第5讲 一次方程（组）及其应用 课件 (共31张PPT)2025年中考数学一轮专题复习

(共31张PPT)
第一部分 系统复习 成绩基石
第二章 方程（组）与不等式（组）
第5讲 一次方程（组）及其应用
理考点·练基础
多维设问·练重难
聚焦河南·精练命题点
考点一 等式的性质
文字描述 式子表达
性质1 等式两边都加上或减去①____________ __________,结果仍是等式 若,则 ______
性质2 等式两边都乘或除以同一个不为0的数, 结果仍是③______ 若,则,
同一个数（或整式）
等式
1.根据等式的性质填空.
（1）如果，那么___ ;
（2）如果，那么 _____;
（3）如果，那么 ____;
（4）如果，那么 ___.
2
5
考点二 一元一次方程的有关概念
方程 含有①________的等式叫做方程
方程的解 使方程②______________的未知数的值,叫做方程的解
一元一次方程 只含有③____个未知数,并且未知数的次数是④___的⑤_______
___,叫做一元一次方程
解一元一次方程 的步骤 （1）去分母：注意不要漏乘不含分母的项；（2）去括号：注
意括号前是负号时，去括号后括号内各项均要变号；（3）移
项：注意移项要变号；（4）合并同类项；（5）系数化为1
未知数
左右两边相等
一
1
整式方程
2.已知是关于 的一元一次方程：
（1）求 的值；
解：根据一元一次方程的定义可知，， ，
解得 .
（2）请写出这个方程；
解：将 代入方程，得
.
（3）请解这个一元一次方程.
解：将 代入原方程，得
，解得 .
考点三 二元一次方程（组）及其解法（10年1考）
二元一次方程 含有①____个未知数,且所含未知数的项的次数都是②___
的整式方程,叫做二元一次方程
二元一次方程组 共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫
做二元一次方程组
二元一次方程组的解 一般地，二元一次方程组的两个方程的③________，叫
做二元一次方程组的解
两
1
公共解
解二元 一次方 程组 基本思想 消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程.主要有
代入消元法和加减消元法
代入消元法 当方程组中一个方程的常数项为0或某一个未知数的系数
是1或 时，选择代入消元法较为简单
加减消元法 （1）当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数
时，采用加减消元法较为简单；
（2）当系数不同也不互为相反数时，可通过找系数的最
小公倍数，将系数变相同或互为相反数，再采用加减消元
法求解
续表
3.下列方程是二元一次方程的是( )
B
A. B. C. D.
4.在中，是方程 的解的为____（填序号，下同）;
是方程的解的为____；方程组 采用代入消元法较为简单，
其解为____.
②
①
②
考点四 一次方程（组）的应用（10年3考）
1.列方程（组）解应用题的一般步骤
审 审清题意,分清题中的已知量、未知量
设 设出关键未知数
列 找出题干中的等量关系,列方程（组）
解 解方程（组）
验 检验所解答案是否正确和是否符合题意
答 规范作答,注意单位名称
2.一次方程（组）实际应用的常见类型
类型 解题关键 利润问题 售价标价×折扣,销售额售价×销量,利润 售价-成本,利润率 行程问题 相遇问题 全路程甲走的路程 乙走的路程
追及问题 （1）甲速度 乙速度，同地不同时:甲的时间 乙
的时间-时间差，甲的路程 乙的路程；
（2）甲速度 乙速度，同时不同地:甲的时间 乙
的时间，甲的路程-乙的路程 距离差
工程问题 工作量 工作效率×工作时间 古代数学 文化 读懂题意,从中提炼出等量关系 5. 某商场销售一批羽绒服,每件服装标价为 元.
（1）张老师按照标价购买了2件羽绒服，则张老师花费了____元;
（2）天气渐暖，该商场换季促销,对该服装进行降价促销处理,若第一次降价打“九
折”，则打折后的售价是______元，第二次在打折后的售价上每件又减15元,则第二
次降价后的售价是____________元;
（3）该服装一件的进价为300元,若按标价的八折销售,则售价为______元,仍可获利
,则可列方程_____________________；
（4）该服装一件的进价为300元，若按标价进行销售，获利 ，那么该服装的标
价 为_____元.
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一次方程（组）的实际应用
例 小李妈妈在某商场购买，两种商品，两次购买, 两种的价格如
下表.（两次购买价格不变）
购买 商品的数量 购买 商品的数量 购买总费用
第一次 6 5 980
第二次 3 7 940
设问1： 求， 商品的标价各多少元？
解：设商品的标价为元，商品的标价为 元.
由题意，得解得
答：商品的标价为80元， 商品的标价为100元.
设问2： 第三次购买时，恰好周年庆搞促销，， 两种商品同时打折且折扣相同，
下图表格是小李妈妈购买, 两种商品的数量和费用，则商场是打几折出售这两种
商品？
购买 商品的数量 购买 商品的数量 购买总费用
第三次 9 8 912
解：设商场是打 折出售这两种商品.
