北师大版2024-2025学年六年级数学下册第一单元《圆柱与圆锥》(填空题十四大题型)单元复习讲义(学生版+教师版)

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名称 北师大版2024-2025学年六年级数学下册第一单元《圆柱与圆锥》(填空题十四大题型)单元复习讲义(学生版+教师版)
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文件大小 5.4MB
资源类型 试卷
版本资源 北师大版
科目 数学
更新时间 2025-03-06 09:58:26

文档简介

1.点、线、面、体之间的关系
点、线、面、体之间的关系:点动成线,线动成面,面动成体。
2.圆柱与圆锥的特征
方式 圆柱 圆锥
看一看
滚一滚 曲面接触桌面,滚动茶叶盒,其滚动方向不会变,说明圆柱是粗细均匀的 曲面接触桌面,滚动纸筒,其绕尖端转圈
剪一剪
切一切
3.圆柱与圆锥的各部分名称以及高的测量
(1)圆柱与圆锥的各部分名称
圆柱 圆锥
底面 围成圆柱的上、下两个圆面 围成圆锥的圆面
侧面 围成圆柱的曲面 围成圆锥的曲面
高 两个底面之间的距离是圆柱的高,圆柱有无数条高 顶点与底面圆心的距离是圆锥的高,圆锥只有一条高
(2)圆柱与圆锥高的测量
1.圆柱的侧面积和表面积的计算方法
(1)圆柱的表面是由两个底面和一个侧面组成的,求圆柱的表面积就是求两个底面和一个侧面的面积之和。
(2)将圆柱的侧面沿高展开后是一个长方形,长方形的长是圆柱的底面周长,宽是圆柱的高。
(3)圆柱侧面积的计算方法:圆柱的侧面积=底面周长x高,用字母表示: S侧=Ch或 S侧=2rh。
(4)圆柱表面积的计算方法:圆柱的表面积=侧面积+底面积x2,用字母表示: S表=S侧+2S底或S表=Ch+2r2。
2.圆柱表面积计算公式的实际应用
(1)在解决此类问题时,注意不是所有的圆柱形物体都有两个底面,有的只有一个底面,有的没有底面,要根据实际情况求表面积。
(2)解决实际问题时,如果题中没有直接给出公式中需要的数据,要根据已知数据求出所需要的数据,然后根据公式进行计算。
1.圆柱体积的意义和计算方法
(1)一个圆柱所占空间的大小就是这个圆柱的体积。
(2)圆柱体积的计算公式: 圆柱的体积=底面积x高。已知圆柱的底面积S和圆柱的高h,则圆柱的体积V=Sh。
2.运用圆柱体积的计算公式解决实际问题
3.已知底面周长和高,求圆柱的体积
计算圆柱体积的基本方法
(1)已知圆柱的底面积S和高h,用公式V圆柱=Sh计算。
(2)已知圆柱的底面半径r和高h,用公式V圆柱=r2h计算。
(3)已知圆柱的底面直径d和高h,用公式V圆柱=(d÷2)2h计算。
(4)已知圆柱的底面周长C和高h,用公式V圆柱=(C÷÷2)2h计算。
计算圆柱体积时,要根据不同的数据灵活选择不同的公式。已知公式中的任意两个量,都可以求出第三个量。
1.圆锥体积计算公式的推导
圆柱的体积等于和它等底等高的圆锥的体积的3倍,也就是说,圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱的体积的。因为圆柱的体积=底面积x高,所以和它等底等高的圆锥的体积=底面积x高x。如果用V表示圆锥的体积,S表示底面积,h表示高,那么圆锥体积的计算公式为V=Sh。
2.圆锥体积计算公式的应用
计算圆锥体积的基本方法:
(1)已知圆锥底面积S和高h,用公式V圆锥=Sh计算。
(2)已知圆锥底面半径r和高h,用公式V圆锥=r2h计算。
(3)已知圆锥底面直径d和高h,用公式V圆锥=h计算。
(4)已知圆锥底面周长C和高h,用公式V圆锥=h计算。
易错知识点01:圆柱的基本特征
易错点:混淆圆柱的底面与侧面。需明确圆柱有两个底面,是两个大小相同的圆;侧面是一个曲面。
圆柱的高:两个底面间的距离叫做圆柱的高,圆柱有无数条高且长度相等。
易错知识点02:圆柱的侧面积
公式:S侧=Ch或S侧=πdh或S侧=2πrh(C为底面周长,d为底面直径,r为底面半径,h为高)。
易错点:计算时不注意单位统一,或错误地使用底面直径或半径计算侧面积。
易错知识点03:圆柱的表面积
公式:S表=S侧+2S底=2πrh+2πr (S侧为侧面积,S底为底面积)。
易错点:忽视圆柱体的实际应用情况,如计算无盖水桶的表面积时,只计算一个底面和侧面的面积之和。
易错知识点04:圆柱的体积
公式:V=Sh或V=πr h(S为底面积,h为高)。
易错点:在计算过程中,容易混淆底面积和高,导致计算结果错误。
易错知识点05:圆锥的基本特征
易错点:混淆圆锥的底面与侧面,以及圆锥的高。需明确圆锥有一个底面,是一个圆;侧面是一个曲面;圆锥的高是从顶点到底面圆心的距离,圆锥只有一条高。
易错知识点06:圆锥的体积
公式:V=(1/3)Sh或V=(1/3)πr h(S为底面积,h为高)。
易错点:在计算圆锥体积时,容易忘记乘以(1/3),导致计算结果错误。
易错知识点07:圆锥的高的测量
方法:把圆锥放在水平面上,在圆锥的顶点上放一个平面的东西(如木板),并与底面平行,测量这两个平面间的距离,即为圆锥的高。
易错点:测量时不注意保持圆锥和水平面的稳定,导致测量结果不准确。
易错知识点08: 圆柱与圆锥的关系
易错点:只有在等底等高的条件下,圆柱的体积才是圆锥体积的3倍,圆锥的体积才是圆柱体积的(1/3)。忽视这一条件,容易导致错误判断。
易错知识点09:实际问题的求解
易错点:在解决实际问题时,容易忽视题目中的实际情况,如计算圆柱形物体的表面积时,需要根据物体的具体形状(如是否有盖、是否空心等)来确定计算哪些面的面积。
【考点精讲1】 (23-24六年级上·河北邯郸·期中)圆柱的每个底面是( )的两个( )。
【答案】 相同 圆
【分析】根据圆柱的特征和侧面展开图的特点:圆柱的上下底面是完全相同的两个圆,侧面是一个曲面,侧面沿高展开是一个长方形,这个长方形的长等于圆柱的底面周长,宽等于圆柱的高;两个底面之间的距离叫圆柱的高,由此解答即可。
【详解】如图:
圆柱的每个底面是相同的两个圆。
【考点精讲2】(23-24六年级下·广东深圳·期中)如下图所示,若以此三角形的短边为轴旋转一周,可以得到一个( ),它的底面直径是( ) cm,高是( )cm。
【答案】 圆锥 8 2
【分析】以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周可以得到一个圆锥;在此题中,是以短边为轴旋转,则短边的长就是圆锥的底面半径,高为另一条直角边长度,据此解答。
【详解】以此三角形的短边为轴旋转一周,可以得到一个圆锥,它的底面直径是4×2=8(cm),高是2cm。
所以,以三角形的短边为轴旋转一周,可以得到一个圆锥,它的底面直径是8cm,高是2cm。
【考点精讲3】(23-24六年级下·陕西咸阳·期中)将如图的长方形绕直线l旋转一周,得到的图形是( ),它的底面直径是( )cm,高是( )cm。
【答案】 圆柱 4 5
【分析】根据题意,将一个长方形绕着长所在的直线旋转一周,得到一个圆柱体,那么这个圆柱的底面半径等于长方形的宽,圆柱的高等于长方形的长。
【详解】底面直径:2×2=4(cm)
长方形绕直线l旋转一周,得到的图形是圆柱,它的底面直径是4cm,高是5cm。
【考点精讲4】(23-24六年级下·陕西西安·期中)把一张长方形的铁皮按下图裁剪,正好做成一个圆柱,这个圆柱的高是( )厘米。
【答案】12
【分析】由图可知,该圆柱的形状为圆柱体,24.84厘米是圆柱形的底面周长与底面直径的和,设底面直径为x厘米,则可依据此关系列方程,求出底面半径。然后根据圆柱的高是底面直径的2倍,求出高。
【详解】解:设底面直径为x厘米。
3.14x+x=24.84
4.14x=24.84
4.14x÷4.14=24.84÷4.14
x=6
6×2=12(厘米)
这个圆柱的高是12厘米。
【考点精讲5】(23-24六年级下·广东湛江·期中)制作20节底面半径为5cm,长为4m的圆柱形通风管,至少要用( )的铁皮。
【答案】25.12m2
【分析】因为圆柱形通风管没有底面,所以求铁皮的面积就是求圆柱的侧面积。
