2024-2025学年重庆市万州区八年级（上）期末数学试卷（含详解）

2024-2025学年重庆市万州区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．（4分）计算a2 a4结果正确的是（　　）
A．a2 B．a6 C．a8 D．2a2
2．（4分）小彬想了解合肥五月份每天的气温变化情况，最适合选用的统计图表是（　　）
A．条形统计图 B．扇形统计图
C．折线统计图 D．统计表
3．（4分）如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌△DEC，AC＝3，BD＝10，则CE等于（　　）
A．3 B．7 C．10 D．13
4．（4分）下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（　　）
A．2，4，5 B．4，6，9 C．7，9，10 D．9，12，15
5．（4分）估计的值在（　　）
A．4到5之间 B．3到4之间 C．2到3之间 D．1到2之间
6．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，若AC＝10，AD＝7，则点D到AB的距离为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．（4分）若M＝x2+y2+6x﹣2y+2024，则M的最小值是（　　）
A．2014 B．2016 C．2018 D．2020
8．（4分）下列命题中为真命题的是（　　）
A．27的立方根是﹣3
B．有理数与数轴上的点一一对应
C．面积相等的两个三角形一定全等
D．若a+b＝0，则a2＝b2
9．（4分）如图，在等腰直角△ABD中，∠ABD＝90°，BE⊥AC，AE＝2BE．若∠BAE＝α，则∠BDE的度数为（　　）
A．α B．α﹣15° C．45°﹣α D．90°﹣2α
10．（4分）有依次排列的2个整式：a+b，a﹣b，用这两个整式的和除以2，得到的结果放在这两个整式之间，可以产生第1个整式串：a+b，a，a﹣b，称为第1次操作；将第1个整式串中任意相邻的两个整式按上述方式进行第2次操作，可以得到第2个整式串．以此类推，下列说法：
①第2个整式串为：a+b，，a，，a﹣b；
②第4个整式串中，从左往右第2个整式乘以从右往左第2个整式的积为；
③第2024个整式串中，所有整式的和为（22024+1）a．
其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
11．（4分）64的算术平方根是　 　．
12．（4分）若2a﹣b＝﹣3，ab＝2，则2a2b﹣ab2的值为 　 　．
13．（4分）梁启超先生曾说：“少年智则国智，少年富则国富；少年强则国强，……”，在这句话划线部分的所有汉字中，“国”字出现的频率是 　 　．
14．（4分）若一个多项式M与单项式2x2的积是10x4﹣8x5，则这个多项式M是　 　．
15．（4分）已知等腰三角形有一内角为100°，则该等腰三角形的底角为　 　度．
16．（4分）如图，已知正方形ABCD与正方形CEFG的面积之差为36，则阴影部分面积为 　 　．
17．（4分）如图，四边形ABCD中，AB＝AC，BF⊥AC交AC于点E，AD⊥CD，∠ABE＝∠ACD．若BF＝11，CD＝8，则CE的长为 　 　．
18．（4分）一个各个数位上的数字互不相等且均不为0的四位正整数（其中1≤a，b，c，d≤9，且a，b，c，d为整数），若满足a+b+c+d＝18，则称该数为“恒常数”，规定．例如：四位正整数1827，∵1+8+2+7＝18，∴1827是“恒常数”，，如果是一个“恒常数”，且a+1＝b，b+1＝c，c+1＝d，则F（M）为　 　．若是一个“恒常数”，令，Q（M）＝a+b﹣c﹣d，其中c＜d，当Q（M）取最大值且P（M）为整数时，M的值为　 　．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．（8分）（1）分解因式：3a3﹣12a；
（2）化简：2（x+1）2﹣（2x+3）（2x﹣3）．
20．（10分）“劳动最光荣、劳动最崇高、劳动最伟大、劳动最美丽”，劳动是一切成功的必经之路，也是培养栋梁之才的必需方式．某中学为了解该校学生一周课外活动和家庭生活中的劳动时间，随机抽取部分学生调查了他们一周课外活动和家庭生活中的劳动时间，用x表示时间（单位：小时），共分成四组：A：0≤x＜3，B：3≤x＜4，C：4≤x＜5，D：x≥5，将数据进行整理并制成如下统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机抽取了　 　名学生，补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（2）扇形统计图中C部分对应的圆心角为　 　度；
