人教A版高中数学选择性必修三
7.4.2第2课时-超几何分布的综合问题-导学案
学习目标 1.掌握超几何分布的均值的计算.2.了解二项分布与超几何分布的区别与联系．
一、超几何分布的均值
问题 服从超几何分布的随机变量的均值是什么？
例1 (1)袋中有3个白球，1个红球，从中任取2个球，取得1个白球得0分，取得1个红球得2分，则所得分数X的均值E(X)为( )
A．0 B．1 C．2 D．4
(2)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．
①求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
②设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列及均值．
反思感悟 求超几何分布均值的步骤
(1)验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值．
(2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率．
(3)利用均值公式求解．
跟踪训练1 某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8道试题中随机挑选4道进行作答，至少答对3道才能通过初试．记在这8道试题中甲能答对6道，甲答对试题的个数为X，则甲通过自主招生初试的概率为________，E(X)＝________.
二、二项分布与超几何分布的区别与联系
例2 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为[490,495]，(495,500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图如图．
(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列，并求其均值；
(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
反思感悟 不放回抽样服从超几何分布，放回抽样服从二项分布，求均值可利用公式代入计算．
跟踪训练2 在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：
(1)不放回抽样时，抽取次品数X的均值；
(2)放回抽样时，抽取次品数Y的均值与方差．
三、超几何分布的综合应用
例3 2021年7月1日是中国共产党建党100周年纪念日，为迎接这一天的到来，某高校组织了一场党史知识竞赛，分为预选赛和决赛两部分，已知预选赛的题目共有9道，随机抽取3道让参赛者回答，规定至少要答对其中2道才能通过预选赛，某参赛人员甲只能答对其中6道，记甲抽取的3道题目中能答对的题目数为X.
(1)求随机变量X的分布列和均值；
(2)求甲没有通过预选赛的概率．
反思感悟 超几何分布常应用在产品合格问题、球盒取球(两色)问题、男女生选举问题等，这类问题有一个共同特征，就是对每一个个体而言，只研究其相对的两种性质而不涉及其他性质，如产品的合格与不合格、球的红色与非红色、学生的性别等．
跟踪训练3 已知一个袋子中装有大小形状完全相同的3个白球和2个黑球．
(1)若从袋中一次任取3个球，若取到的3个球中有X个黑球，求X的分布列及均值；
(2)若从袋中每次随机取出一个球，记下颜色后将球放回袋中，重复此过程，直至他连续2次取到黑球才停止，设他在第Y次取球后停止取球，求P.
1．知识清单：
(1)超几何分布的均值．
(2)超几何分布与二项分布的区别与联系．
2．方法归纳：类比．
3．常见误区：超几何分布与二项分布混淆，前者是不放回抽样，后者是有放回抽样．
1．某校从学生会中的10名女生干部与5名男生干部中随机选取6名学生干部组成“文明校园督察队”，则组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为( )
A. B.
C. D.
2．(多选)某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道．现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2道题才算合格，则下列说法正确的是( )
A．答对0道题和答对3道题的概率相同，都为
B．答对1道题的概率为
C．答对2道题的概率为
D．合格的概率为
3．袋中有3个黑球、4个红球，除颜色外，其他均相同．从袋中任取3个球，则至少有1个红球的概率为________．
4.某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取n个学生成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图(如图所示)．已知成绩在[90,100]的学生人数为8，且有4个女生的成绩在[50,60)中，则n＝________，现由成绩在[50,60)的样本中随机抽取2名学生，记所抽取学生中女生的人数为ξ，则ξ的均值是______．
参考答案与详细解析
问题 设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数．令p＝，则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，我们猜想E＝p，即E(X)＝np.
实际上，令m＝max(0，n－N＋M)，r＝min(n，M)，
由随机变量均值的定义：当m>0时，
E(X)＝＝M，(1)
因为C＝C，
所以E(X)＝C＝＝＝np.
当m＝0时，注意到(1)式中间求和的第一项为0，类似可以证明结论依然成立．
例1 (1)B [由题意，得X的可能取值为0或2，其中X＝0表示取得2个白球，X＝2表示取得1个白球，1个红球，所以P(X＝0)＝＝，P(X＝2)＝＝，故X的均值E(X)＝0×＋2×＝1.]
