5)2×0.4＋(2－2.5)2×0.1＋(3－2.5)2×0.1＋(4－2.5)2×0.4＝1.85；
对于C选项，该组数据的平均数为C＝(1＋4)×0.2＋(2＋3)×0.3＝2.5，
方差为s＝(1－2.5)2×0.2＋(2－2.5)2×0.3＋(3－2.5)2×0.3＋(4－2.5)2×0.2＝1.05；
对于D选项，该组数据的平均数为D＝(1＋4)×0.3＋(2＋3)×0.2＝2.5，
方差为s＝(1－2.5)2×0.3＋(2－2.5)2×0.2＋(3－2.5)2×0.2＋(4－2.5)2×0.3＝1.45.
因此，B选项这一组的标准差最大．]
例3 解 E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，
E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125.
D(ξA)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，
D(ξB)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165.
由此可见E(ξA)＝E(ξB)，D(ξA)故两种材料的抗拉强度的均值相等，但稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲的稳定性较好．
跟踪训练3 解 (1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a＋0.1＋0.6＝1，∴a＝0.3.
同理0.3＋b＋0.3＝1，
∴b＝0.4.
(2)E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，
E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，
D(ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，
D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.
由于E(ξ)>E(η)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D(ξ)>D(η)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优劣．
随堂演练
1．A [由题意得E(X)＝3×＋6×＋9×＝6，
D(X)＝(3－6)2×＋(6－6)2×＋(9－6)2×＝6.]
2．D [由题意P(X＝1)＝m，P(X＝0)＝1－m，所以E(X)＝m，所以D(X)＝(0－m)2(1－m)＋(1－m)2m＝m(1－m)．]
3．C [由离散型随机变量的分布列的性质
得0.5＋m＋0.2＝1，解得m＝0.3，
∴E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，
∴D(X)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44.]
4.
解析 由a，b，c成等差数列得2b＝a＋c，①
又由分布列得a＋b＋c＝1，②
E(ξ)＝－a＋c＝，③
联立①②③解得a＝，b＝，c＝，
则D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝.