广东省东莞市瑞风实验学校2024-2025学年九年级下学期开学摸底数学试题
1．（2025九下·东莞开学考）下列互为相反数的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】B
【知识点】判断两个数互为相反数
【解析】【解答】解：A：=-2，与-2不是相反数，不符合题意；
B：=1，与-1是相反数，符合题意；
C：=-4，与-4不是相反数，不符合题意；
D：=-5，与-5不是相反数，不符合题意.
故答案为：B
【分析】根据相反数的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．（2025九下·东莞开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：，正确，符合题意.
故答案为：D
【分析】根据同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方逐项进行判断即可求出答案.
3．（2025九下·东莞开学考）下列收集数据的方式适合抽样调查的是（ ）
A．旅客进动车站前的安检
B．了解某批次汽车的抗撞击能力
C．了解某班同学的身高情况
D．选出某班短跑最快的同学参加校运动会
【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A. 旅客进动车站前的安检，适合全面调查，故该选项不符合题意；
B. 了解某批次汽车的抗撞击能力， 适合抽样调查，故该选项符合题意；
C. 了解某班同学的身高情况， 适合全面调查，故该选项不符合题意；
D. 选出某班短跑最快的同学参加校运动会， 适合全面调查，故该选项不符合题意；
故选：B．
【分析】由抽样调查和全面调查的区别，由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
4．（2025九下·东莞开学考）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：依题意，，
解得：，
故选：C．
【分析】由判别式判断方程的根的情况，当时，一元二次方程有两个相等实数根，据此求出的取值范围即可．
5．（2025九下·东莞开学考）已知实数、在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可得：
b<0
∴A：，错误，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，正确，符合题意；
D：，错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】由数轴可得b<06．（2025九下·东莞开学考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：B
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.
7．（2025九下·东莞开学考）对于任意不相等的两个数，定义一种运算“*”如下，如，计算：（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【知识点】有理数的减法法则；有理数的除法法则；求算术平方根
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：A
【分析】根据新定义列式计算即可求出答案.
8．（2025九下·东莞开学考）如图，在矩形中，，点P是的中点，，点M、N在线段上，若是等腰三角形且底角与相等，则的值为（ ）
A．6或2 B．3或 C．2或3 D．6或
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：①当MN为等腰的底边时，作PF⊥MN于F
则∠PFM=∠PFN=90°
∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD，，∠A=∠C=90°
∴
∵点P是AD的中点
∴
∵∠PDF=∠BDA
∴
∴，即
解得：
∵CE=2BE
∴BC=AD=3BE
∴BE=CD
∴CE=2CD
∵是等腰三角形且底角与相等，PF⊥MN
∴MF=NF，∠PNF=∠DEC
∵∠PFN=∠C=90°
∴△PNF∽△DEC
∴
∴MF=NF=2PF=3
∴MN=2NF=6
②当MN为等腰的腰时，作PF⊥BD于F
由①得，MF=3
设MN=PN=x，则FN=3-x
在Rt△PNF中，
解得：，即
综上所述，MN的值为 6或
故答案为：D
【分析】分情况讨论：当MN为等腰的底边时，作PF⊥MN于F，根据矩形性质可得AB=CD，，∠A=∠C=90°，再根据边之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据边之间的关系可得CE=2CD，再根据相似三角形判定定理可得△PNF∽△DEC，则，即可求出答案；②当MN为等腰的腰时，作PF⊥BD于F，由①得，MF=3，设MN=PN=x，则FN=3-x，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
9．（2025九下·东莞开学考）如图，已知是半圆O的直径，弦相交于点P，若的度数之和为120°，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定；求特殊角的三角函数值；求余弦值；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：连接BD
∵AB为直径
∴∠ADB=90°
∵的度数之和为120°
∴
∴∠BPD=∠BAP+∠ABP=60°
∴
∵∠C=∠A，∠CPD=∠APB
∴△CPD∽△APB
∴
故答案为：C
【分析】连接BD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，∠BPD=∠BAP+∠ABP=60°，再根据余弦定义及特殊角的三角函数值可得，再根据相似三角形判定定理可得△CPD∽△APB，则，即可求出答案.