(2)解 ①设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝＝.所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为.
②依据条件，随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝4，n＝3，且随机变量X的可能取值为0,1,2,3.
P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以随机变量X的均值为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.2.
跟踪训练1 3
解析 依题意，知甲能通过自主招生初试的概率为
P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝＋＝.
由于X的可能取值为2,3,4，P(X＝2)＝＝，
故E(X)＝2×＋3×＋4×＝3.
例2 解 (1)质量超过505克的产品的频率为
5×0.05＋5×0.01＝0.3，
所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件)．
(2)质量超过505克的产品数量为12件，则质量未超过505克的产品数量为28件，X的可能取值为0,1,2，X服从超几何分布．P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
∴X的分布列为
X 0 1 2
P
∴X的均值为
方法一 E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
方法二 E(X)＝＝.
(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为＝.
从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2重伯努利试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2，且Y～B，
P(Y＝k)＝C×k×2－k，k＝0,1,2，
∴P(Y＝0)＝C×2＝，
P(Y＝1)＝C××＝，
P(Y＝2)＝C×2＝.
∴Y的分布列为
Y 0 1 2
P
跟踪训练2 解 (1)方法一 由题意知X的可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.
∴随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
方法二 由题意知P(X＝k)＝，k＝0,1,2，
∴随机变量X服从超几何分布，n＝3，M＝2，N＝10，
∴E(X)＝＝＝.
(2)由题意知，抽取1次取到次品的概率为＝，
随机变量Y服从二项分布Y～B，
∴E(Y)＝3×＝，
D(Y)＝3××＝.
例3 解 (1)随机变量X的可能取值有0,1,2,3，且X服从超几何分布．
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.
(2)若甲没有通过预选赛，则甲答对了1道或0道．
所以甲没有通过预选赛的概率P＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.
跟踪训练3 解 (1)X可能的取值为0,1,2，P(X＝k)＝，其中k＝0,1,2，分布列如下：
X 0 1 2
P
均值E(X)＝.
(2)当Y＝5时知第四、五次取到的是黑球，第三次取到的是白球，前两次不能都取到黑球，
∴所求概率P＝×××＝.
随堂演练
1．C [组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为P＝.]
2．CD [对于A，答对0道题的概率为P0＝＝，答对3道题的概率为P3＝＝，故A错误；
对于B，答对1道题的概率为P1＝＝，故B错误；
对于C，答对2道题的概率为P2＝＝，故C正确；
对于D，合格的概率为P＝＋＝，故D正确．]
3.
解析 令X表示取出的红球个数，则X的可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝＝，故至少有1个红球的概率为P(X≥1)＝1－＝.
4．50
解析 依题意得0.016×10n＝8，则n＝50.
成绩在[50,60)的人数为0.012×10×50＝6，
其中4个为女生，2个为男生．
ξ的可能取值为0,1,2.
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝＝，
故E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.人教A版高中数学选择性必修三-7.4.2第1课时-超几何分布-导学案
学习目标 1.理解超几何分布的概念及特征.2.会用超几何分布解决一些简单的实际问题．
一、超几何分布
问题 已知在10件产品中有4件次品，分别采取有放回和不放回的方式随机抽取3件，设抽取的3件产品中次品数为X，试写出X的分布列．
知识梳理
超几何分布：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
P(X＝k)＝________________________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.
其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
例1 下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由．
(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列；
(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，求X的分布列；
(3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的分布列；
(4)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的分布列；
(5)现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为X，求X的分布列．
反思感悟 判断一个随机变量是否服从超几何分布
(1)总体是否可分为两类明确的对象．
(2)是否为不放回抽样．
(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数．
跟踪训练1 (1)(多选)下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是( )
A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X
B．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X
C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数
(2)(多选)一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量，这四种变量中服从超几何分布的是( )
A．X表示取出的最大号码
B．X表示取出的最小号码
C．取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分
D．X表示取出的黑球个数
二、超几何分布的概率
例2 (1)一个盒子里装有大小相同的10个黑球、12个红球、4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是( )
A．P(0C．P(X＝1) D．P(X＝2)
(2)现有来自甲、乙两班的学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为.