根据公式S侧=2πrh,求出圆柱的侧面积,再乘20,即是制作20节这样的圆柱形通风管至少要用铁皮的面积。注意单位的换算:1m=100cm。
【详解】5cm=0.05m
2×3.14×0.05×4×20
=0.314×4×20
=1.256×20
=25.12(m2)
至少要用25.12m2的铁皮。
【考点精讲6】(23-24六年级下·广东深圳·期中)市民中心广场开设了一个儿童区,现有5个相同的圆柱形石墩需要装饰,已知一个石墩的底面半径是20cm,高是50cm,石墩的上面和侧面都需要装饰,一共需要买( )m2的装饰画。
【答案】3.768
【分析】根据题意,圆柱形石墩的上面和侧面都需要装饰,则一个石墩需装饰的面积=圆柱的侧面积+圆柱的一个底面积,根据S侧=2πrh,S底=πr2,代入数据计算求出一个石墩需装饰的面积,再乘5,即是5个石墩需装饰的面积。注意单位的换算:1m2=10000cm2。
【详解】2×3.14×20×50+3.14×202
=125.6×50+3.14×400
=6280+1256
=7536(cm2)
7536×5=37680(cm2)
37680cm2=3.768m2
一共需要买3.768m2的装饰画。
【考点精讲7】(23-24六年级下·山西吕梁·期中)一个圆柱高是8cm,如果它的高减少2cm,侧面积就减少25.12cm2,原来这个圆柱的体积是( )cm3。
【答案】100.48
【分析】表面积减少的是高为2cm圆柱体的侧面积,因为圆柱体的侧面展开是长方形,长方形的长等于圆柱体的底面周长,根据圆柱的侧面积公式:侧面积=底面周长×高,底面周长=侧面积÷高,用减少的面积除以减少的高就可求出圆柱体的底面周长,再根据圆的周长公式:周长=π×半径×2,半径=周长÷π÷2,代入数据,求出圆柱的底面半径,然后利用圆柱体的体积公式:体积=底面积×高,代入数据,即可解答。
【详解】25.12÷2=12.56(cm)
12.56÷3.14÷2
=4÷2
=2(cm)
3.14×22×8
=3.14×4×8
=12.56×8
=100.48(cm3)
一个圆柱高是8cm,如果它的高减少2cm,侧面积就减少25.12cm2,原来这个圆柱的体积是100.48cm3。
【考点精讲8】(22-23六年级下·广东揭阳·期中)修一个底面周长是25.12米,深是3米的圆柱形蓄水池,这个蓄水池的占地面积是( )平方米,它最多能蓄水( )立方米。
【答案】 50.24 150.72
【分析】已知圆柱形蓄水池的底面周长是25.12米,根据圆的周长公式C=2πr可知,r=C÷π÷2,由此求出圆柱的底面半径;
然后根据圆的面积公式S=πr2,求出圆柱的底面积,也就是这个蓄水池的占地面积;
再根据圆柱的体积(容积)公式V=Sh,求出这个蓄水池的蓄水量。
【详解】圆柱的底面半径:
25.12÷3.14÷2
=8÷2
=4(米)
占地面积:
3.14×42
=3.14×16
=50.24(平方米)
蓄水量:50.24×3=150.72(立方米)
这个蓄水池的占地面积是50.24平方米,它最多能蓄水150.72立方米。
【考点精讲9】(23-24六年级下·福建南平·期中)把高为8cm的圆柱按下图切开,拼成近似的长方体,表面积增加了32cm2,圆柱的体积是( )cm3。
【答案】100.48
【分析】把高为8cm的圆柱按下图切开,拼成近似的长方体。由图可知,表面积增加的部分是长为8cm,宽是圆柱底面半径的2个长方形的面积。用32除以2就得到一个长方形的面积,再用长方形的面积除以长等于宽,即圆柱底面半径。再根据圆柱体积=,求出圆柱体积。
【详解】32÷2÷8
=16÷8
=2(cm)
=3.14×4×8
=12.56×8
=100.48(cm3)
所以,这个圆柱体积是100.48 cm3。
【考点精讲10】(23-24六年级下·陕西宝鸡·期末)一个圆锥体积是18dm3,圆锥高6dm,圆锥的底面积是( )dm2。
【答案】9
【分析】根据圆锥的体积公式:体积=底面积×高×,底面积=体积÷高÷,代入数据,即可解答。
【详解】18÷6÷
=3÷
=3×3
=9(dm2)
一个圆锥体积是18dm3,圆锥高6dm,圆锥的底面积是9dm2。
【考点精讲11】(23-24六年级下·广东深圳·期中)一个圆柱的底面直径是8cm,高是9cm,这个圆柱的侧面积是( )cm2,表面积是( )cm2,体积是( )cm3,和它等底等高的圆锥体积是( )cm3。
【答案】 226.08 326.56 452.16 150.72
【分析】将数据代入圆柱的侧面积公式:S=πdh,圆柱的表面积公式:S=S侧+2S底,S底=πr2及圆柱的体积公式:V=πr2h,求出这个圆柱的侧面积、表面积、体积;它等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍,用圆柱的体积÷3即可求出和它等底等高的圆锥体积;据此解答。
【详解】3.14×8×9=226.08(cm2)
226.08+3.14×(8÷2)2×2
=226.08+3.14×42×2
=226.08+3.14×16×2
=226.08+100.48
=326.56(cm2)
3.14×(8÷2)2×9
=3.14×42×9
=3.14×16×9
=452.16(cm3)
452.16÷3=150.72(cm3)
这个圆柱的侧面积是226.08cm2,表面积是326.56cm2,体积是452.16cm3,和它等底等高的圆锥体积是150.72cm3。
【考点精讲12】(23-24六年级下·陕西咸阳·期中)如图,将等底等高的圆柱和圆锥形铁块同时放入盛有水的容器中,水面由原来的600mL上升到800mL。放进去的圆柱的体积是( )cm3,圆锥的体积是( )cm3。
【答案】 150 50
【分析】800mL=800 cm3,600mL=600 cm3。由题意可知:等底等高的圆柱和圆锥的体积和是800-600=200 cm3,而等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍。根据和倍公式和÷(倍+1)求出圆锥的体积,再用圆锥的体积乘3求出圆柱的体积;据此解答。
【详解】800mL=800cm3,600mL=600cm3
800-600=200(cm3)
200÷(3+1)
=200÷4
=50(cm3)
50×3=150(cm3)
放进去的圆柱的体积是150cm3,圆锥的体积是50cm3。
【考点精讲13】(23-24六年级下·陕西宝鸡·期中)有两个等底的圆柱和圆锥形空瓶容器,圆锥形瓶子高12厘米,底面直径10厘米。在圆锥形瓶子中加满水,再把水倒入圆柱形容器里,则圆柱形容器里的水深( )厘米。
【答案】4
【分析】根据圆锥体积=底面积×高÷3,先求出圆锥形瓶子的容积,再根据圆柱的高=体积÷底面积,求出圆柱形容器里的水深。
【详解】3.14×(10÷2)2×12÷3
=3.14×52×12÷3
=3.14×25×12÷3
=314(立方厘米)
314÷[3.14×(10÷2)2]
=314÷[3.14×52]
=314÷[3.14×25]
=314÷78.5
=4(厘米)
圆柱形容器里的水深4厘米。
【考点精讲14】(22-23六年级下·广东揭阳·期末)把一个圆锥沿高垂直切开后,表面积增加了72平方厘米,而且切面是一个等腰直角三角形,这个圆锥的体积是( )。
【答案】226.08立方厘米/226.08cm3
【分析】圆锥沿高切开,会增加两个切面的面积,由于增加了72平方厘米,则一个切面的面积是72÷2=36(平方厘米),这个等腰直角三角形以斜边为底,则它的底是圆锥的底面直径,高是圆锥的高,由于这是一个等腰直角三角形,等腰直角三角形的底是高的2倍,可以设高是r厘米,则底是2r厘米,根据三角形的面积公式:底×高÷2,即2r×r÷2=36,据此即可求出r2=36,由此即可知道r=6,根据圆锥的体积公式:V=πr2h×,把数代入公式即可求解。
【详解】72÷2=36(平方厘米)
设圆锥的底面半径是r厘米,则高也是r厘米。
2r×r÷2=36
r2=36
r=6
体积:3.14×62×6×=226.08(立方厘米)
所以圆锥的体积是226.08立方厘米。
【点睛】本题主要考查圆锥的体积公式,关键是要清楚等腰直角三角形以斜边为底,那么它的长度是斜边上的高的2倍。