10．（2025九下·东莞开学考）已知在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点和点在函数的图象上(且)，点和点在函数的图象上．当与的积为负数时，t的取值范围是( )
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解： ∵y=k1x(k1>0)的图象与反比例函数（k2>0）的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，
∴k1=k2
令k1=k2=k(k>0)，则y=k1x=kx，
将点A(t，p)和点B(t+2，q)代入y=kx，得
将点C(t，m)和点D(t+2，n)代入，得
∴
∴
∴
∵
∴
∴
①当t<-3时，t(t-1)(t+2)(t+3)>0，
∴t<-3不符合要求，应舍去.
②当-3∴-3③当-20，
∴2④当0∴0⑤当t>1时，t(t-1)(t+2)(t+3)>0，
∴t>1不符合要求，应舍去.
综上，t的取值范围是-3故答案为：D
【分析】由题意可得k1=k2，将点A，B坐标代入正比例函数解析式可得，C，D坐标代入反比例函数解析式，则，由题意可得，根据不等式的性质化简可得，分情况讨论：①当t<-3时，②当-31时，根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
11．（2025九下·东莞开学考）比较大小： 2（填“>”、“=”或“<”）．
【答案】＞
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵2=，且5＞4，
∴.
故答案为：＞.
【分析】被开方数大，算术平方根就大，据此判断即可.
12．（2025九下·东莞开学考）点关于轴对称的点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意可得：
点关于轴对称的点的坐标为
故答案为：
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求出答案.
13．（2025九下·东莞开学考）已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴
故答案为：
【分析】根据二次方程根与系数的关系可得，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
14．（2025九下·东莞开学考）二次函数为常数，且经过，一次函数经过，一次函数经过．已知，，其中为整数，则的值为 ．
【答案】5或
【知识点】一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： ∵二次函数经过(1，0)，（x1，0)，
∴a+b+c=0，
又∵-5则当a>0时，b>0，
且
将b=-a-c代入方程组
解得
∴
∵一次函数y=|a|x+C经过（x2，0)，
∴ax2+c=0
则
∴4∵m∴m=4
将a=-b-c代入不等式组，
解得：
∴
∵一次函数y=|b|x+c经过(x3，0).
∴bx3+c=0
则
∴
∵n∴n=1.
∴m+n＝4+1=5.
当a<0时，b<0，且
将b=-a-c代入不等式组
解得
∵一次函数y=|a|x+c经过(x2，0)。
∴-ax2+c=0
∴-5∵m∴m=-5
将a=-b-c代入不等式组，
解得
∵一次函数y=|b|x+c经过(x3，0).
∴-bx3+c=0
则
∴
∵n∴n=-2
∴m+n=-5+(-2)=-7
综上所述：m+n的值为5或-7.
故答案为：5或-7
【分析】将点(1，0)，（x1，0)代入二次函数解析式可得a+b+c=0，分情况讨论：则当a>0时，b>0，当a<0时，b<0，根据题意方程组，将b=-a-c，a=-b-c，分别代入方程组，再根据一次函数的性质可得m，n值，再代入代数式即可求出答案.
15．（2025九下·东莞开学考）如图，的对角线，相交于点，、过点，且点，在边上，点，在边上，向内部投掷飞镖，飞镖恰好落在阴影区域的概率为 ．
【答案】
【知识点】几何概率；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：由题意可得：
△OEH和△OFG关于点O中心对称
∴
∴
∴飞镖恰好落在阴影区域的概率为
故答案为：
【分析】由题意可得△OEH和△OFG关于点O中心对称，则，再根据平行四边形性质可得，再根据概率公式即可求出答案.
16．（2025九下·东莞开学考）计算：．
【答案】解：
【知识点】零指数幂；二次根式的加减法；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】根据二次根式性质，0指数幂，绝对值的性质化简，再计算加减即可求出答案.