①求7名学生中甲班的学生数；
②设所选2名学生中甲班的学生数为ξ，求ξ≥1的概率．
反思感悟 (1)解答此类问题的关键是先分析随机变量是否满足超几何分布．
(2)注意公式中M，N，n的含义．
跟踪训练2 某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数．求至少有2名男生参加数学竞赛的概率．
三、超几何分布的分布列
例3 在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题．甲能正确完成其中的4道题，且每道题完成与否互不影响．规定至少正确完成其中2道题便可过关．记所抽取的3道题中，甲答对的题数为X，求X的分布列．
反思感悟 求超几何分布的分布列的步骤
跟踪训练3 在10个乒乓球中有8个正品，2个次品．从中任取3个，求其中所含次品数的分布列．
1．知识清单：
(1)超几何分布的概念及特征．
(2)超几何分布的概率及分布列．
2．方法归纳：公式法．
3．常见误区：判断随机变量是不是超几何分布．
1．(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有( )
A．在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X
B．从3台甲型电脑和2台乙型电脑中任取2台，记X表示所取的2台电脑中甲型电脑的台数
C．一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的个数为随机变量X
D．从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X
2．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则恰好取出2个红球的概率是( )
A. B. C. D.
3．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其中次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为( )
A．10% B．20% C．30% D．40%
某导游团有外语导游10人，其中6人会说日语，现要选出4人去完成一项任务，则有2人会说日语的概率为________．
参考答案与详细解析
问题 若采用有放回抽样时X服从二项分布，即X～B(3,0.4)，其分布列为P(X＝k)＝C0.4k(1－0.4)3－k，k＝0,1,2,3.
若采用不放回抽样，“X＝k”，k＝0,1,2,3表示“取出的3件产品中恰有k件次品”，这意味着，从4件次品中取出k件，再从6件正品中取出3－k件，共有CC种取法，故X的分布列为P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3.
知识梳理
例1 解 (1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题．
(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，是超几何分布．
(5)中没有给出不合格产品数，无法计算X的分布列，所以不属于超几何分布问题．
跟踪训练1 (1)ACD [由超几何分布的定义可知仅B是超几何分布，故选ACD.]
(2)CD [由超几何分布的概念知C，D符合，故选CD.]
例2 (1)B [由题意可知，P(X＝1)＝，
P(X＝0)＝ ，
故表示选1个白球或者一个白球都没有取得，即P(X≤1)．]
(2)解 ①设甲班的学生人数为M，则＝＝，
即M2－M－6＝0，解得M＝3或M＝－2(舍去)．
∴7名学生中甲班的学生共有3人．
②由题意可知，ξ服从超几何分布．
∴P(ξ ≥1)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)
＝＋＝＋＝.
跟踪训练2 解 依题意，得随机变量X服从超几何分布，且N＝10，M＝6，n＝4，
∴P(X＝m)＝(m＝0,1,2,3,4)．
∴P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
方法一 (直接法)
P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)
＝＋＋＝.
方法二 (间接法)
由分布列的性质，得P(X≥2)＝1－P(X<2)
＝1－[P(X＝0)＋P(X＝1)]
＝1－＝.
例3 解 由题意得X可取1,2,3，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
故X的分布列为
X 1 2 3
P
跟踪训练3 解 记任取的3个乒乓球中，所含次品的个数为X，则X所有的取值为0,1,2.
有P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
随堂演练
1．ABD [依据超几何分布模型定义可知，A，B，D中随机变量X服从超几何分布．而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布．]
2．C [设取出红球的个数为X，易知X服从超几何分布．
∴P(X＝2)＝＝.]
3．B [设10件产品中有x件次品，
则P(ξ＝1)＝＝＝，
所以x＝2或8.因为次品率不超过40%，所以x＝2，
所以次品率为＝20%.]
4.
解析 有2人会说日语的概率为＝.