由题意，得 ，
解得 .
答：商场是打6折出售这两种商品.
设问3： 在（2）的条件下打折，若小李妈妈第四次购买， 商品共花去960元，
则小李妈妈购买方案可能有哪几种？
解:设可以购买商品件，商品 件.
由题意，得 ，
.又， 均为正整数，
或或
共有3种购买方案.
方案1：购买商品15件，商品4件；方案2：购买商品10件， 商品8件；方案3：
购买商品5件， 商品12件.
设问4： 周末，小李妈妈和小李一块去超市采购食材.小李跟妈妈说：“我买一斤车
厘子的钱可以买三斤荔枝了.”妈妈说：“我用126元买了两斤车厘子和一斤荔枝.”请
根据小李和妈妈的对话，求出车厘子和荔枝的单价.
解：设车厘子的单价是元/斤，荔枝的单价是 元/斤.
由题意，得解得
答：车厘子的单价是54元/斤，荔枝的单价是18元/斤.
设问5： 小李和小李妈妈回家时经过新开的一家奶茶店购买饮品，她发现该店里的
一种饮品分大杯和小杯两种，大杯饮品比小杯饮品每杯单价贵3元.小李算了一下，她
手里的零花钱刚好能买3个大杯饮品或4个小杯饮品，请问小李手中共有多少零花钱.
解：设小李手中共有 元零花钱.
由题意，得，解得 .
答：小李手中共有36元零花钱.
一次方程（组）的解法（10年1考）
1.（2023河南12题3分）方程组 的解为_ _______.
2.解方程：
（1） （代入法）；
解：由②，得 .③
把③代入①，得 .
解得 .
把代入③，得 .
所以原方程组的解是
（2） （加减法）.
解：由，得，解得 .
把代入②，得，解得 .
所以原方程组的解是
一次方程（组）的应用（10年3考）
3.（2018河南6题3分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；
人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5
钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数
为人，羊价为 钱，根据题意，可列方程组为( )
A
A. B. C. D.
4.（2019河南20题9分）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品.已知购买3个
奖品和2个奖品共需120元；购买5个奖品和4个 奖品共需210元.
（1）求， 两种奖品的单价；
解：设奖品的单价为元，奖品的单价为 元.
根据题意，得解得
答：奖品的单价为30元， 奖品的单价为15元.
（2）学校准备购买，两种奖品共30个，且奖品的数量不少于奖品数量的 .请
设计出最省钱的购买方案，并说明理由.
解：设购买奖品个，则购买奖品个，购买奖品的花费为 元.
由题意可知，， .
，
当时， 有最小值为570元，
即购买奖品8个， 奖品22个，花费最少.
一水果批发商用410元钱从水果批发市场批发了橙子70千克和香蕉30千
克，橙子和香蕉这天的批发价与零售价如表所示：
品名 橙子 香蕉
批发价（元/千克）
零售价（元/千克） 8 3
其中橙子的批发价比香蕉的批发价多3元.
（1）求、 的值；
解：根据题意，得解得
（2）批发商当天卖完这批橙子和香蕉共能赚多少钱？
解： （元），
答：批发商当天卖完这批橙子和香蕉共能赚240元.
（3）如果当橙子和香蕉总数量卖出一半后，剩下的按零售价打八折出售，最终当
天赚180元.求打折后卖出橙子和香蕉各多少千克.
解： （千克），
设打折后卖出橙子千克，则打折后卖出香蕉 千克.
根据题意，得
，
解得 .
.
答：打折后卖出橙子30千克，香蕉20千克.
5.数学文化 （2024宜宾中考）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一
道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马
几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，
问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是( )
D
A.5天 B.10天 C.15天 D.20天
6.新定义型运算题 （2023武汉中考）皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，
它揭示了以格点为顶点的多边形的面积，其中， 分别表示这个多
边形内部与边界上的格点个数，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为
格点.已知，，，则 内部的格点个数是( )
C
A.266 B.270 C.271 D.285
7.（2024北京中考）为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国
全面实施汽车国六排放标准 阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要
求类物质排放量不超过，，两类物质排放量之和不超过 .
已知该型号某汽车的，两类物质排放量之和原为 .经过一次技术改进，
该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了，， 两类物质
排放量之和为.判断这次技术改进后该汽车的 类物质排放量是否符合“标
准”，并说明理由.
解：这次技术改进后该汽车的 类物质排放量符合“标准”，理由如下：
设该汽车的类物质排放量为，则该汽车的 类物质排放量为
.
根据题意，得，解得 .
这次技术改进后该汽车的类物质排放量 ，
“标准”要求类物质排放量不超过 ，
这次技术改进后该汽车的 类物质排放量符合“标准”.