17．（2025九下·东莞开学考）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
；
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的加法，除法，结合平方差公式，再将代入即可求出答案.
18．（2025九下·东莞开学考）如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）．
（1）求的度数；
（2）若的半径为8，求正方形的边长．
【答案】（1）解：连接，
由题意得：，
∴
（2）解：由（1）知：，
又∵，
∴
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆周角定理
【解析】【分析】（1）连接，根据圆内接正方形性质可得，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
（2）由（1）知：，再根据勾股定理即可求出答案.
19．（2025九下·东莞开学考）为了解中学生的视力情况，某区卫健部门决定随机抽取本区部分初、高中学生进行调查，并对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图．
初中学生视力情况统计表
视力 人数 百分比
0.6及以下 8
0.7 16 8%
0.8 28 14%
0.9 34 17%
1.0 m 34%
1.1及以上 46 n
合计 200
（1） ， ．
（2）被调查的高中学生视力情况的样本容量为 ；
（3）分析处理
①小胡说；“初中学生的视力水平比高中学生的好．”请你对小胡的说法进行判断，并选择一个能反映总体的统计量说明理由；
②约定：视力未达到1.0为视力不良．若该区有15000名初中生，估计该区有多少名初中生视力不良？
【答案】（1）68；
（2）320
（3）解：①小胡的说法正确，理由如下：
初中生调查人数为200人，
初中生视力的中位数为第100和101个数据的平均数，
，，
初中生视力的中位数落在这一组，
高中生调查人数为320人，
高中生视力的中位数为第160和161个数据的平均数，
，，
初中生视力的中位数落在这一组，
，
初中学生的视力水平比高中学生的好，小胡的说法正确；
②，
即估计该区有名初中生视力不良
【知识点】用样本估计总体；条形统计图；中位数
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
m=200-8-16-28-34-46=68
n=
故答案为：68；
（2）由题意可得：
被调查的高中学生视力情况的样本容量为：14+44+60+82+65+55=320
故答案为：320
【分析】（1）根据总人数减去其它人数即可得m值，用46除200，再乘以100%即可得n.
（2）将所有人数相加即可求出答案.
（3）①根据中位数的定义求出初中生和高中生的中位数，再比较大小即可求出答案.
②用总人数乘以视力不良的占比即可求出答案.
20．（2025九下·东莞开学考）2024年2月27日，第31届中国兰花博览会在云南省维西傈僳族自治县开幕.开幕式当天，数千盆或端庄俊秀、或淡雅高洁的珍品兰花竞相绽放，吸引了不少市民及兰花爱好者前来赏兰、品兰、购兰，小智和小刚二人都想去这次博览会开开眼界，但只有一张门票，所以二人决定通过抽卡游戏确定谁去参会.在一个不透明的盒子中装四张完全相同的卡片，把它们分别标号为1，2，3，4.小智先随机取出一张卡片记录下号码后不放回，小刚再随机取出一张卡片记录下号码，然后比较两人各自记录下的号码，谁的号码大就由谁去参会.
（1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求两人取卡的所有可能出现的结果总数；
（2）请通过计算判断这个游戏是否公平，并说明理由.
【答案】（1）解：由题意列表如下：
小刚 小智 1 2 3 4
1
2
3
4
如表所示，两人取卡共12种等可能出现的结果
（2）解：由（1）中表可知，共有12种等可能的结果，其中小智的号码大于小刚的号码的情况为，，，，，共6种结果，
∴概率；
同理，小智的号码小于小刚的号码的情况为，，，，，共6种结果，∴概率；
∵，∴这个游戏是公平的
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）列出表格，即可求出所有等可能的结果，
（2）求出小智的号码大于小刚的号码的结果，小智的号码小于小刚的号码的结果，求出对应概率，再比较大小即可求出答案.
21．（2025九下·东莞开学考）在平面直角坐标系中，设抛物线，其中.
（1）若抛物线的对称轴为，求抛物线的解析式；
（2）若，点与点是抛物线上两个不同的点，且，求证：.