一、填空题
1.(23-24六年级下·陕西榆林·期中)一个圆柱的底面周长是12.56分米,高是0.6米,表面积是( )平方分米。
2.(23-24六年级下·广东深圳·期中)乐乐家把收获的稻谷堆成了高2.4m,底面直径为4m的圆锥形,一共收获了( )m3的稻谷。
3.(23-24六年级下·陕西咸阳·期中)泾阳茯砖茶的外形规格整齐,色泽黑褐,金花显露,是六大茶类中黑茶的特色产品。某厂家要给底面半径是10cm,高是30cm的圆柱形茯砖茶包装盒的侧面贴一圈商标纸,贴一个这样的包装盒至少需要( )cm2商标纸。
4.(22-23六年级下·山西运城·期中)把一个棱长是8分米的正方体钢胚锻造成一个高是16分米的圆柱形钢体,则这个圆柱形钢体的底面积是( )平方分米。
5.(22-23六年级下·广东揭阳·期中)一个圆柱的底面半径是3厘米,高是4厘米,它的侧面积是( )平方厘米;一个圆锥的底面直径是4分米,高是9分米,它的体积是( )立方分米。
6.(22-23六年级下·广东揭阳·期中)把一段圆柱形钢材切削成一个最大的圆锥体,切削掉的部分重12kg,这段圆柱形钢材原来重( )kg。
7.(22-23六年级下·广东揭阳·期中)把一个长8m的圆柱截成4个小圆柱,表面积比原来增加了,这个圆柱原来的体积是( )。
8.(22-23六年级下·广东揭阳·期中)把一个圆柱削成一个最大的圆锥,体积减少了12dm3,那么圆锥的体积是( );若圆锥的高是5dm,它的底面积是( )dm2。
9.(23-24六年级下·山西吕梁·期中)如图,在推导圆柱的体积时,利用切割圆柱拼接成长方体,运用了“转化”思想。已知这个长方体的宽为5cm,高为12cm,那么这个长方体的长是( )cm。这个圆柱的表面积是( )cm。
10.(23-24六年级下·山西吕梁·期中)底面直径是10厘米的圆柱形鱼缸里盛了一些水,水里养了一条鱼(如下图)。如果把鱼捉出来,水面下降到8厘米,这条鱼的体积是( )立方厘米。
11.(23-24六年级下·山西吕梁·期中)一根圆柱形木料,底面直径10厘米,长1.2米。截成3个大小不同的圆柱后,表面积增加了( )平方厘米,这个圆柱形木料的体积是( )立方厘米。
12.(23-24六年级下·山西吕梁·期中)一个圆柱和圆锥的底面积相等,高也相等。圆柱的体积是18.84立方分米,圆锥的体积比它少了( )立方分米。
13.(23-24六年级下·甘肃白银·期中)把一个体积54立方米的圆柱削成最大的圆锥,削去的体积是( )立方米,圆锥的体积是( )立方米。
14.(23-24六年级下·甘肃白银·期中)如果把一个圆柱的高截短3cm,表面积就减少了94.2cm2这个圆柱的底面积是( )cm2,如果这个圆柱高5cm,体积是( )cm3。
15.(23-24六年级下·甘肃白银·期中)一个圆柱和一个圆锥体积相等,底面积也相等,圆柱的高是4cm,圆锥的高是( )cm。
16.(23-24六年级下·广东深圳·期中)一个装有水的圆柱形烧杯,底面直径是10cm,高是10cm。一块石头完全浸在水里,量得水深是9cm,将石头取出后,水深是7cm。这块石头的体积是( )cm3。
17.(23-24六年级下·广东深圳·期中)一个圆柱的底面积是5dm ,高是6dm,与它等底等高的圆锥的体积是( )dm 。
18.(23-24六年级下·广东深圳·期中)把一个棱长6分米的正方体钢锭熔铸成一个底面积是54平方分米的圆柱,圆柱的高是( )分米。
19.(23-24六年级下·陕西西安·期中)如图,以直角三角形的长直角边所在直线为轴旋转一周,可以得到一个( ),得到的这个图形的高是( )cm,底面半径是( )cm,体积是( )。
20.(23-24六年级下·广东湛江·期中)一个圆锥的底面积是12cm2,高是8cm,它的体积是( )cm3,与它等底等高的圆柱的体积是( )cm3。
21.(23-24六年级下·广东湛江·期中)把一块底面积是24cm2,高是3cm的圆柱形橡皮泥捏成同样底面大小的圆锥,圆锥的高是( )cm。如果把它捏成同样高的圆锥,圆锥的底面积是( )cm2。
22.(23-24六年级下·广东湛江·期中)把一根圆柱形木料削成一个最大的圆锥,削去部分的体积是原来圆柱体积的( ),是圆锥体积的( )。
23.(23-24六年级下·陕西榆林·期中)把一根长是80cm,底面半径是4cm的圆柱形木料,锯成长度都是20cm的4段,表面积会比原来增加( )。
24.(23-24六年级下·辽宁丹东·期中)(单位:厘米)以直角三角形的长直角边为轴旋转一周(如图)得到几何体是( ),体积是( )立方厘米。
25.(23-24六年级下·陕西西安·期中)如图,转动长方形ABCD得到圆柱I和Ⅱ。
(1)圆柱I是以( )边所在直线为轴旋转而成的,高是( )厘米;
(2)圆柱Ⅱ的底面积是( )平方厘米。
26.(2019·甘肃武威·小升初真题)把一根圆柱形木料截成3段,表面积比原来增加了45.12平方厘米,这根木料的底面积是( )平方厘米。
27.(23-24六年级下·陕西西安·期中)如图,将一个高为8cm的圆柱沿直径分割成若干等份,拼成一个近似的长方体。已知长方体的表面积比圆柱的表面积增加了32cm2,这个圆柱体的体积是( )cm3。
28.(23-24六年级下·陕西榆林·期中)把一块圆柱形木料削成一个最大的圆锥,如果圆柱的体积是15dm3,那么圆锥的体积是( )dm3;如果削去部分的体积是24dm3,那么削成圆锥的体积是( )dm3。
29.(23-24六年级下·陕西榆林·期中)一个圆锥和一个圆柱等底等高,它们的体积差是18立方厘米。圆柱的体积是( )立方厘米,圆锥的体积是( )立方厘米。
30.(23-24六年级下·陕西榆林·期中)一个从里面量底面周长是31.4厘米的圆柱形容器中装有水,把一个不规则铁块完全浸没在水中时(水未溢出),水面高度由原来的10厘米上升到13厘米,这个不规则铁块的体积是( )立方厘米。
31.(23-24六年级下·福建南平·期中)《九章算术》中记载的圆柱体积计算方法是“周自相乘,以高乘之,十二而一”, 也就是底面周长的平方乘高,再除以12,这种计算方法与现在的算法是一致的,只不过取圆周率的近似值为3,笑笑量得一个圆柱形水杯的底面周长是20厘米,高是12厘米。请用这种方法算一算这个水杯最多可盛水( )毫升。(水杯的厚度忽略不计)
32.(23-24六年级下·广东深圳·期中)把一根长100cm的圆柱形木料截成4个小圆柱,表面积增加了12cm2。这根圆柱形木料的底面积是( )cm2。
33.(23-24六年级下·广东深圳·期中)一个正方体木块的棱长是2dm,现在把它削成一个最大的圆柱。削成的圆柱的侧面积是( )dm2,削成的圆柱的体积占原来正方体体积的( )%。(π值取3)
34.(23-24六年级下·广东深圳·期中)一个高为8厘米的圆柱形容器装满了水,把水倒入与它等底的圆锥形容器中,刚好装满,圆锥形容器的高是( )厘米。
35.(23-24六年级下·广东深圳·期中)等底等高的圆柱和圆锥,它们的体积之和是208立方厘米,那么圆柱的体积是( )立方厘米,圆锥的体积是( )立方厘米。
36.(23-24六年级下·广东深圳·期中)大、小两个圆柱的底面半径的比是3∶2,高的比是2∶3,那么体积的比是( )。
37.(23-24六年级下·山西吕梁·期中)一个圆柱和一个圆锥的底面积和体积都相等,圆柱的高是9厘米,圆锥的高是( )厘米。
38.(23-24六年级下·广东深圳·期中)一个圆柱和一个圆锥的体积相等,底面积也相等。已知圆柱的高是15厘米,圆锥的高是( )厘米。
39.(23-24六年级下·安徽亳州·期中)把高15厘米的圆柱平行于底面切成两段,表面积增加了40平方厘米,原来圆柱体的体积是( )立方厘米。
40.(23-24六年级下·山西吕梁·期中)一个圆柱的侧面积是1570cm2,高是50cm,它的底面周长是( )cm,底面积是( )cm2,体积是( )cm3。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.点、线、面、体之间的关系
点、线、面、体之间的关系:点动成线,线动成面,面动成体。
2.圆柱与圆锥的特征
方式 圆柱 圆锥
看一看