（3）若该中学共有800名学生，请估计该校学生一周课外活动和家庭生活中的劳动时间不少于3小时的人数．
21．（10分）如图，AD∥BC．
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AD于点E，交AC于点F．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作图形中，若点F恰为线段AC的中点，求证：△ABC是等腰三角形．请补全下面的证明过程．
证明：∵BE是∠ABC的平分线，
∴　 　．
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠CBF．
∴　 　．
∴AB＝AE．
∵F为AC的中点，
∴AF＝CF．
在△AEF和△CBF中，
，
∴△AEF≌△CBF（AAS）．
∴　 　．
∴AB＝CB．
∴△ABC是等腰三角形．
由此发现一个结论，请完成下列命题：如果一个三角形的一个内角的平分线又是其对边的中线，那么这个
三角形是 　 　．
22．（10分）在实数范围内定义运算“※”：a※b＝2（a﹣b）2﹣3，例如：3※2＝2×（3﹣2）2﹣3＝﹣1．
（1）若a＝5，b＝﹣3，计算a※b的立方根；
（2）若2※x＝15，求x的值．
23．（10分）放风筝是清明节的节日习俗，寓意将烦恼和疾病随着风筝一起放飞，此外，放风筝还是一项娱乐性运动，无论是与家人还是朋友一起放风筝，都能增进彼此之间的关系．某校八年级几名同学在学习了“勾股定理”之后，想用此定理来测量风筝的垂直高度．如图，牵线放风筝的同学站在A处，风筝在F处，先测得他抓线的地方与地面的距离AB为1.5米，然后测得他抓线的地方与风筝的水平距离BC为15米，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线BF的长为17米．
（1）求此时风筝的垂直高度EF的长；
（2）若放风筝的同学站在点A不动，风筝沿EF的方向继续上升到D处，风筝线又放出了8米，请求出风筝沿EF方向上升的高度FD的长．
24．（10分）某班数学兴趣小组的同学在学习整式乘法公式后，构造了以下图形验证乘法公式．请你利用数形结合的思想，通过等积法解决以下数学问题．从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）比较两图中阴影部分面积，可以验证的等式是 　 　；（请选择正确的选项）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
（2）若4x2﹣9y2＝20，2x﹣3y＝4，求2x+3y的值；
（3）计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）+1．
25．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝12cm，点P和点Q分别是△ABC边上的两动点，点P从点A开始沿A→C方向运动，速度为每秒1cm，到达C点后停止；点Q从点C开始沿C→B→A的方向运动，速度为每秒2cm，到达A点后停止，它们同时出发，设运动时间为t秒．
（1）当t＝4秒时，求△PCQ的面积；
（2）当t为何值时，点P恰好在边AB的垂直平分线上；
（3）当点Q在AB边上运动时，直接写出△BCQ为等腰三角形时t的值．
26．（10分）在等边△ABC中，点D为BC边上一点，连接AD．
（1）如图1，若AB＝4，CD＝1，求AD的长；
（2）如图2，AD＝AE，∠DAE＝120°，连接BE交AC于点F，求证：CD＝2AF；
（3）如图3，若AB＝2，点D为BC边的中点，点M为线段AD上一动点，点N为AB边上一动点，直接写出BM+MN的最小值．
2024-2025学年重庆市万州区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B D C D A D C D
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．（4分）计算a2 a4结果正确的是（　　）
A．a2 B．a6 C．a8 D．2a2
【解答】解：a2 a4＝a6，
故选：B．
2．（4分）小彬想了解合肥五月份每天的气温变化情况，最适合选用的统计图表是（　　）
A．条形统计图 B．扇形统计图
C．折线统计图 D．统计表
【解答】解：根据统计图的特点，想了解合肥五月份每天的气温变化情况，最适合使用的统计图是折线统计图．
故选：C．
3．（4分）如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌△DEC，AC＝3，BD＝10，则CE等于（　　）