【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴为，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为
（2）解：将点与点分别代入抛物线解析式得
，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
整理得：，
∵点A与点B是抛物线上两个不同的点，，
∴，
∴，
∵，∴，即.
【知识点】完全平方公式及运用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质建立方程，解方程即可求出答案.
（2）将点与点分别代入抛物线解析式得，，则，由题意可得，，再整体代入，化简可得，再结合二次函数的性质即可求出答案.
22．（2025九下·东莞开学考） 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点C，与x轴交于点A，过点C作轴，垂足为B，连接．已知四边形是平行四边形，且其面积是6．
（1）求点A的坐标及m和k的值；
（2）①求一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标；
②请结合图象，直接写出不等式的解集．
（3）若直线与四边形有交点时，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）解：，
无论k取何值，当时，y的值恒为0，
一次函数的图象过定点，
点A的坐标为，
，
四边形是平行四边形，且其面积是6，
，，
，
点C的坐标为，
将代入，得：，
解得，
将代入，得：，
解得
（2）解：①由（1）得一次函数解析式为，
反比例函数解析式为：，
令
解得或，
点C的坐标为，
另一个交点的横坐标为6，
将代入，得，
另一个交点的坐标为；
②或
（3）解：t的取值范围为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（3）如图
当直线y=x+t经过点C时，t取最大值，当直线y=x+t经过点A时，t取最小值
将点C(-3，2)代入y=x+t，得2=-3+t，解得：t=5
将点A(3，0)代入y=x+t，得0=3+t，解得：t=-3
∴直线与四边形有交点时，t的取值范围为
【分析】（1）根据一次函数的性质可得点A的坐标为，则，再根据平行四边形面积可得，则点C的坐标为，再根据待定系数法将点C坐标分别代入一次函数，反比例函数解析式即可求出答案.
（2）①联立一次函数，反比例函数解析式可得另一个交点的横坐标为6，再将x=6代入一次函数解析式即可求出答案；
②当反比例函数图象在一次函数图象上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
（3）画出图象，则当直线y=x+t经过点C时，t取最大值，当直线y=x+t经过点A时，t取最小值，将点A，C坐标分别代入解析式即可求出答案.
23．（2025九下·东莞开学考）如图，在中，AB是的直径，点M是直径AB上的一个动点，过点M的弦，交于点C、D，连接BC，点F为BC的中点，连接DF并延长，交AB于点E，交于点G.
图1 图2 备用图
（1）如图1，连接CG，过点G的直线交DC的延长线于点P.当点M与圆心O重合时，若，求证：PG是的切线；
（2）在点M运动的过程中，（k为常数），求k的值；
（3）如图2，连接BG、OF、MF，当是等腰三角形时，求的正切值.
【答案】（1）证明：如图，连接OG，
则，
∴，
当点M与圆心O重合时，CD是的直径，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
即，
∵OG是的半径，
∴PG是的切线
（2）解：如图，过点F作，垂足为H，则，
∵点F为BC的中点，
∴FH是的中位线，
∴，
∵AB是的直径，弦，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
（3）解：如图，当点M在圆心O的左侧时，，连接CO，
∵点F为BC的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∴.
在中，点F为BC的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形
∴，
∴，
∴；
如图，当点M在圆心O的右侧时，，，
∵点F为BC的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
在中，点F为BC的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴.
综上所述，的正切值为或
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的判定；相似三角形的判定；求特殊角的三角函数值；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接OG，根据等边对等角可得，根据圆周角定理可得，即，再根据角之间的关系可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）过点F作，垂足为H，则，根据三角形中位线定理可得，再根据垂径定理可得，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，化简即可求出答案.