滚一滚 曲面接触桌面,滚动茶叶盒,其滚动方向不会变,说明圆柱是粗细均匀的 曲面接触桌面,滚动纸筒,其绕尖端转圈
剪一剪
切一切
3.圆柱与圆锥的各部分名称以及高的测量
(1)圆柱与圆锥的各部分名称
圆柱 圆锥
底面 围成圆柱的上、下两个圆面 围成圆锥的圆面
侧面 围成圆柱的曲面 围成圆锥的曲面
高 两个底面之间的距离是圆柱的高,圆柱有无数条高 顶点与底面圆心的距离是圆锥的高,圆锥只有一条高
(2)圆柱与圆锥高的测量
1.圆柱的侧面积和表面积的计算方法
(1)圆柱的表面是由两个底面和一个侧面组成的,求圆柱的表面积就是求两个底面和一个侧面的面积之和。
(2)将圆柱的侧面沿高展开后是一个长方形,长方形的长是圆柱的底面周长,宽是圆柱的高。
(3)圆柱侧面积的计算方法:圆柱的侧面积=底面周长x高,用字母表示: S侧=Ch或 S侧=2rh。
(4)圆柱表面积的计算方法:圆柱的表面积=侧面积+底面积x2,用字母表示: S表=S侧+2S底或S表=Ch+2r2。
2.圆柱表面积计算公式的实际应用
(1)在解决此类问题时,注意不是所有的圆柱形物体都有两个底面,有的只有一个底面,有的没有底面,要根据实际情况求表面积。
(2)解决实际问题时,如果题中没有直接给出公式中需要的数据,要根据已知数据求出所需要的数据,然后根据公式进行计算。
1.圆柱体积的意义和计算方法
(1)一个圆柱所占空间的大小就是这个圆柱的体积。
(2)圆柱体积的计算公式: 圆柱的体积=底面积x高。已知圆柱的底面积S和圆柱的高h,则圆柱的体积V=Sh。
2.运用圆柱体积的计算公式解决实际问题
3.已知底面周长和高,求圆柱的体积
计算圆柱体积的基本方法
(1)已知圆柱的底面积S和高h,用公式V圆柱=Sh计算。
(2)已知圆柱的底面半径r和高h,用公式V圆柱=r2h计算。
(3)已知圆柱的底面直径d和高h,用公式V圆柱=(d÷2)2h计算。
(4)已知圆柱的底面周长C和高h,用公式V圆柱=(C÷÷2)2h计算。
计算圆柱体积时,要根据不同的数据灵活选择不同的公式。已知公式中的任意两个量,都可以求出第三个量。
1.圆锥体积计算公式的推导
圆柱的体积等于和它等底等高的圆锥的体积的3倍,也就是说,圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱的体积的。因为圆柱的体积=底面积x高,所以和它等底等高的圆锥的体积=底面积x高x。如果用V表示圆锥的体积,S表示底面积,h表示高,那么圆锥体积的计算公式为V=Sh。
2.圆锥体积计算公式的应用
计算圆锥体积的基本方法:
(1)已知圆锥底面积S和高h,用公式V圆锥=Sh计算。
(2)已知圆锥底面半径r和高h,用公式V圆锥=r2h计算。
(3)已知圆锥底面直径d和高h,用公式V圆锥=h计算。
(4)已知圆锥底面周长C和高h,用公式V圆锥=h计算。
易错知识点01:圆柱的基本特征
易错点:混淆圆柱的底面与侧面。需明确圆柱有两个底面,是两个大小相同的圆;侧面是一个曲面。
圆柱的高:两个底面间的距离叫做圆柱的高,圆柱有无数条高且长度相等。
易错知识点02:圆柱的侧面积
公式:S侧=Ch或S侧=πdh或S侧=2πrh(C为底面周长,d为底面直径,r为底面半径,h为高)。
易错点:计算时不注意单位统一,或错误地使用底面直径或半径计算侧面积。
易错知识点03:圆柱的表面积
公式:S表=S侧+2S底=2πrh+2πr (S侧为侧面积,S底为底面积)。
易错点:忽视圆柱体的实际应用情况,如计算无盖水桶的表面积时,只计算一个底面和侧面的面积之和。
易错知识点04:圆柱的体积
公式:V=Sh或V=πr h(S为底面积,h为高)。
易错点:在计算过程中,容易混淆底面积和高,导致计算结果错误。
易错知识点05:圆锥的基本特征
易错点:混淆圆锥的底面与侧面,以及圆锥的高。需明确圆锥有一个底面,是一个圆;侧面是一个曲面;圆锥的高是从顶点到底面圆心的距离,圆锥只有一条高。
易错知识点06:圆锥的体积
公式:V=(1/3)Sh或V=(1/3)πr h(S为底面积,h为高)。
易错点:在计算圆锥体积时,容易忘记乘以(1/3),导致计算结果错误。
易错知识点07:圆锥的高的测量
方法:把圆锥放在水平面上,在圆锥的顶点上放一个平面的东西(如木板),并与底面平行,测量这两个平面间的距离,即为圆锥的高。
易错点:测量时不注意保持圆锥和水平面的稳定,导致测量结果不准确。
易错知识点08: 圆柱与圆锥的关系
易错点:只有在等底等高的条件下,圆柱的体积才是圆锥体积的3倍,圆锥的体积才是圆柱体积的(1/3)。忽视这一条件,容易导致错误判断。
易错知识点09:实际问题的求解
易错点:在解决实际问题时,容易忽视题目中的实际情况,如计算圆柱形物体的表面积时,需要根据物体的具体形状(如是否有盖、是否空心等)来确定计算哪些面的面积。
【考点精讲1】 (23-24六年级上·河北邯郸·期中)圆柱的每个底面是( )的两个( )。
【答案】 相同 圆
【分析】根据圆柱的特征和侧面展开图的特点:圆柱的上下底面是完全相同的两个圆,侧面是一个曲面,侧面沿高展开是一个长方形,这个长方形的长等于圆柱的底面周长,宽等于圆柱的高;两个底面之间的距离叫圆柱的高,由此解答即可。
【详解】如图:
圆柱的每个底面是相同的两个圆。
【考点精讲2】(23-24六年级下·广东深圳·期中)如下图所示,若以此三角形的短边为轴旋转一周,可以得到一个( ),它的底面直径是( ) cm,高是( )cm。
【答案】 圆锥 8 2
【分析】以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周可以得到一个圆锥;在此题中,是以短边为轴旋转,则短边的长就是圆锥的底面半径,高为另一条直角边长度,据此解答。
【详解】以此三角形的短边为轴旋转一周,可以得到一个圆锥,它的底面直径是4×2=8(cm),高是2cm。
所以,以三角形的短边为轴旋转一周,可以得到一个圆锥,它的底面直径是8cm,高是2cm。
【考点精讲3】(23-24六年级下·陕西咸阳·期中)将如图的长方形绕直线l旋转一周,得到的图形是( ),它的底面直径是( )cm,高是( )cm。
【答案】 圆柱 4 5
【分析】根据题意,将一个长方形绕着长所在的直线旋转一周,得到一个圆柱体,那么这个圆柱的底面半径等于长方形的宽,圆柱的高等于长方形的长。
【详解】底面直径:2×2=4(cm)
长方形绕直线l旋转一周,得到的图形是圆柱,它的底面直径是4cm,高是5cm。
【考点精讲4】(23-24六年级下·陕西西安·期中)把一张长方形的铁皮按下图裁剪,正好做成一个圆柱,这个圆柱的高是( )厘米。
【答案】12
【分析】由图可知,该圆柱的形状为圆柱体,24.84厘米是圆柱形的底面周长与底面直径的和,设底面直径为x厘米,则可依据此关系列方程,求出底面半径。然后根据圆柱的高是底面直径的2倍,求出高。
【详解】解:设底面直径为x厘米。
3.14x+x=24.84
4.14x=24.84
4.14x÷4.14=24.84÷4.14
x=6
6×2=12(厘米)
这个圆柱的高是12厘米。
【考点精讲5】(23-24六年级下·广东湛江·期中)制作20节底面半径为5cm,长为4m的圆柱形通风管,至少要用( )的铁皮。
【答案】25.12m2
【分析】因为圆柱形通风管没有底面,所以求铁皮的面积就是求圆柱的侧面积。
根据公式S侧=2πrh,求出圆柱的侧面积,再乘20,即是制作20节这样的圆柱形通风管至少要用铁皮的面积。注意单位的换算:1m=100cm。
【详解】5cm=0.05m
2×3.14×0.05×4×20
=0.314×4×20
=1.256×20
=25.12(m2)
至少要用25.12m2的铁皮。
【考点精讲6】(23-24六年级下·广东深圳·期中)市民中心广场开设了一个儿童区,现有5个相同的圆柱形石墩需要装饰,已知一个石墩的底面半径是20cm,高是50cm,石墩的上面和侧面都需要装饰,一共需要买( )m2的装饰画。
【答案】3.768
【分析】根据题意,圆柱形石墩的上面和侧面都需要装饰,则一个石墩需装饰的面积=圆柱的侧面积+圆柱的一个底面积,根据S侧=2πrh,S底=πr2,代入数据计算求出一个石墩需装饰的面积,再乘5,即是5个石墩需装饰的面积。注意单位的换算:1m2=10000cm2。
【详解】2×3.14×20×50+3.14×202