A．3 B．7 C．10 D．13
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴CD＝AC＝3，CE＝BC，
∵BD＝10，
∴CE＝BC＝BD﹣CD＝10﹣3＝7，
故选：B．
4．（4分）下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（　　）
A．2，4，5 B．4，6，9 C．7，9，10 D．9，12，15
【解答】解：A、∵22+42≠52，
∴不能构成直角三角形，不符合题意；
B、∵42+62≠92，
∴不能构成直角三角形，不符合题意；
C、∵72+92≠102，
∴不能构成直角三角形，不符合题意；
D、∵92+122＝152，
∴能构成直角三角形，符合题意，
故选：D．
5．（4分）估计的值在（　　）
A．4到5之间 B．3到4之间 C．2到3之间 D．1到2之间
【解答】解：∵，
∴45，
∴2的值在2到3之间．
故选：C．
6．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，若AC＝10，AD＝7，则点D到AB的距离为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】解：∠C＝90°，由BD平分∠ABC可得：点D到 BC的距离等于CD的长度．
∵AC＝10，AD＝7，
∴CD＝AC﹣AD＝10﹣7＝3．
∴点D到AB的距离也是3．
故选：D．
7．（4分）若M＝x2+y2+6x﹣2y+2024，则M的最小值是（　　）
A．2014 B．2016 C．2018 D．2020
【解答】解：∵M＝x2+y2+6x﹣2y+2024＝（x+3）2+（x﹣1）2+2014≥2014，
故选：A．
8．（4分）下列命题中为真命题的是（　　）
A．27的立方根是﹣3
B．有理数与数轴上的点一一对应
C．面积相等的两个三角形一定全等
D．若a+b＝0，则a2＝b2
【解答】解：A、27的立方根是3，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、实数与数轴上的点一一对应，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、面积相等的三角形不一定全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、若a+b＝0，则a2＝b2，正确，是真命题，符合题意．
故选：D．
9．（4分）如图，在等腰直角△ABD中，∠ABD＝90°，BE⊥AC，AE＝2BE．若∠BAE＝α，则∠BDE的度数为（　　）
A．α B．α﹣15° C．45°﹣α D．90°﹣2α
【解答】解：如图，在AE上截取AF＝BE，连接BF，
∵AE＝2BE，
∴EF＝AF＝BE，
∴∠FBE＝45°，
∵BE⊥AC，
∴∠BEA＝90°＝∠ABD，
∴∠ABE+∠DBE＝90°＝∠ABE+∠BAE，
∴∠BAE＝∠DBE＝α，
又∵AB＝BD，
∴△ABF≌△BDE（SAS），
∴∠ABF＝∠BDE，
∴∠BDE＝∠ABF＝90°﹣45°﹣α＝45°﹣α，
故选：C．
10．（4分）有依次排列的2个整式：a+b，a﹣b，用这两个整式的和除以2，得到的结果放在这两个整式之间，可以产生第1个整式串：a+b，a，a﹣b，称为第1次操作；将第1个整式串中任意相邻的两个整式按上述方式进行第2次操作，可以得到第2个整式串．以此类推，下列说法：
①第2个整式串为：a+b，，a，，a﹣b；
②第4个整式串中，从左往右第2个整式乘以从右往左第2个整式的积为；
③第2024个整式串中，所有整式的和为（22024+1）a．
其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：第1个整式串：a+b，a，a﹣b，所有整式的和为3a＝（21+1）a；
第2个整式串：a+b，a，a，a，a﹣b，所有整式的和为5a＝（22+1）a；
第3个整式串：a+b，ab，a，a，a，a，a，a，a﹣b，所有整式的和为9a＝（23+1）a；
第4个整式串：a+b，a，...，a，a﹣b，所有整式的和为17a＝（24+1）a；
∴①的说法正确；
②由题意得（ab）（ab），②的说法正确；
③由题意得，第2024个整式串中，所有整式的和为（22024+1）a，③的说法正确；
综上，①②③的说法都正确；
故选：D．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
11．（4分）64的算术平方根是　8　．
【解答】解：∵82＝64
∴8．
故答案为：8．
12．（4分）若2a﹣b＝﹣3，ab＝2，则2a2b﹣ab2的值为 　﹣6　．