（3）分情况讨论：当点M在圆心O的左侧时，，连接CO，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据特殊角的三角函数值即可求出答案；当点M在圆心O的右侧时，，，根据角之间的关系可得，则，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，即，再根据特殊角的三角函数值即可求出答案；
1 / 1广东省东莞市瑞风实验学校2024-2025学年九年级下学期开学摸底数学试题
1．（2025九下·东莞开学考）下列互为相反数的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
2．（2025九下·东莞开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025九下·东莞开学考）下列收集数据的方式适合抽样调查的是（ ）
A．旅客进动车站前的安检
B．了解某批次汽车的抗撞击能力
C．了解某班同学的身高情况
D．选出某班短跑最快的同学参加校运动会
4．（2025九下·东莞开学考）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是( )
A． B． C． D．
5．（2025九下·东莞开学考）已知实数、在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025九下·东莞开学考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025九下·东莞开学考）对于任意不相等的两个数，定义一种运算“*”如下，如，计算：（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
8．（2025九下·东莞开学考）如图，在矩形中，，点P是的中点，，点M、N在线段上，若是等腰三角形且底角与相等，则的值为（ ）
A．6或2 B．3或 C．2或3 D．6或
9．（2025九下·东莞开学考）如图，已知是半圆O的直径，弦相交于点P，若的度数之和为120°，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．（2025九下·东莞开学考）已知在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点和点在函数的图象上(且)，点和点在函数的图象上．当与的积为负数时，t的取值范围是( )
A．或 B．或
C．或 D．或
11．（2025九下·东莞开学考）比较大小： 2（填“>”、“=”或“<”）．
12．（2025九下·东莞开学考）点关于轴对称的点的坐标为 ．
13．（2025九下·东莞开学考）已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
14．（2025九下·东莞开学考）二次函数为常数，且经过，一次函数经过，一次函数经过．已知，，其中为整数，则的值为 ．
15．（2025九下·东莞开学考）如图，的对角线，相交于点，、过点，且点，在边上，点，在边上，向内部投掷飞镖，飞镖恰好落在阴影区域的概率为 ．
16．（2025九下·东莞开学考）计算：．
17．（2025九下·东莞开学考）先化简，再求值：，其中．
18．（2025九下·东莞开学考）如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）．
（1）求的度数；
（2）若的半径为8，求正方形的边长．
19．（2025九下·东莞开学考）为了解中学生的视力情况，某区卫健部门决定随机抽取本区部分初、高中学生进行调查，并对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图．
初中学生视力情况统计表
视力 人数 百分比
0.6及以下 8
0.7 16 8%
0.8 28 14%
0.9 34 17%
1.0 m 34%
1.1及以上 46 n
合计 200
（1） ， ．
（2）被调查的高中学生视力情况的样本容量为 ；
（3）分析处理
①小胡说；“初中学生的视力水平比高中学生的好．”请你对小胡的说法进行判断，并选择一个能反映总体的统计量说明理由；
②约定：视力未达到1.0为视力不良．若该区有15000名初中生，估计该区有多少名初中生视力不良？
20．（2025九下·东莞开学考）2024年2月27日，第31届中国兰花博览会在云南省维西傈僳族自治县开幕.开幕式当天，数千盆或端庄俊秀、或淡雅高洁的珍品兰花竞相绽放，吸引了不少市民及兰花爱好者前来赏兰、品兰、购兰，小智和小刚二人都想去这次博览会开开眼界，但只有一张门票，所以二人决定通过抽卡游戏确定谁去参会.在一个不透明的盒子中装四张完全相同的卡片，把它们分别标号为1，2，3，4.小智先随机取出一张卡片记录下号码后不放回，小刚再随机取出一张卡片记录下号码，然后比较两人各自记录下的号码，谁的号码大就由谁去参会.
（1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求两人取卡的所有可能出现的结果总数；
（2）请通过计算判断这个游戏是否公平，并说明理由.
21．（2025九下·东莞开学考）在平面直角坐标系中，设抛物线，其中.
（1）若抛物线的对称轴为，求抛物线的解析式；
（2）若，点与点是抛物线上两个不同的点，且，求证：.