=125.6×50+3.14×400
=6280+1256
=7536(cm2)
7536×5=37680(cm2)
37680cm2=3.768m2
一共需要买3.768m2的装饰画。
【考点精讲7】(23-24六年级下·山西吕梁·期中)一个圆柱高是8cm,如果它的高减少2cm,侧面积就减少25.12cm2,原来这个圆柱的体积是( )cm3。
【答案】100.48
【分析】表面积减少的是高为2cm圆柱体的侧面积,因为圆柱体的侧面展开是长方形,长方形的长等于圆柱体的底面周长,根据圆柱的侧面积公式:侧面积=底面周长×高,底面周长=侧面积÷高,用减少的面积除以减少的高就可求出圆柱体的底面周长,再根据圆的周长公式:周长=π×半径×2,半径=周长÷π÷2,代入数据,求出圆柱的底面半径,然后利用圆柱体的体积公式:体积=底面积×高,代入数据,即可解答。
【详解】25.12÷2=12.56(cm)
12.56÷3.14÷2
=4÷2
=2(cm)
3.14×22×8
=3.14×4×8
=12.56×8
=100.48(cm3)
一个圆柱高是8cm,如果它的高减少2cm,侧面积就减少25.12cm2,原来这个圆柱的体积是100.48cm3。
【考点精讲8】(22-23六年级下·广东揭阳·期中)修一个底面周长是25.12米,深是3米的圆柱形蓄水池,这个蓄水池的占地面积是( )平方米,它最多能蓄水( )立方米。
【答案】 50.24 150.72
【分析】已知圆柱形蓄水池的底面周长是25.12米,根据圆的周长公式C=2πr可知,r=C÷π÷2,由此求出圆柱的底面半径;
然后根据圆的面积公式S=πr2,求出圆柱的底面积,也就是这个蓄水池的占地面积;
再根据圆柱的体积(容积)公式V=Sh,求出这个蓄水池的蓄水量。
【详解】圆柱的底面半径:
25.12÷3.14÷2
=8÷2
=4(米)
占地面积:
3.14×42
=3.14×16
=50.24(平方米)
蓄水量:50.24×3=150.72(立方米)
这个蓄水池的占地面积是50.24平方米,它最多能蓄水150.72立方米。
【考点精讲9】(23-24六年级下·福建南平·期中)把高为8cm的圆柱按下图切开,拼成近似的长方体,表面积增加了32cm2,圆柱的体积是( )cm3。
【答案】100.48
【分析】把高为8cm的圆柱按下图切开,拼成近似的长方体。由图可知,表面积增加的部分是长为8cm,宽是圆柱底面半径的2个长方形的面积。用32除以2就得到一个长方形的面积,再用长方形的面积除以长等于宽,即圆柱底面半径。再根据圆柱体积=,求出圆柱体积。
【详解】32÷2÷8
=16÷8
=2(cm)
=3.14×4×8
=12.56×8
=100.48(cm3)
所以,这个圆柱体积是100.48 cm3。
【考点精讲10】(23-24六年级下·陕西宝鸡·期末)一个圆锥体积是18dm3,圆锥高6dm,圆锥的底面积是( )dm2。
【答案】9
【分析】根据圆锥的体积公式:体积=底面积×高×,底面积=体积÷高÷,代入数据,即可解答。
【详解】18÷6÷
=3÷
=3×3
=9(dm2)
一个圆锥体积是18dm3,圆锥高6dm,圆锥的底面积是9dm2。
【考点精讲11】(23-24六年级下·广东深圳·期中)一个圆柱的底面直径是8cm,高是9cm,这个圆柱的侧面积是( )cm2,表面积是( )cm2,体积是( )cm3,和它等底等高的圆锥体积是( )cm3。
【答案】 226.08 326.56 452.16 150.72
【分析】将数据代入圆柱的侧面积公式:S=πdh,圆柱的表面积公式:S=S侧+2S底,S底=πr2及圆柱的体积公式:V=πr2h,求出这个圆柱的侧面积、表面积、体积;它等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍,用圆柱的体积÷3即可求出和它等底等高的圆锥体积;据此解答。
【详解】3.14×8×9=226.08(cm2)
226.08+3.14×(8÷2)2×2
=226.08+3.14×42×2
=226.08+3.14×16×2
=226.08+100.48
=326.56(cm2)
3.14×(8÷2)2×9
=3.14×42×9
=3.14×16×9
=452.16(cm3)
452.16÷3=150.72(cm3)
这个圆柱的侧面积是226.08cm2,表面积是326.56cm2,体积是452.16cm3,和它等底等高的圆锥体积是150.72cm3。
【考点精讲12】(23-24六年级下·陕西咸阳·期中)如图,将等底等高的圆柱和圆锥形铁块同时放入盛有水的容器中,水面由原来的600mL上升到800mL。放进去的圆柱的体积是( )cm3,圆锥的体积是( )cm3。
【答案】 150 50
【分析】800mL=800 cm3,600mL=600 cm3。由题意可知:等底等高的圆柱和圆锥的体积和是800-600=200 cm3,而等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍。根据和倍公式和÷(倍+1)求出圆锥的体积,再用圆锥的体积乘3求出圆柱的体积;据此解答。
【详解】800mL=800cm3,600mL=600cm3
800-600=200(cm3)
200÷(3+1)
=200÷4
=50(cm3)
50×3=150(cm3)
放进去的圆柱的体积是150cm3,圆锥的体积是50cm3。
【考点精讲13】(23-24六年级下·陕西宝鸡·期中)有两个等底的圆柱和圆锥形空瓶容器,圆锥形瓶子高12厘米,底面直径10厘米。在圆锥形瓶子中加满水,再把水倒入圆柱形容器里,则圆柱形容器里的水深( )厘米。
【答案】4
【分析】根据圆锥体积=底面积×高÷3,先求出圆锥形瓶子的容积,再根据圆柱的高=体积÷底面积,求出圆柱形容器里的水深。
【详解】3.14×(10÷2)2×12÷3
=3.14×52×12÷3
=3.14×25×12÷3
=314(立方厘米)
314÷[3.14×(10÷2)2]
=314÷[3.14×52]
=314÷[3.14×25]
=314÷78.5
=4(厘米)
圆柱形容器里的水深4厘米。
【考点精讲14】(22-23六年级下·广东揭阳·期末)把一个圆锥沿高垂直切开后,表面积增加了72平方厘米,而且切面是一个等腰直角三角形,这个圆锥的体积是( )。
【答案】226.08立方厘米/226.08cm3
【分析】圆锥沿高切开,会增加两个切面的面积,由于增加了72平方厘米,则一个切面的面积是72÷2=36(平方厘米),这个等腰直角三角形以斜边为底,则它的底是圆锥的底面直径,高是圆锥的高,由于这是一个等腰直角三角形,等腰直角三角形的底是高的2倍,可以设高是r厘米,则底是2r厘米,根据三角形的面积公式:底×高÷2,即2r×r÷2=36,据此即可求出r2=36,由此即可知道r=6,根据圆锥的体积公式:V=πr2h×,把数代入公式即可求解。
【详解】72÷2=36(平方厘米)
设圆锥的底面半径是r厘米,则高也是r厘米。
2r×r÷2=36
r2=36
r=6
体积:3.14×62×6×=226.08(立方厘米)
所以圆锥的体积是226.08立方厘米。
【点睛】本题主要考查圆锥的体积公式,关键是要清楚等腰直角三角形以斜边为底,那么它的长度是斜边上的高的2倍。
一、填空题
1.(23-24六年级下·陕西榆林·期中)一个圆柱的底面周长是12.56分米,高是0.6米,表面积是( )平方分米。
【答案】100.48
【分析】根据圆柱的底面周长公式:C=2πr,可知r=C÷2÷π,据此求出半径,再根据圆柱的表面积公式:S=2πr2+Ch,代入数据即可求出圆柱的表面积。
【详解】12.56÷2÷3.14=2(分米)
0.6米=6分米
2×3.14×22+12.56×6
=2×3.14×4+12.56×6
=25.12+75.36
=100.48(平方分米)
表面积是100.48平方分米。
2.(23-24六年级下·广东深圳·期中)乐乐家把收获的稻谷堆成了高2.4m,底面直径为4m的圆锥形,一共收获了( )m3的稻谷。
【答案】10.048
【分析】已知收获的稻谷堆成一个圆锥形,根据圆锥的体积公式V=πr2h,代入数据计算,即可求出一共收获稻谷的体积。