【解答】解：∵2a﹣b＝﹣3，ab＝2，
∴2a2b﹣ab2的
＝ab（2a﹣b）
＝2×（﹣3）
＝﹣6，
故答案为：﹣6．
13．（4分）梁启超先生曾说：“少年智则国智，少年富则国富；少年强则国强，……”，在这句话划线部分的所有汉字中，“国”字出现的频率是 　　．
【解答】解：在“少年智则国智，少年富则国富；少年强则国强”这18个字中，“国”字有3个，
∴“国”字出现的频率是；
故答案为：．
14．（4分）若一个多项式M与单项式2x2的积是10x4﹣8x5，则这个多项式M是　5x2﹣4x3　．
【解答】解：根据题意得，M＝（10x4﹣8x5）÷2x2
＝10x4÷2x2﹣8x5÷2x2
＝5x2﹣4x3，
故答案为：5x2﹣4x3．
15．（4分）已知等腰三角形有一内角为100°，则该等腰三角形的底角为　40　度．
【解答】解：①当这个角是顶角时，底角＝（180°﹣100°）÷2＝40°；
②当这个角是底角时，另一个底角为100°，因为100°+100°＝200°，不符合三角形内角和定理，所以舍去．
故答案为：40．
16．（4分）如图，已知正方形ABCD与正方形CEFG的面积之差为36，则阴影部分面积为 　18　．
【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，则a2﹣b2＝36，DG＝a﹣b，
所以S阴影部分＝S△BDG+S△EDG
DG BCDG CE
a（a﹣b）b（a﹣b）
（a+b）（a﹣b）
（a2﹣b2）
36
＝18．
故答案为：18．
17．（4分）如图，四边形ABCD中，AB＝AC，BF⊥AC交AC于点E，AD⊥CD，∠ABE＝∠ACD．若BF＝11，CD＝8，则CE的长为 　4　．
【解答】解：连接AF，如图所示：
∵BF⊥AC，AD⊥CD，
∴∠AEB＝∠D＝90°，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AE＝AD，BE＝CD＝8，
∴EF＝BF﹣BE＝11﹣8＝3，
∵BF⊥AC，AD⊥CD，
∴∠AEF＝∠D＝90°，
在Rt△AEF和Rt△ADF中，
，
∴Rt△AEF≌Rt△ADF（HL），
∴EF＝DF＝3，
∴CF＝CD﹣DF＝8﹣3＝5，
在Rt△CEF中，EF＝3，CF＝5，
由勾股定理得：CE4．
故答案为：4．
18．（4分）一个各个数位上的数字互不相等且均不为0的四位正整数（其中1≤a，b，c，d≤9，且a，b，c，d为整数），若满足a+b+c+d＝18，则称该数为“恒常数”，规定．例如：四位正整数1827，∵1+8+2+7＝18，∴1827是“恒常数”，，如果是一个“恒常数”，且a+1＝b，b+1＝c，c+1＝d，则F（M）为　384　．若是一个“恒常数”，令，Q（M）＝a+b﹣c﹣d，其中c＜d，当Q（M）取最大值且P（M）为整数时，M的值为　6912　．
【解答】解：∵M为“恒常数”，a+b+c+d＝18，
又∵b＝a+1，c＝b+1＝a+2，d＝c+1＝a+3，
∴a+a+1+a+2+a+3＝18，
解得a＝3，
∴b＝4，c＝5，d＝6，
∴M＝3456，
∴F（M）＝F（3456）384；
∵a+b+c+d＝18目a，b，c，d为正整数，1≤a，b，c，d≤9，
又Q（M）＝a+b﹣c﹣d，当Q（M）取最大值时，a+b最大，c，d尽可能小，
又∵c＜d，
∴c＝l，d＝2，
∴a+b＝18﹣1﹣2＝15；
①当a＝9，则b＝6时，F（M）＝F（9612）1068，P（M）不是整数，舍去；
②当a＝8，则b＝7时，F（M）＝F（8712）968，P（M）不是整数，舍去；
③当a＝7，则b＝8时，F（M）＝F（7812）868，P（M）不是整数，舍去；
④当a＝6，则b＝9时，F（M）＝F（6912）768，P（M）110是整数，符合题意；
∴M的值为6912；
故答案为：384；6912．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．（8分）（1）分解因式：3a3﹣12a；
（2）化简：2（x+1）2﹣（2x+3）（2x﹣3）．
【解答】解：（1）原式＝3a（a2﹣4）＝3a（a+2）（a﹣2）；
（2）原式＝2x2+4x+2﹣4x2+9
＝﹣2x2+4x+11．
20．（10分）“劳动最光荣、劳动最崇高、劳动最伟大、劳动最美丽”，劳动是一切成功的必经之路，也是培养栋梁之才的必需方式．某中学为了解该校学生一周课外活动和家庭生活中的劳动时间，随机抽取部分学生调查了他们一周课外活动和家庭生活中的劳动时间，用x表示时间（单位：小时），共分成四组：A：0≤x＜3，B：3≤x＜4，C：4≤x＜5，D：x≥5，将数据进行整理并制成如下统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机抽取了　50　名学生，补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（2）扇形统计图中C部分对应的圆心角为　108　度；