22．（2025九下·东莞开学考） 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点C，与x轴交于点A，过点C作轴，垂足为B，连接．已知四边形是平行四边形，且其面积是6．
（1）求点A的坐标及m和k的值；
（2）①求一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标；
②请结合图象，直接写出不等式的解集．
（3）若直线与四边形有交点时，直接写出t的取值范围．
23．（2025九下·东莞开学考）如图，在中，AB是的直径，点M是直径AB上的一个动点，过点M的弦，交于点C、D，连接BC，点F为BC的中点，连接DF并延长，交AB于点E，交于点G.
图1 图2 备用图
（1）如图1，连接CG，过点G的直线交DC的延长线于点P.当点M与圆心O重合时，若，求证：PG是的切线；
（2）在点M运动的过程中，（k为常数），求k的值；
（3）如图2，连接BG、OF、MF，当是等腰三角形时，求的正切值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】判断两个数互为相反数
【解析】【解答】解：A：=-2，与-2不是相反数，不符合题意；
B：=1，与-1是相反数，符合题意；
C：=-4，与-4不是相反数，不符合题意；
D：=-5，与-5不是相反数，不符合题意.
故答案为：B
【分析】根据相反数的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：，正确，符合题意.
故答案为：D
【分析】根据同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A. 旅客进动车站前的安检，适合全面调查，故该选项不符合题意；
B. 了解某批次汽车的抗撞击能力， 适合抽样调查，故该选项符合题意；
C. 了解某班同学的身高情况， 适合全面调查，故该选项不符合题意；
D. 选出某班短跑最快的同学参加校运动会， 适合全面调查，故该选项不符合题意；
故选：B．
【分析】由抽样调查和全面调查的区别，由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：依题意，，
解得：，
故选：C．
【分析】由判别式判断方程的根的情况，当时，一元二次方程有两个相等实数根，据此求出的取值范围即可．
5．【答案】C
【知识点】不等式的性质；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可得：
b<0∴A：，错误，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，正确，符合题意；
D：，错误，不符合题意；
故答案为：C
【分析】由数轴可得b<06．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：B
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.
7．【答案】A
【知识点】有理数的减法法则；有理数的除法法则；求算术平方根
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：A
【分析】根据新定义列式计算即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：①当MN为等腰的底边时，作PF⊥MN于F
则∠PFM=∠PFN=90°
∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD，，∠A=∠C=90°
∴
∵点P是AD的中点
∴
∵∠PDF=∠BDA
∴
∴，即
解得：
∵CE=2BE
∴BC=AD=3BE
∴BE=CD
∴CE=2CD
∵是等腰三角形且底角与相等，PF⊥MN
∴MF=NF，∠PNF=∠DEC
∵∠PFN=∠C=90°
∴△PNF∽△DEC
∴
∴MF=NF=2PF=3
∴MN=2NF=6
②当MN为等腰的腰时，作PF⊥BD于F
由①得，MF=3
设MN=PN=x，则FN=3-x
在Rt△PNF中，
解得：，即
综上所述，MN的值为 6或
故答案为：D
【分析】分情况讨论：当MN为等腰的底边时，作PF⊥MN于F，根据矩形性质可得AB=CD，，∠A=∠C=90°，再根据边之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据边之间的关系可得CE=2CD，再根据相似三角形判定定理可得△PNF∽△DEC，则，即可求出答案；②当MN为等腰的腰时，作PF⊥BD于F，由①得，MF=3，设MN=PN=x，则FN=3-x，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定；求特殊角的三角函数值；求余弦值；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：连接BD
∵AB为直径
∴∠ADB=90°
∵的度数之和为120°
∴
∴∠BPD=∠BAP+∠ABP=60°
∴
∵∠C=∠A，∠CPD=∠APB
∴△CPD∽△APB
∴
故答案为：C
【分析】连接BD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，∠BPD=∠BAP+∠ABP=60°，再根据余弦定义及特殊角的三角函数值可得，再根据相似三角形判定定理可得△CPD∽△APB，则，即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解： ∵y=k1x(k1>0)的图象与反比例函数（k2>0）的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，
∴k1=k2
令k1=k2=k(k>0)，则y=k1x=kx，
将点A(t，p)和点B(t+2，q)代入y=kx，得
将点C(t，m)和点D(t+2，n)代入，得
∴
∴
∴
∵
∴
∴
①当t<-3时，t(t-1)(t+2)(t+3)>0，
∴t<-3不符合要求，应舍去.