【详解】×3.14×(4÷2)2×2.4
=×3.14×22×2.4
=×3.14×4×2.4
=10.048(m3)
一共收获了10.048m3的稻谷。
3.(23-24六年级下·陕西咸阳·期中)泾阳茯砖茶的外形规格整齐,色泽黑褐,金花显露,是六大茶类中黑茶的特色产品。某厂家要给底面半径是10cm,高是30cm的圆柱形茯砖茶包装盒的侧面贴一圈商标纸,贴一个这样的包装盒至少需要( )cm2商标纸。
【答案】1884
【分析】圈商标纸的部分是圆柱的侧面,根据圆柱侧面积=底面周长×高,列式计算即可。
【详解】2×3.14×10×30
=62.8×30
=1884(cm2)
贴一个这样的包装盒至少需要1884cm2商标纸。
4.(22-23六年级下·山西运城·期中)把一个棱长是8分米的正方体钢胚锻造成一个高是16分米的圆柱形钢体,则这个圆柱形钢体的底面积是( )平方分米。
【答案】32
【分析】由题意可知,锻造前后,形状改变,但体积不变,即正方体体积与圆柱体积相等。因此,根据正方体体积=棱长×棱长×棱长,可先计算出正方体的体积。根据圆柱体积=底面积×高,可知圆柱底面积=体积÷高,代入计算即可。
【详解】8×8×8÷16
=64×8÷16
=512÷16
=32(平方分米)
因此,这个圆柱形钢体的底面积是32平方分米。
5.(22-23六年级下·广东揭阳·期中)一个圆柱的底面半径是3厘米,高是4厘米,它的侧面积是( )平方厘米;一个圆锥的底面直径是4分米,高是9分米,它的体积是( )立方分米。
【答案】 75.36 37.68
【分析】根据圆柱的侧面积公式S侧=2πrh,代入数据计算即可求出圆柱的侧面积;
根据圆锥的体积公式V锥=πr2h,代入数据计算即可求出圆锥的体积。
【详解】圆柱的侧面积:
2×3.14×3×4
=18.84×4
=75.36(平方厘米)
圆锥的体积:
×3.14×(4÷2)2×9
=×3.14×4×9
=37.68(立方分米)
圆柱的侧面积是75.36平方厘米,圆锥的体积是37.68立方分米。
6.(22-23六年级下·广东揭阳·期中)把一段圆柱形钢材切削成一个最大的圆锥体,切削掉的部分重12kg,这段圆柱形钢材原来重( )kg。
【答案】18
【分析】把一段圆柱形钢材切削成一个最大的圆锥体,圆柱和圆锥等底等高,圆柱体积是圆锥体积的3倍,削去部分是圆锥体积的(3-1)倍,因为是相同的材料,它们之间的重量也是相同的关系,切削掉的部分的重量÷(3-1)=圆锥重量,圆锥重量×3=圆柱重量,据此列式计算。
【详解】12÷(3-1)×3
=12÷2×3
=18(kg)
这段圆柱形钢材原来重18kg。
7.(22-23六年级下·广东揭阳·期中)把一个长8m的圆柱截成4个小圆柱,表面积比原来增加了,这个圆柱原来的体积是( )。
【答案】56
【分析】把圆柱截成4个小圆柱,增加的表面积相当于6个底面积相加之和,用42除以6求出一个底面积,再利用圆柱的体积=底面积×高,代入数值计算即可解答。
【详解】42÷6×8
=7×8
=56(m3)
因此这个圆柱原来的体积是56m3。
8.(22-23六年级下·广东揭阳·期中)把一个圆柱削成一个最大的圆锥,体积减少了12dm3,那么圆锥的体积是( );若圆锥的高是5dm,它的底面积是( )dm2。
【答案】 6dm3 3.6
【分析】根据题意,把一个圆柱削成一个最大的圆锥,那么削成的圆锥与圆柱等底等高;
根据V柱=Sh,V锥=Sh可知,当圆柱和圆锥等底等高时,圆柱的体积是圆锥体积的3倍,可以把圆锥的体积看作1份,则圆柱的体积是3份,削去的体积是(3-1)份;用减少的体积除以(3-1)份,求出一份数,即是圆锥的体积。
根据V锥=Sh可知,圆锥的底面积S=3V÷h,代入数据计算,即可求出圆锥的底面积。
【详解】12÷(3-1)
=12÷2
=6(dm3)
把一个圆柱削成一个最大的圆锥,体积减少了12dm3,那么圆锥的体积是6dm3;
6×3÷5
=18÷5
=3.6(dm2)
若圆锥的高是5dm,它的底面积是3.6dm2。
9.(23-24六年级下·山西吕梁·期中)如图,在推导圆柱的体积时,利用切割圆柱拼接成长方体,运用了“转化”思想。已知这个长方体的宽为5cm,高为12cm,那么这个长方体的长是( )cm。这个圆柱的表面积是( )cm。
【答案】 15.7 533.8
【分析】把圆柱切割拼接成长方体时,圆柱的底面半径等于这个长方体的宽,圆柱的高等于这个长方体的高,圆柱底面周长的一半等于这个长方体的长;圆柱的表面积=圆柱的侧面积+2个底面的面积;利用圆柱的侧面积=底面周长×高,代入相应数值计算即可解答。
【详解】2×3.14×5÷2
=6.28×5÷2
=31.4÷2
=15.7(cm)
2×3.14×5×12+2×3.14×52
=6.28×5×12+6.28×25
=6.28×(5×12+25)
=6.28×(60+25)
=6.28×85
=533.8(cm2)
因此这个长方体的长是15.7cm,这个圆柱的表面积是533.8cm2。
10.(23-24六年级下·山西吕梁·期中)底面直径是10厘米的圆柱形鱼缸里盛了一些水,水里养了一条鱼(如下图)。如果把鱼捉出来,水面下降到8厘米,这条鱼的体积是( )立方厘米。
【答案】157
【分析】把这条鱼捉出来,水面下降到8厘米,原来鱼缸中水的深度是10厘米;把鱼捉出来后水面下降了(10-8)厘米,因此这条鱼的体积等于下降的这部分水的体积;利用圆柱的体积=底面积×高,代入相应数值计算即可解答。
【详解】3.14×(10÷2)2×(10-8)
=3.14×52×2
=3.14×25×2
=78.5×2
=157(立方厘米)
因此这条鱼的体积是157立方厘米。
11.(23-24六年级下·山西吕梁·期中)一根圆柱形木料,底面直径10厘米,长1.2米。截成3个大小不同的圆柱后,表面积增加了( )平方厘米,这个圆柱形木料的体积是( )立方厘米。
【答案】 314 9420
【分析】根据题意,把一根圆柱形木料截成3个小圆柱,需截3-1=2次,每截一次就增加2个圆柱的底面,截2次,一共增加了2×2=4个圆柱的底面;
根据圆的面积公式S=πr2,求出圆柱的底面积,再乘4即是增加的表面积。
根据圆柱的体积公式V=Sh,求出这根圆柱形木料的体积。注意单位的换算:1米=100厘米。
【详解】1.2米=120厘米
(3-1)×2
=2×2
=4(个)
圆柱的底面积:
3.14×(10÷2)2
=3.14×52
=3.14×25
=78.5(平方厘米)
增加的表面积:
78.5×4=314(平方厘米)
圆柱的体积:
78.5×120=9420(立方厘米)
表面积增加了314平方厘米,这个圆柱形木料的体积是9420立方厘米。
12.(23-24六年级下·山西吕梁·期中)一个圆柱和圆锥的底面积相等,高也相等。圆柱的体积是18.84立方分米,圆锥的体积比它少了( )立方分米。
【答案】12.56
【分析】一个圆柱和圆锥的底面积相等,高也相等,即圆柱和圆锥是等底等高;等底等高的圆锥的体积是圆柱的,用圆柱的体积×,求出圆锥的体积,再用圆柱的体积-圆锥的体积,即可解答。
【详解】18.84-18.84×
=18.84-6.28
=12.56(立方分米)
圆锥的体积比它少了12.56立方分米。
13.(23-24六年级下·甘肃白银·期中)把一个体积54立方米的圆柱削成最大的圆锥,削去的体积是( )立方米,圆锥的体积是( )立方米。
【答案】 36 18
【分析】将一个圆柱削成一个最大的圆锥,则这个圆锥的底面、高等于圆柱的底面和高。根据等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍,则可得出圆锥体积以及削去的体积。
【详解】削成的圆锥和圆柱等底等高,根据等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍,则削去的体积:
(立方米)
圆锥体积为:(立方米)
14.(23-24六年级下·甘肃白银·期中)如果把一个圆柱的高截短3cm,表面积就减少了94.2cm2这个圆柱的底面积是( )cm2,如果这个圆柱高5cm,体积是( )cm3。
【答案】 78.5 392.5
