人教A版高中数学选择性必修三-7.4.1第2课时-二项分布的综合问题-导学案
学习目标 1.掌握二项分布的均值与方差公式.2.能利用二项分布解决一些简单的实际问题．
一、二项分布的均值与方差
问题 若随机变量X服从二项分布B(n，p)，那么X的均值和方差各是什么？
知识梳理
1．若X服从两点分布，则E(X)＝________，D(X)＝________.
2．若X～B(n，p)，则E(X)＝____________，D(X)＝________.
例1 (1)已知X～B(10,0.5)，Y＝2X－8，则E(Y)等于( )
A．6 B．2 C．4 D．3
(2)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，在下落的过程中，小球将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是，.
(1)分别求出小球落入A袋和B袋中的概率；
(2)在容器的入口处依次放入4个小球，记ξ为落入B袋中的小球的个数，求ξ的分布列、均值和方差．
反思感悟 解决此类问题第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步代入相应的公式求解．若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
跟踪训练1 某一智力游戏玩一次所得的积分是一个随机变量X，其分布列如下表，均值E(X)＝2.
X 0 3 6
P a b
(1)求a和b的值；
(2)某同学连续玩三次该智力游戏，记积分X大于0的次数为Y，求Y的分布列与均值．
二、二项分布的实际应用
例2 为纪念中国共产党成立100周年，某学校组织党史知识竞赛，竞赛规则是：两人组成一个“组合”，进行多轮竞赛，每一轮竞赛中，一个“组合”的两人分别各答3道题，若答对的题目总数不少于5道题，此“组合”获得20分．已知小华和小夏两人组成“华夏组合”，小华、小夏每道题答对的概率分别是和，且每道题答对与否互不影响．
(1)求“华夏组合”在一轮竞赛中获得20分的概率；
(2)若每轮竞赛互不影响，“华夏组合”期望至少要获得100分，则理论上至少要进行多少轮竞赛？
反思感悟 (1)二项分布的实际应用类问题的求解步骤
①根据题意设出随机变量；
②分析随机变量服从二项分布；
③求出参数n和p的值；
④根据二项分布的均值、方差的计算公式求解．
(2)利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．
跟踪训练2 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.
(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的均值；
(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列；
(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
三、二项分布的性质
例3 某一批产品的合格率为95%，那么在取出的20件产品中，最有可能有几件产品合格？
反思感悟 二项分布概率最大问题的求解思路
可以用≤1(0≤k≤n－1，k∈N)来求，还可以考虑用不等式组
(k∈N，1≤k≤n－1)来求．
跟踪训练3 若X～B，则P(X＝k)(0≤k≤20且k∈N)取得最大值时，k＝______.
1．知识清单：
(1)二项分布的均值、方差．
(2)二项分布的性质．
2．方法归纳：公式法．
3．常见误区：判断随机变量X是否服从二项分布．
1．已知X～B，则E(X＋1)等于( )
A. B．1 C. D.
2．若随机变量X～B，则使P(X＝k)最大的k的值是( )
A．2 B．3 C．2或3 D．4
3．在某校篮球队的首轮选拔测试中，参加测试的5名同学的投篮命中率分别为，，，，，每人均有10次投篮机会，至少投中6次才能晋级下一轮测试，假设每人每次投篮相互独立，则晋级下一轮的大约有( )
A．1人 B．2人 C．3人 D．4人
已知随机变量X～B(4，p)，E(X)＝3，则D(X)＝________.