②当-3∴-3③当-20，
∴2④当0∴0⑤当t>1时，t(t-1)(t+2)(t+3)>0，
∴t>1不符合要求，应舍去.
综上，t的取值范围是-3故答案为：D
【分析】由题意可得k1=k2，将点A，B坐标代入正比例函数解析式可得，C，D坐标代入反比例函数解析式，则，由题意可得，根据不等式的性质化简可得，分情况讨论：①当t<-3时，②当-31时，根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
11．【答案】＞
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵2=，且5＞4，
∴.
故答案为：＞.
【分析】被开方数大，算术平方根就大，据此判断即可.
12．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意可得：
点关于轴对称的点的坐标为
故答案为：
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴
故答案为：
【分析】根据二次方程根与系数的关系可得，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
14．【答案】5或
【知识点】一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： ∵二次函数经过(1，0)，（x1，0)，
∴a+b+c=0，
又∵-5则当a>0时，b>0，
且
将b=-a-c代入方程组
解得
∴
∵一次函数y=|a|x+C经过（x2，0)，
∴ax2+c=0
则
∴4∵m∴m=4
将a=-b-c代入不等式组，
解得：
∴
∵一次函数y=|b|x+c经过(x3，0).
∴bx3+c=0
则
∴
∵n∴n=1.
∴m+n＝4+1=5.
当a<0时，b<0，且
将b=-a-c代入不等式组
解得
∵一次函数y=|a|x+c经过(x2，0)。
∴-ax2+c=0
∴-5∵m∴m=-5
将a=-b-c代入不等式组，
解得
∵一次函数y=|b|x+c经过(x3，0).
∴-bx3+c=0
则
∴
∵n∴n=-2
∴m+n=-5+(-2)=-7
综上所述：m+n的值为5或-7.
故答案为：5或-7
【分析】将点(1，0)，（x1，0)代入二次函数解析式可得a+b+c=0，分情况讨论：则当a>0时，b>0，当a<0时，b<0，根据题意方程组，将b=-a-c，a=-b-c，分别代入方程组，再根据一次函数的性质可得m，n值，再代入代数式即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】几何概率；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：由题意可得：
△OEH和△OFG关于点O中心对称
∴
∴
∴飞镖恰好落在阴影区域的概率为
故答案为：
【分析】由题意可得△OEH和△OFG关于点O中心对称，则，再根据平行四边形性质可得，再根据概率公式即可求出答案.
16．【答案】解：
【知识点】零指数幂；二次根式的加减法；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】根据二次根式性质，0指数幂，绝对值的性质化简，再计算加减即可求出答案.
17．【答案】解：
；
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的加法，除法，结合平方差公式，再将代入即可求出答案.
18．【答案】（1）解：连接，
由题意得：，
∴
（2）解：由（1）知：，
又∵，
∴
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆周角定理
【解析】【分析】（1）连接，根据圆内接正方形性质可得，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
（2）由（1）知：，再根据勾股定理即可求出答案.
19．【答案】（1）68；
（2）320
（3）解：①小胡的说法正确，理由如下：
初中生调查人数为200人，
初中生视力的中位数为第100和101个数据的平均数，
，，
初中生视力的中位数落在这一组，
高中生调查人数为320人，
高中生视力的中位数为第160和161个数据的平均数，
，，
初中生视力的中位数落在这一组，
，
初中学生的视力水平比高中学生的好，小胡的说法正确；
②，
即估计该区有名初中生视力不良
【知识点】用样本估计总体；条形统计图；中位数
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
m=200-8-16-28-34-46=68
n=
故答案为：68；
（2）由题意可得：
被调查的高中学生视力情况的样本容量为：14+44+60+82+65+55=320
故答案为：320
【分析】（1）根据总人数减去其它人数即可得m值，用46除200，再乘以100%即可得n.