【分析】减少的表面积是侧面积,减少的表面积÷截短的高=底面周长,底面半径=底面周长÷圆周率÷2,底面积=圆周率×半径的平方,圆柱体积=底面积×高,据此列式计算。
【详解】底面周长:94.2÷3=31.4(cm)
底面半径:31.4÷3.14÷2=5(cm)
底面积:3.14×52
=3.14×25
=78.5(cm2)
体积:78.5×5=392.5(cm3)
这个圆柱的底面积是78.5cm2,如果这个圆柱高5cm,体积是392.5cm3。
15.(23-24六年级下·甘肃白银·期中)一个圆柱和一个圆锥体积相等,底面积也相等,圆柱的高是4cm,圆锥的高是( )cm。
【答案】12
【分析】等体积等底面积的圆锥的高是圆柱高的3倍,直接用圆柱的高×3=圆锥的高,据此分析。
【详解】4×3=12(cm)
圆锥的高是12cm。
16.(23-24六年级下·广东深圳·期中)一个装有水的圆柱形烧杯,底面直径是10cm,高是10cm。一块石头完全浸在水里,量得水深是9cm,将石头取出后,水深是7cm。这块石头的体积是( )cm3。
【答案】157
【分析】根据题意,取出石头后,水面下降(9-7)cm,那么水面下降部分的体积等于这块石头的体积,根据圆柱的体积公式V=πr2h,代入数据计算,即可求出这块石头的体积。
【详解】3.14×(10÷2)2×(9-7)
=3.14×52×2
=3.14×25×2
=157(cm3)
这块石头的体积是157cm3。
17.(23-24六年级下·广东深圳·期中)一个圆柱的底面积是5dm ,高是6dm,与它等底等高的圆锥的体积是( )dm 。
【答案】10
【分析】根据圆柱的体积公式:体积=底面积×高,代入数据,求出圆柱的体积;等底等高的圆锥的体积是圆柱的,再用圆柱的体积×,即可求出圆锥的体积。
【详解】5×6×
=30×
=10(dm3)
一个圆柱的底面积是5dm ,高是6dm,与它等底等高的圆锥的体积是10dm3。
18.(23-24六年级下·广东深圳·期中)把一个棱长6分米的正方体钢锭熔铸成一个底面积是54平方分米的圆柱,圆柱的高是( )分米。
【答案】4
【分析】根据正方体体积公式:体积=棱长×棱长×棱长,代入数据,求出正方体体积;正方体钢锭熔铸成圆柱,体积不变,根据圆柱的体积公式:体积=底面积×高;高=体积÷底面积,代入数据,即可解答。
【详解】6×6×6÷54
=36×6÷54
=216÷54
=4(分米)
把一个棱长6分米的正方体钢锭熔铸成一个底面积是54平方分米的圆柱,圆柱的高是4分米。
19.(23-24六年级下·陕西西安·期中)如图,以直角三角形的长直角边所在直线为轴旋转一周,可以得到一个( ),得到的这个图形的高是( )cm,底面半径是( )cm,体积是( )。
【答案】 圆锥 5 3 47.1
【分析】以直角三角形的长直角边为轴旋转一周,得到的是一个圆锥体,其中旋转轴是圆锥的高,另一条直角边是圆锥的底面半径,根据圆锥的体积V=πr2h,代入数据计算即可。
【详解】3.14×32×5×
=3.14×9×5×
=28.26×5×
=141.3×
=47.1(cm3)
所以以直角三角形的长直角边所在直线为轴旋转一周,可以得到一个圆锥,得到的这个图形的高是5cm,底面半径是3cm,体积是47.1cm3。
20.(23-24六年级下·广东湛江·期中)一个圆锥的底面积是12cm2,高是8cm,它的体积是( )cm3,与它等底等高的圆柱的体积是( )cm3。
【答案】 32 96
【分析】已知圆锥的底面积和高,根据V=πr2h,求出圆锥的体积;
根据V柱=Sh,V锥=Sh可知,当圆柱和圆锥等底等高时,圆柱的体积是圆锥体积的3倍,据此解答。
【详解】圆锥的体积:
×12×8=32(cm3)
圆柱的体积:
32×3=96(cm3)
圆锥的体积是32cm3,与它等底等高的圆柱的体积是96cm3。
21.(23-24六年级下·广东湛江·期中)把一块底面积是24cm2,高是3cm的圆柱形橡皮泥捏成同样底面大小的圆锥,圆锥的高是( )cm。如果把它捏成同样高的圆锥,圆锥的底面积是( )cm2。
【答案】 9 72
【分析】(1)求圆锥的高,已知橡皮泥的体积不变,则圆柱和圆锥等体积等底面积;
根据V柱=Sh,V锥=Sh可知,圆柱的高h柱=V÷S,圆锥的高h锥=3V÷S,所以当圆柱和圆锥等体积等高时,圆锥的高是圆柱高的3倍。
(2)求圆锥的底面积,已知橡皮泥的体积不变,则圆柱和圆锥等体积等高;
根据V柱=Sh,V锥=Sh可知,圆柱的底面积S柱=V÷h,圆锥的底面积S锥=3V÷h,所以当圆柱和圆锥等体积等高时,圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍。
【详解】(1)3×3=9(cm)
圆锥的高是9cm。
(2)24×3=72(cm2)
圆锥的底面积是72cm2。
22.(23-24六年级下·广东湛江·期中)把一根圆柱形木料削成一个最大的圆锥,削去部分的体积是原来圆柱体积的( ),是圆锥体积的( )。
【答案】 2倍/两倍
【分析】根据题意,把一根圆柱形木料削成一个最大的圆锥,那么圆柱和圆锥等底等高,圆锥的体积是圆柱的,把圆柱的体积看作单位“1”,则削去部分的体积是圆柱的(1-);
用削去部分的体积除以圆锥的体积,即可求出削去部分的体积是圆锥体积的几倍。
【详解】1-=
÷
=×3
=2
削去部分的体积是原来圆柱体积的,是圆锥体积的2倍。
23.(23-24六年级下·陕西榆林·期中)把一根长是80cm,底面半径是4cm的圆柱形木料,锯成长度都是20cm的4段,表面积会比原来增加( )。
【答案】301.44
【分析】根据题意,锯成4段需要锯3次,每次增加2个面,每个面积都是圆柱的底面积,求出一个圆的面积,再乘一共增加的面数即可。
【详解】(4-1)×2
=3×2
=6(个)
=4×4×3.14×6
=16×3.14×6
=50.24×6
=301.44()
所以表面积会比原来增加301.44。
24.(23-24六年级下·辽宁丹东·期中)(单位:厘米)以直角三角形的长直角边为轴旋转一周(如图)得到几何体是( ),体积是( )立方厘米。
【答案】 圆锥 37.68
【分析】通过观察可知,以直角三角形的长直角边为轴旋转一周,可以得到一个底面半径是3厘米,高为4厘米的圆锥,根据圆锥的体积公式:V=πr2h,代入数据计算即可求出体积。
【详解】3.14×32×4×
=3.14×9×4×
=37.68(立方厘米)
得到几何体是圆锥,体积是37.68立方厘米。
25.(23-24六年级下·陕西西安·期中)如图,转动长方形ABCD得到圆柱I和Ⅱ。
(1)圆柱I是以( )边所在直线为轴旋转而成的,高是( )厘米;
(2)圆柱Ⅱ的底面积是( )平方厘米。
【答案】(1) BC/AD 2
(2)12.56
【分析】(1)根据面动成体,圆柱I是以长方形的宽为轴旋转而成的。高就是长方形的宽。
(2)圆柱Ⅱ是以长方形的长为轴旋转的,底面是以长方形的宽为半径的圆。即底面积=。
【详解】(1)圆柱I是以BC(AD)边所在直线为轴旋转而成的,高是2厘米。
(2)3.14×22
=3.14×4
=12.56(平方厘米)
则圆柱Ⅱ的底面积是12.56平方厘米。
【点睛】
26.(2019·甘肃武威·小升初真题)把一根圆柱形木料截成3段,表面积比原来增加了45.12平方厘米,这根木料的底面积是( )平方厘米。
【答案】11.28
【分析】根据题意,圆柱形木料截成3段后,总的表面积增加了4个底面积,所以用45.12平方厘米除以4,即可求出这根木料的底面积。
【详解】(平方厘米)
即这根木料的底面积是11.28平方厘米。
27.(23-24六年级下·陕西西安·期中)如图,将一个高为8cm的圆柱沿直径分割成若干等份,拼成一个近似的长方体。已知长方体的表面积比圆柱的表面积增加了32cm2,这个圆柱体的体积是( )cm3。
【答案】100.48
【分析】根据题意,把一个圆柱切拼成一个近似长方体后,表面积比原来增加了2个以圆柱的高为长,圆柱的底面半径为宽的长方形的面积;
先用增加的表面积除以2,求出一个长方形的面积,再除以8,即是圆柱的底面半径;
然后根据圆柱的体积公式V=πr2h,代入数据计算,即可求出这个圆柱的体积。
【详解】圆柱的底面半径:
32÷2÷8
