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第一部分 系统复习 成绩基石
第二章 方程(组)与不等式(组)
第6讲 一元二次方程及其应用
理考点·练基础
多维设问·练重难
聚焦河南·精练命题点
考点一 一元二次方程的概念及其解法(10年9考)
1.一元二次方程的概念及一般形式
概念 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程,叫做一元二
次方程
一般形式 ①_________________,,是常数且 ,任何一个一元二次方程都
能化成它的一般形式
2.一元二次方程的解法
直接开 平方法 (1)当方程缺少一次项时,即方程 ;
(2)形如 的方程.
注:开方后所取数字前记得加“ ”号
因式分 解法 步骤:(1)将方程的右边各项移到左边,使右边为0;
(2)将方程左边分解为两个一次因式的积;
(3)令每个因式为0,得到两个一元一次方程;
(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解
配方法 适用 题型 (1)二次项系数化为1后,一次项系数是偶数的一元二次方
程;
(2)各项的系数比较小且便于配方的情况
解答 步骤 (1)化二次项系数为1;
(2)将含未知数的项保留在方程左边,常数项移到方程右边;
(3)两边同时加上一次项系数②______的平方;
(4)将方程化成 的形式;
(5)若 ,则可以运用直接开平方法求出方程的解;若
,则原方程无解
一半
续表
公式法 适用 题型 适用于所有一元二次方程,在运用此方法求解时,应先将一
元二次方程化为一般式,, 为常数,
,求根公式是③_ ______________
解答 步骤 (1)将方程化为一元二次方程的一般形式,确定,, 的值,求
出 的值;
(2)若 ,则运用求根公式,求出方程的解;若
,则原方程无解
续表
1.若关于的方程是一元二次方程,则 的值为____,将此
方程化为一般形式为__________________,其二次项系数为____,一次项系数为___,
常数项为___.
5
2
2.用适当的方法解下列方程:
(1)
解:两边开平方,得 .
, .
(2)
解:移项,得 .
配方,得 .
,
, .
(3)
解:方程化为 .
因式分解,得 .
或 ,
, .
(4)
解:因式分解,得 .
或 ,
, .
(5)
解:移项,得 .
或 ,
, .
考点二 根与判别式、系数的关系(10年10考)
判别式与根 的关系 关于 的一元二次方程 的根的判别式为 __________,注意隐含条件 方程有②____________的实数
根
方程有③__________的实数根
方程④______实数根,无解
根与系数的 关系 若,是一元二次方程 的两个根,那么 _ ____, __
两个不相等
两个相等
没有
3.不解方程,判断下列方程根的情况:
(1) ;
解: ,
方程有两个不相等的实数根.
(2) ;
解:方程化为一般式为 .
,
方程有两个相等的实数根.
(3) .
解:方程化为一般式为 .
,
方程没有实数根.
4.已知方程的一个根是,则方程的另一个根 的值为___,
的值为___.
2
2
考点三 一元二次方程的实际应用(10年1考)
1.解答步骤:列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程解应用题的步骤完
全一样,共分审、设、列、解、验、答六步.
2.常见类型
(1)增长率问题:①增长率 ;
②设为原来的量,为平均增长率,为增长次数,为增长后的量,则 ;
当为平均下降率,为下降次数, 为下降后的量时,有①_______________.
(2)面积问题
①如图1,设空白部分的宽为,则;
②如图2,设空白部分的宽为,则;
③如图3,设阴影部分的宽为,则;
④如图4,设阴影部分的宽为,则.
5.(1)某产品原来每件600元,由于连续两次降价,现价为每件384元,如果两次
降价率相同,则每次降价率为______.
(2)某校九年级组织一次篮球赛,各班均组队参赛,赛制为单循环形式
(每两班之间都赛一场),共需安排15场比赛,则九年级班级的个数为___.
(3)直角三角形的三边长是连续偶数,则三边长分别是__________.