（2）将所有人数相加即可求出答案.
（3）①根据中位数的定义求出初中生和高中生的中位数，再比较大小即可求出答案.
②用总人数乘以视力不良的占比即可求出答案.
20．【答案】（1）解：由题意列表如下：
小刚 小智 1 2 3 4
1
2
3
4
如表所示，两人取卡共12种等可能出现的结果
（2）解：由（1）中表可知，共有12种等可能的结果，其中小智的号码大于小刚的号码的情况为，，，，，共6种结果，
∴概率；
同理，小智的号码小于小刚的号码的情况为，，，，，共6种结果，∴概率；
∵，∴这个游戏是公平的
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）列出表格，即可求出所有等可能的结果，
（2）求出小智的号码大于小刚的号码的结果，小智的号码小于小刚的号码的结果，求出对应概率，再比较大小即可求出答案.
21．【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴为，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为
（2）解：将点与点分别代入抛物线解析式得
，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
整理得：，
∵点A与点B是抛物线上两个不同的点，，
∴，
∴，
∵，∴，即.
【知识点】完全平方公式及运用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质建立方程，解方程即可求出答案.
（2）将点与点分别代入抛物线解析式得，，则，由题意可得，，再整体代入，化简可得，再结合二次函数的性质即可求出答案.
22．【答案】（1）解：，
无论k取何值，当时，y的值恒为0，
一次函数的图象过定点，
点A的坐标为，
，
四边形是平行四边形，且其面积是6，
，，
，
点C的坐标为，
将代入，得：，
解得，
将代入，得：，
解得
（2）解：①由（1）得一次函数解析式为，
反比例函数解析式为：，
令
解得或，
点C的坐标为，
另一个交点的横坐标为6，
将代入，得，
另一个交点的坐标为；
②或
（3）解：t的取值范围为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（3）如图
当直线y=x+t经过点C时，t取最大值，当直线y=x+t经过点A时，t取最小值
将点C(-3，2)代入y=x+t，得2=-3+t，解得：t=5
将点A(3，0)代入y=x+t，得0=3+t，解得：t=-3
∴直线与四边形有交点时，t的取值范围为
【分析】（1）根据一次函数的性质可得点A的坐标为，则，再根据平行四边形面积可得，则点C的坐标为，再根据待定系数法将点C坐标分别代入一次函数，反比例函数解析式即可求出答案.
（2）①联立一次函数，反比例函数解析式可得另一个交点的横坐标为6，再将x=6代入一次函数解析式即可求出答案；
②当反比例函数图象在一次函数图象上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
（3）画出图象，则当直线y=x+t经过点C时，t取最大值，当直线y=x+t经过点A时，t取最小值，将点A，C坐标分别代入解析式即可求出答案.
23．【答案】（1）证明：如图，连接OG，
则，
∴，
当点M与圆心O重合时，CD是的直径，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
即，
∵OG是的半径，
∴PG是的切线
（2）解：如图，过点F作，垂足为H，则，
∵点F为BC的中点，
∴FH是的中位线，
∴，
∵AB是的直径，弦，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
（3）解：如图，当点M在圆心O的左侧时，，连接CO，
∵点F为BC的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∴.
在中，点F为BC的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形
∴，
∴，
∴；
如图，当点M在圆心O的右侧时，，，
∵点F为BC的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
在中，点F为BC的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴.
综上所述，的正切值为或
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的判定；相似三角形的判定；求特殊角的三角函数值；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接OG，根据等边对等角可得，根据圆周角定理可得，即，再根据角之间的关系可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）过点F作，垂足为H，则，根据三角形中位线定理可得，再根据垂径定理可得，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，化简即可求出答案.
（3）分情况讨论：当点M在圆心O的左侧时，，连接CO，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据特殊角的三角函数值即可求出答案；当点M在圆心O的右侧时，，，根据角之间的关系可得，则，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，即，再根据特殊角的三角函数值即可求出答案；
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