参考答案与详细解析
问题 当n＝1时，X服从两点分布，分布列为
X 0 1
P 1－p p
E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
二项分布的分布列为(q＝1－p)
X 0 1 … k … n
P Cp0qn Cp1qn－1 … Cpkqn－k … Cpnq0
则E(X)＝0×Cp0qn＋1×Cp1qn－1＋2×Cp2qn－2＋…＋kCpkqn－k＋…＋nCpnq0，
由kC＝nC，
可得E(X)＝n×Cp1qn－1＋n×Cp2qn－2＋…＋nCpkqn－k＋…＋nCpnq0
＝np(Cp0qn－1＋Cp1qn－2＋…＋Cpk－1qn－k＋…＋Cpn－1q0)
＝np(p＋q)n－1＝np，
同理可得D(X)＝np(1－p)．
知识梳理
1．p p(1－p)
2．np np(1－p)
例1 (1)B [由题意，随机变量X～B(10,0.5)，可得E(X)＝10×0.5＝5，
因为Y＝2X－8，可得E(Y)＝2E(X)－8＝2×5－8＝2.]
(2)解 ①设M＝“小球落入A袋”，N＝“小球落入B袋”，
则P(M)＝××＋××＝，
所以P(N)＝1－P(M)＝1－＝.
②易知ξ～B，
则ξ的分布列为
P(ξ＝k)＝Ck4－k(k＝0,1,2,3,4)，
故P(ξ＝0)＝，
P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝，
P(ξ＝4)＝.
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P
E(ξ)＝4×＝，
D(ξ)＝4××＝.
跟踪训练1 解 (1)因为E(X)＝2，所以0×＋3×a＋6×b＝2，即3a＋6b＝2.①
又＋a＋b＝1，得a＋b＝，②
联立①②，解得a＝，b＝.
(2)P(X>0)＝，
依题意知Y～B，
故P(Y＝0)＝3＝，
P(Y＝1)＝C××2＝，
P(Y＝2)＝C×2×＝，
P(Y＝3)＝3＝.
故Y的分布列为
Y 0 1 2 3
P
方法一 Y的均值为E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
方法二 E(Y)＝3×＝.
例2 解 (1)设小夏和小华答对的题目个数分别为a1和a2，
则所求的概率P＝P(a1＝2，a2＝3)＋P(a1＝3，a2＝2)＋P(a1＝3，a2＝3)
＝C2××3＋3×C×2×＋3×3＝，
故“华夏组合”在一轮竞赛中获得20分的概率为.
(2)依题意知“华夏组合”在竞赛中得分的轮数X满足X～B(n，p)，
由(1)得p＝，据此，由np≥5 n≥5 n≥
≈8.4，
所以“华夏组合”期望至少要获得100分，则理论上至少要进行9轮竞赛．
跟踪训练2 解 (1)方法一 由ξ～B，得
P(ξ＝k)＝C×k×5－k，k＝0,1,2,3,4,5.
即P(ξ＝0)＝C×0×5＝，
P(ξ＝1)＝C××4＝，
P(ξ＝2)＝C×2×3＝，
P(ξ＝3)＝C×3×2＝，
P(ξ＝4)＝C×4×＝，
P(ξ＝5)＝C×5＝.
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4 5
P
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.
方法二 ∵ξ～B，∴E(ξ)＝5×＝.
(2)η的分布列为P(η＝k)＝P(前k个是绿灯，第k＋1个是红灯)＝k×，k＝0,1,2,3,4，
即P(η＝0)＝0×＝，
P(η＝1)＝×＝，
P(η＝2)＝2×＝，
P(η＝3)＝3×＝，
P(η＝4)＝4×＝，
P(η＝5)＝5＝.
故η的分布列为
η 0 1 2 3 4 5
P
(3)所求概率为P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)
＝1－5＝.
例3 解 设在取出的20件产品中，合格产品有X件，则X～B(20,0.95)，则恰好有k件产品合格的概率为P(X＝k)＝C×0.95k×0.0520－k(0≤k≤20且k∈N)．
∴＝
＝
＝1＋
＝1＋(1≤k≤20且k∈N)．
则当k<19.95时，P(X＝k－1)
当k>19.95时，P(X＝k－1)>P(X＝k)，
∴<1.
由以上分析可知，在取出的20件产品中，合格品有19件的概率最大，即最有可能有19件合格品．
跟踪训练3 6或7
解析 由题意知，X服从二项分布，
所以P(X＝k)＝Ck20－k
＝Ck20－k,0≤k≤20且k∈N.