（3）若该中学共有800名学生，请估计该校学生一周课外活动和家庭生活中的劳动时间不少于3小时的人数．
【解答】解：（1）20÷40%＝50（名），
∴此次调查一共随机抽取了50名学生，
D组的人数为：50﹣5﹣20﹣15＝10，
补全条形统计图：
故答案为：50；
（2）扇形统计图中C部分对应的圆心角为：360°108°，
故答案为：108；
（3）800720（名），
答：估计该校学生一周课外活动和家庭生活中的劳动时间不少于3小时的人数为720名．
21．（10分）如图，AD∥BC．
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AD于点E，交AC于点F．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作图形中，若点F恰为线段AC的中点，求证：△ABC是等腰三角形．请补全下面的证明过程．
证明：∵BE是∠ABC的平分线，
∴　∠ABE＝∠CBF　．
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠CBF．
∴　∠ABE＝AEF　．
∴AB＝AE．
∵F为AC的中点，
∴AF＝CF．
在△AEF和△CBF中，
，
∴△AEF≌△CBF（AAS）．
∴　AE＝BC　．
∴AB＝CB．
∴△ABC是等腰三角形．
由此发现一个结论，请完成下列命题：如果一个三角形的一个内角的平分线又是其对边的中线，那么这个
三角形是 　等腰三角形　．
【解答】（1）解：如图所示，AE平分∠ABC，
（2）证明：BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBF，
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠CBF，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵F为AC的中点，
∴AF＝CF．
在△AEF和△CBF中，
，
∴△AEF≌△CBF（AAS），
∴AE＝BC，
∴AB＝CB．
∴△ABC是等腰三角形．
由此发现一个结论，请完成下列命题：如果一个三角形的一个内角的平分线又是其对边的中线，那么这个
三角形是等腰三角形．
故答案为：∠ABE＝∠CBF，∠ABE＝∠AEF，AE＝BC，等腰三角形．
22．（10分）在实数范围内定义运算“※”：a※b＝2（a﹣b）2﹣3，例如：3※2＝2×（3﹣2）2﹣3＝﹣1．
（1）若a＝5，b＝﹣3，计算a※b的立方根；
（2）若2※x＝15，求x的值．
【解答】解：（1）∵a＝5，b＝﹣3，
∴a※b＝5※（﹣3）＝2×[5﹣（﹣3）]2﹣3＝2×82﹣3＝2×64﹣3＝125，
∵125的立方根是5，
∴a※b的立方根是5；
（2）∵2※x＝15，
∴2（2﹣x）2﹣3＝15，
∴2（2﹣x）2＝18，
∴（2﹣x）2＝9，
∴2﹣x＝±3，
∴x＝﹣1或x＝5．
23．（10分）放风筝是清明节的节日习俗，寓意将烦恼和疾病随着风筝一起放飞，此外，放风筝还是一项娱乐性运动，无论是与家人还是朋友一起放风筝，都能增进彼此之间的关系．某校八年级几名同学在学习了“勾股定理”之后，想用此定理来测量风筝的垂直高度．如图，牵线放风筝的同学站在A处，风筝在F处，先测得他抓线的地方与地面的距离AB为1.5米，然后测得他抓线的地方与风筝的水平距离BC为15米，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线BF的长为17米．
（1）求此时风筝的垂直高度EF的长；
（2）若放风筝的同学站在点A不动，风筝沿EF的方向继续上升到D处，风筝线又放出了8米，请求出风筝沿EF方向上升的高度FD的长．
【解答】解：（1）∵AB⊥AE，CE⊥AE，BC⊥DE，
∴∠BAE＝∠AEC＝∠BCE＝90°，
∴四边形ABCE是矩形，
∴AB＝CE＝1.5米，
在Rt△BCF中，CF8（米），
∴EF＝CF+CE＝8+1.5＝9.5（米），
答：此时风筝的垂直高度EF的长为9.5米；
（2）在Rt△BCD中，BD＝17+8＝25（米），BC＝15米，
∴CD20（米），
∴DF＝CD﹣CF＝20﹣8＝12（米），
答：风筝沿EF方向上升的高度FD的长为12米．
24．（10分）某班数学兴趣小组的同学在学习整式乘法公式后，构造了以下图形验证乘法公式．请你利用数形结合的思想，通过等积法解决以下数学问题．从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）比较两图中阴影部分面积，可以验证的等式是 　B　；（请选择正确的选项）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