6
6,8,10
(4)某校“研学”活动小组在一次野外实践时,发现一种植物的1个主干上长出 个
枝干,每个枝干上再长出 个小分支.若在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量
之和是31个,则 等于___.
5
一元二次方程的实际应用
例 某商场销售将售出一种新型的空调扇,5月的销售量为200台,6,7
月的销售量持续增加,在售价不变的基础上,7月的销售量达到了288台,若6,7月
的销售量月平均增长率不变.
设问1: 求6,7月的月平均增长率.
解:设6,7月的月平均增长率为 .
由题意,得 ,
解得, (不合题意,舍去).
答:6,7月的月平均增长率为 .
设问2: 若这批空调扇平均每天售出30台,每台可盈利120元,为了扩大销售量,
增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每台
降价10元,商场平均每天可多售出2台.在尽快减少库存的前提下,商场每天要盈利
4 050元,每台空调扇应降价多少元?
解:设每台空调扇应降价元,则每台盈利 元,每天可以售出
台.
由题意,得 ,
解得 .
答:每台空调扇应降价30元.
设问3: 炎热夏季是销售空调扇的最佳时期,商场负责人决定
在商场附近举行产品营销活动.在商场门口广场上围一个长
,宽 的矩形作活动场地,如图,在该场地中铺上三块
宽度相同的红毯(两条纵向,一条横向,横向与纵向互相垂
直),把活动场地分成大小不等的六块场地分别作为不同商品
的展位,要使所有展位的面积为144平方米,则红毯多宽
解:设红毯的宽度为 .
由题意,得 ,
解得, (舍去).
答:红毯的宽度为 .
设问4: 在现场的人们,朋友圈发该商场的促销信息可免费获取一台空调扇一个月
的体验卡,要求将促销信息发在自己的微信朋友圈上,再邀请 个好友转发该信息,
每个好友转发该信息后,又邀请 个互不相同的好友转发该信息.若经过两轮后,共
有381个人参与了该信息的传播活动,求 的值.
解:由题意,得 ,
解得(不符合题意,舍去), ,
即 .
解一元二次方程(10年9考)
1.用配方法解方程 时,配方后正确的是( )
B
A. B. C. D.
利用公式法可得一元二次方程式的两解为、 ,且
,求 值为( )
D
A. B. C. D.
一元二次方程根的判别式(10年8考)
2.(2023河南7题3分)关于的一元二次方程 的根的情况是( )
A
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
3.(2022河南6题3分)一元二次方程 的根的情况是( )
A
A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根
C.有两个相等的实数根 D.只有一个实数根
若,关于的一元二次方程 根的情况是( )
A
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.不确定
4.(2021河南7题3分)若方程没有实数根,则 的值可以是( )
D
A. B.0 C.1 D.
5.新定义 (2020河南7题3分)定义运算:☆ .例如:4☆
,则方程1☆ 的根的情况为( )
A
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.无实数根 D.只有一个实数根
6.(2024河南13题3分)若关于的方程有两个相等的实数根,则
的值为__.
一元二次方程的实际应用(10年1考)
7.(2020河南8题3分)国家统计局统计数据显示,我国快递业务收入逐年增加.2017
年至2019年我国快递业务收入由5 000亿元增加到7 500亿元.设我国2017年至2019
年快递业务收入的年平均增长率为 ,则可列方程为( )
C
A.
B.
C.
D.
8.(2024赤峰中考)等腰三角形的两边长分别是方程 的两个根,
则这个三角形的周长为( )
C
A.17或13 B.13或21 C.17 D.13
[解析] ,,解得, ,当等腰三
角形的边长是3、3、7时, ,不符合三角形的三边关系,应舍去;当等腰
三角形的边长是7、7、3时,这个三角形的周长是 .
9.(2024绥化中考)小影与小冬一起写作业,在解一道一元二次方程时,小影在化
简过程中写错了常数项,因而得到方程的两个根是6和1;小冬在化简过程中写错了
一次项的系数,因而得到方程的两个根是和 .则原来的方程是( )
B
A. B. C. D.