由不等式≤1(0≤k≤19且k∈N)，
得×≤1，
解得k≥6.
所以当k≥6时，P(X＝k)≥P(X＝k＋1)；
当k<6时，P(X＝k＋1)>P(X＝k)．
因为当且仅当k＝6时，P(X＝k＋1)＝P(X＝k)，
所以当k＝6或k＝7时，P(X＝k)取得最大值．
随堂演练
1．D [由题意知，随机变量X～B，可得E(X)＝np＝5×＝，
所以E(X＋1)＝E(X)＋1＝＋1＝.]
2．B [由＝＝≥1，得k≤2.5，所以当k＝2时，P(X＝2)＝，当k＝3时，P(X＝3)＝，从而X＝3时，P(X＝k)取最大值，即k＝3.]
3．C [5名同学投篮各10次，相当于各做了10次独立重复试验，他们投中的次数服从二项分布，则他们投中的均值分别为10×＝6,10×<6,10×>6,10×>6,10×<6.故晋级下一轮的大约有3人．]
4.
解析 由二项分布的性质知4p＝3，即p＝，所以D(X)＝4p(1－p)＝.人教A版高中数学选择性必修三-7.4.1第1课时-二项分布-导学案
学习目标 1.理解n重伯努利试验的概念.2.掌握二项分布的概率表达形式.3.能利用n重伯努利试验及二项分布解决一些简单的实际问题．
一、n重伯努利试验
问题1 观察下面试验有什么共同的特点？
(1)投掷一枚相同的硬币5次，每次正面向上的概率为0.5；
(2)某同学玩射击气球游戏，每次射击击破气球的概率为0.7，现有气球10个；
(3)某篮球队员罚球命中率为0.8，罚球6次．
知识梳理
1．n重伯努利试验：将一个伯努利试验______________进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
2．n重伯努利试验的共同特征：
(1)同一个伯努利试验________做n次；
(2)各次试验的结果____________．
例1 判断下列试验是不是n重伯努利试验：
(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；
(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中；
(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球．
反思感悟 n重伯努利试验的判断依据
(1)要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行．
(2)每次试验相互独立，互不影响．
(3)每次试验都只有两种结果，即事件发生、不发生．
跟踪训练1 (多选)下列事件不是n重伯努利试验的是( )
A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”
B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”
C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”
D．在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标
二、二项分布的推导
问题2 连续投掷一枚图钉3次，且每次针尖向上的概率为p，针尖向下的概率为q，则仅出现1次针尖向上的概率是多少？
问题3 类似地，连续投掷一枚图钉3次，出现k(k＝0,1,2,3)次针尖向上的概率是多少？有什么规律？
知识梳理
二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作__________．
例2 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设甲、乙每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．(结果需用分数作答)
(1)求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．
反思感悟 n重伯努利试验概率求法的三个步骤
(1)判断：依据n重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为n重伯努利试验．
(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆．
(3)计算：就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．
跟踪训练2 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人参加甲游戏，掷出点数大于2的人参加乙游戏．
(1)求这4个人中恰有2人参加甲游戏的概率；
(2)求这4个人中参加甲游戏的人数大于参加乙游戏的人数的概率．
三、二项分布的简单应用
例3 “石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的．
(1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；
(2)若玩家甲、乙两方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X，求X的分布列．
反思感悟 二项分布问题的两个关注点
(1)对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一．
(2)重复性，即试验是独立重复地进行了n次．
跟踪训练3 某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列．
1．知识清单：
(1)n重伯努利试验的概念及特征．
(2)二项分布的概念及表示．
2．方法归纳：数学建模．
3．常见误区：二项分布的判断错误．
1．随机变量X～B，则P(X＝2)等于( )
A. B. C. D.
2．某档深受观众喜爱的综艺节目采用组团比赛的方式进行，参赛选手需要全部参加完五场公开比赛，其中五场中有四场获胜，就能取得参加决赛的资格．若某参赛选手每场比赛获胜的概率是，则这名选手能参加决赛的概率是( )
A. B. C. D.
3．在4重伯努利试验中，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中发生的概率为( )
A. B. C. D.
4．从次品率为0.1的一批产品中任取4件，恰有两件次品的概率为________．
参考答案与详细解析
问题1 (1)相同条件下的试验：5次、10次、6次；
(2)每次试验相互独立；
(3)每次试验只有两种可能的结果：发生或不发生；
(4)每次试验发生的概率相同，为p，不发生的概率也相同，为1－p.