（2）若4x2﹣9y2＝20，2x﹣3y＝4，求2x+3y的值；
（3）计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）+1．
【解答】解：（1）图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成的图2是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：B；
（2）∵4x2﹣9y2＝20，即（2x+3y）（2x﹣3y）＝20，而2x﹣3y＝4，
∴2x+3y＝5；
（3）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（21024+1）+1
＝（28﹣1）（28+1）…（21024+1）+1
＝（216﹣1）…（21024+1）+1
＝22048﹣1+1
＝22048．
25．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝12cm，点P和点Q分别是△ABC边上的两动点，点P从点A开始沿A→C方向运动，速度为每秒1cm，到达C点后停止；点Q从点C开始沿C→B→A的方向运动，速度为每秒2cm，到达A点后停止，它们同时出发，设运动时间为t秒．
（1）当t＝4秒时，求△PCQ的面积；
（2）当t为何值时，点P恰好在边AB的垂直平分线上；
（3）当点Q在AB边上运动时，直接写出△BCQ为等腰三角形时t的值．
【解答】解：（1）当t＝4时，AP＝4cm，CQ＝8cm，
∵AC＝16cm，
∴PC＝16﹣4＝12（cm），
∵∠C＝90°，
∴△PCQ的面积 CP CQ12×8＝48（cm2）；
（2）如图1，连接PB，
∵点P在边AB的垂直平分线上，
∴AP＝PB＝t cm，
∴PC＝（16﹣t）cm，
在Rt△BPC中，PC2+BC2＝BP2，即（16﹣t）2+122＝t2，
解得：t．
即当t时，点P恰好在边AB的垂直平分线上；
（3）∵∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝12cm，
∴AB20（cm），
①当BC＝BQ＝12cm时，如图2，
∴t12；
②当CQ＝BQ时，如图3，
∴∠B＝∠BCQ，
∵∠A+∠B＝∠ACQ+∠BCQ＝90°，
∴∠A＝∠ACQ，
∴AQ＝CQ＝BQAB＝10cm，
∵BQ＝（2t﹣12）cm，
∴2t﹣12＝10，
∴t＝11；
②当CQ＝BC＝12cm时，如图4，过点C作CD⊥AB于D，则∠CDB＝90°，
∵S△ACB AC BC AB CD，
∴12×1620×CD，
∴CD，
由勾股定理得：BD，
∵CQ＝CB，CD⊥BQ，
∴BQ＝2BD，
∴t；
综上所述：当点Q在AB边上运动时，△BCQ为等腰三角形时t的值是11或12或．
26．（10分）在等边△ABC中，点D为BC边上一点，连接AD．
（1）如图1，若AB＝4，CD＝1，求AD的长；
（2）如图2，AD＝AE，∠DAE＝120°，连接BE交AC于点F，求证：CD＝2AF；
（3）如图3，若AB＝2，点D为BC边的中点，点M为线段AD上一动点，点N为AB边上一动点，直接写出BM+MN的最小值．
【解答】（1）解：如图1，
作AE⊥BC于E，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴BE＝CEBC，
∴DE＝CE﹣CD＝2﹣1＝1，AE2＝AB2﹣BE2＝42﹣22＝12，
∴AD；
（2）证明：如图2，
在AC上截取AG＝CD，丽娜姐BG，交AD于H，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°，
∴△ABG≌△CAD（SAS），
∴AD＝BG，∠ABG＝∠CAD，
∴∠ABG+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝60°，
∵∠ABG+∠BAD+∠ABH＝180°，
∴∠AHB＝120°，
∵AD＝AE，∠DAE＝120°，
∴BG＝AE，∠DAE＝∠AHB，
∴BG∥AE，
∴∠E＝∠GBF，
∵∠AFE＝∠BFG，
∴△AEF≌△GBF（AAS），
∴AF＝FG，
∴AF，
即：CD＝2AF；
（3）解：如图3，
作CN⊥AB于N，交AD于M，则BM+MN最小，
∵△ABC是等边三角形，D是BC中点，
∴AD⊥BC，
∴CM＝BM，
∴BM+MN＝CM+MN＝CN，
∵CN，
∴（BM+MN）最小．
第1页（共1页）