知识梳理
1．独立地重复 2.(1)重复 (2)相互独立
例1 解 (1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是n重伯努利试验．
(2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验．
(3)每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是n重伯努利试验．
跟踪训练1 ABC [A，C符合互斥事件的概念，是互斥事件；B是相互独立事件；D是n重伯努利试验．]
问题2 连续掷一枚图钉3次，就是做3次伯努利试验，用Ai(i＝1,2,3)表示第i次掷得针尖向上的事件，用B1表示“仅出现一次针尖向上”的事件，则B1＝(A1)∪(A2)∪ (A3)．由此可得P(B1)＝q2p＋q2p＋q2p＝3q2p.
问题3 用Ai(i＝1,2,3)表示事件“第i次掷得针尖向上”，
用Bk(k＝0,1,2,3)表示事件“出现k次针尖向上”，
P(B0)＝P()＝q3＝Cp0q3，
P(B1)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝3q2p＝Cp1q2，
P(B2)＝P(A1A2)＋P(A2A3)＋P(A1A3)＝3qp2＝Cp2q1，
P(B3)＝P(A1A2A3)＝p3＝Cp3q0，
规律：P(Bk)＝Cpkq3－k，k＝0,1,2,3.
知识梳理
Cpk(1－p)n－k X～B(n，p)
例2 解 (1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，知射击3次，相当于3重伯努利试验，故P(A1)＝1－P()＝1－3＝.
(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，
则P(A2)＝C×2＝，
P(B2)＝C×1×＝，
由于甲、乙射击相互独立，
故P(A2B2)＝×＝.
跟踪训练2 解 (1)依题意知，这4个人中，每个人参加甲游戏的概率为，参加乙游戏的概率为.
设“这4个人中恰有k人参加甲游戏”为事件Ak(k＝0,1,2,3,4)．
则P(Ak)＝C·k4－k.
故这4个人中恰有2人参加甲游戏的概率为
P(A2)＝C×2×2＝.
(2)设“这4个人中参加甲游戏的人数大于参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3＋A4.
由于A3与A4互斥，故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C×3×＋C×4＝，
所以这4个人中参加甲游戏的人数大于参加乙游戏的人数的概率为.
例3 解 (1)玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是(石头，石头)，(石头，剪刀)，(石头，布)，(剪刀，石头)，(剪刀，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，(布，剪刀)，(布，布)，共9个基本事件．玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是(石头，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，共有3个．
所以在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率P＝.
(2)由题意知，X＝0,1,2,3.
因为P(X＝0)＝C·3＝，
P(X＝1)＝C·1·2＝，
P(X＝2)＝C2·1＝，
P(X＝3)＝C·3＝.
所以X的分布列如下：
X 0 1 2 3
P
跟踪训练3 解 由题意知X～B，
∴P(X＝k)＝C×k×3－k，k＝0,1,2,3，
即P(X＝0)＝C×0×3＝，
P(X＝1)＝C××2＝，
P(X＝2)＝C×2×＝，
P(X＝3)＝C×3＝.
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
随堂演练
1．A [随机变量X～B，
则P(X＝2)＝C24＝.]
2．D [由题意可知五场中获胜的场次X～B，
所求选手能参加决赛的概率P＝C·4·＋C·5·0＝.]
3．A [设事件A在一次试验中发生的概率为p，
由题意得1－Cp0(1－p)4＝，
所以1－p＝，p＝.]
4．0.048 6
解析 P＝C×0.12×(1－0.1)2＝0.048 6.