=16÷8
=2(cm)
圆柱的体积:
3.14×22×8
=3.14×4×8
=100.48(cm3)
这个圆柱体的体积是100.48cm3。
28.(23-24六年级下·陕西榆林·期中)把一块圆柱形木料削成一个最大的圆锥,如果圆柱的体积是15dm3,那么圆锥的体积是( )dm3;如果削去部分的体积是24dm3,那么削成圆锥的体积是( )dm3。
【答案】 5 12
【分析】根据题意,把一块圆柱形木料削成一个最大的圆锥,那么圆柱和圆锥等底等高;
根据V柱=Sh,V锥=Sh可知,当圆柱和圆锥等底等高时,圆柱的体积是圆锥体积的3倍,削去部分的体积是圆锥体积的2倍;据此解答。
【详解】15÷3=5(dm3)
24÷2=12(dm3)
圆锥的体积是5dm3,削成圆锥的体积是12dm3。
29.(23-24六年级下·陕西榆林·期中)一个圆锥和一个圆柱等底等高,它们的体积差是18立方厘米。圆柱的体积是( )立方厘米,圆锥的体积是( )立方厘米。
【答案】 27 9
【分析】圆柱的体积=,圆锥的体积=,等底等高时,圆柱的体积是圆锥体积的3倍,把圆锥体积看作1份,圆柱体积看作3份,体积差的18立方厘米就对应了两份,用18除以2可以算出圆锥体积,再乘3就是圆柱体积。
【详解】圆锥体积:18÷(3-1)
=18÷2
=9(立方厘米)
圆柱体积:9×3=27(立方厘米)
圆柱的体积是27立方厘米,圆锥的体积是9立方厘米。
30.(23-24六年级下·陕西榆林·期中)一个从里面量底面周长是31.4厘米的圆柱形容器中装有水,把一个不规则铁块完全浸没在水中时(水未溢出),水面高度由原来的10厘米上升到13厘米,这个不规则铁块的体积是( )立方厘米。
【答案】235.5
【分析】不规则铁块的体积等于上升的水的体积,先用底面周长÷π÷2,求出底面半径,再用现在水面的高度减去原来水面的高度,求出水面上升的高度,最后根据圆柱的体积=πr2h计算即可。
【详解】31.4÷3.14÷2
=10÷2
=5(厘米)
3.14×52×(13-10)
=3.14×25×3
=78.5×3
=235.5(立方厘米)
这个不规则铁块的体积是235.5立方厘米。
31.(23-24六年级下·福建南平·期中)《九章算术》中记载的圆柱体积计算方法是“周自相乘,以高乘之,十二而一”, 也就是底面周长的平方乘高,再除以12,这种计算方法与现在的算法是一致的,只不过取圆周率的近似值为3,笑笑量得一个圆柱形水杯的底面周长是20厘米,高是12厘米。请用这种方法算一算这个水杯最多可盛水( )毫升。(水杯的厚度忽略不计)
【答案】400
【分析】由题意可知:圆柱的体积=底面周长2×高÷12,据此将底面周长20厘米,高12厘米代入计算即可。
【详解】202×12÷12
=400×12÷12
=4800÷12
=400(立方厘米)
400立方厘米=400毫升
这个水杯最多可盛水400毫升。
32.(23-24六年级下·广东深圳·期中)把一根长100cm的圆柱形木料截成4个小圆柱,表面积增加了12cm2。这根圆柱形木料的底面积是( )cm2。
【答案】2
【分析】将圆柱形木料截成4个小圆柱,就是切了3次,即表面积增加了6个底面,则每个底面是2cm2。
【详解】12÷6=2(cm2)
则这根圆柱形木料的底面积是2cm2。
33.(23-24六年级下·广东深圳·期中)一个正方体木块的棱长是2dm,现在把它削成一个最大的圆柱。削成的圆柱的侧面积是( )dm2,削成的圆柱的体积占原来正方体体积的( )%。(π值取3)
【答案】 12 75
【分析】削成的最大圆柱的底面直径和高都应等于正方体的棱长,从而可以依据圆柱的侧面积=底面周长×高,求出其侧面积;分别求出圆柱和原来正方体的体积,用圆柱的体积除以正方体的体积,就是圆柱的体积占原来正方体的体积的百分之几。
【详解】圆柱侧面积:3×2×2
=6×2
=12(平方分米)
圆柱体积占正方体体积的:3×(2÷2)2×2÷(2×2×2)
=3×1×2÷8
=6÷8
=0.75
=75%
一个正方体木块的棱长是2dm,现在把它削成一个最大的圆柱。削成的圆柱的侧面积是12dm2,削成的圆柱的体积占原来正方体体积的75%。
【点睛】本题考查圆柱的侧面积和体积、百分数、正方体的体积,解答本题的关键是掌握圆柱的侧面积和体积计算公式。
34.(23-24六年级下·广东深圳·期中)一个高为8厘米的圆柱形容器装满了水,把水倒入与它等底的圆锥形容器中,刚好装满,圆锥形容器的高是( )厘米。
【答案】24
【分析】根据题意可知,水的体积不变,圆柱的底面积与圆锥的底面积相等,根据圆柱的体积公式:体积=底面积×高,圆锥的体积公式:体积=底面积×高×,由此可知,圆柱的高=圆锥的高×,进而求出圆锥的高。
【详解】8÷
=8×3
=24(厘米)
一个高为8厘米的圆柱形容器装满了水,把水倒入与它等底的圆锥形容器中,刚好装满,圆锥形容器的高是24厘米。
35.(23-24六年级下·广东深圳·期中)等底等高的圆柱和圆锥,它们的体积之和是208立方厘米,那么圆柱的体积是( )立方厘米,圆锥的体积是( )立方厘米。
【答案】 156 52
【分析】根据V柱=Sh,V锥=Sh可知,当圆柱和圆锥等底等高时,圆柱的体积是圆锥体积的3倍,可以把圆锥的体积看作1份,则圆柱的体积是3份,一共是(1+3)份;用等底等高的圆柱和圆锥的体积之和除以总份数,求出一份数,即是圆锥的体积;再用圆锥的体积乘3,求出圆柱的体积。
【详解】圆锥的体积:
208÷(1+3)
=208÷4
=52(立方厘米)
圆柱的体积:
52×3=156(立方厘米)
圆柱的体积是156立方厘米,圆锥的体积是52立方厘米。
36.(23-24六年级下·广东深圳·期中)大、小两个圆柱的底面半径的比是3∶2,高的比是2∶3,那么体积的比是( )。
【答案】3∶2
【分析】根据大、小两个圆柱的底面半径的比是3∶2,可以设大圆柱的底面半径是3,小圆柱的底面半径是2;根据高的比是2∶3,可以设大圆柱的高是2,小圆柱的高是3。然后根据圆柱的体积公式V=πr2h,分别求出大、小两个圆柱的体积,再根据比的意义写出大、小两个圆柱体积的比,最后化简比即可。
【详解】设大圆柱的底面半径是3,小圆柱的底面半径是2;大圆柱的高是2,小圆柱的高是3。
(π×32×2)∶(π×22×3)
=(π×9×2)∶(π×4×3)
=18π∶12π
=18∶12
=(18÷6)∶(12÷6)
=3∶2
那么大、小两个圆柱的体积的比是3∶2。
37.(23-24六年级下·山西吕梁·期中)一个圆柱和一个圆锥的底面积和体积都相等,圆柱的高是9厘米,圆锥的高是( )厘米。
【答案】27
【分析】根据圆柱的体积公式V=Sh,圆锥的体积公式V,当圆柱和圆锥的体积、底面积分别相等时,圆柱的高是圆锥的高的,即圆锥的高是圆柱的3倍,由此求出圆锥的高即可。
【详解】根据分析可知,圆锥的高是圆柱高的3倍,所以圆锥的高是:(厘米)。
【点睛】本题考查圆柱、圆锥的体积,解答本题的关键是掌握圆柱、圆锥的体积计算公式。
38.(23-24六年级下·广东深圳·期中)一个圆柱和一个圆锥的体积相等,底面积也相等。已知圆柱的高是15厘米,圆锥的高是( )厘米。
【答案】45
【分析】根据圆柱的体积=底面积×高,圆锥的体积=×底面积×高。一个圆柱和一个圆锥的体积相等,底面积也相等,则圆锥的高是圆柱的3倍。据此解答。
【详解】根据分析可得:
15×3=45(厘米)
一个圆柱和一个圆锥的体积相等,底面积也相等。已知圆柱的高是15厘米,圆锥的高是45厘米。
39.(23-24六年级下·安徽亳州·期中)把高15厘米的圆柱平行于底面切成两段,表面积增加了40平方厘米,原来圆柱体的体积是( )立方厘米。
【答案】300
【分析】圆柱平行于底面切成两段,表面积会增加两个底面的面积,用增加的总面积除以2即可求出一个底面积,用底面积乘圆柱的高即可求出圆柱的体积。
【详解】40÷2=20(平方厘米)
20×15=300(立方厘米)
则原来圆柱体的体积是300立方厘米。
40.(23-24六年级下·山西吕梁·期中)一个圆柱的侧面积是1570cm2,高是50cm,它的底面周长是( )cm,底面积是( )cm2,体积是( )cm3。
【答案】 31.4 78.5 3925
【分析】根据圆柱的侧面积公式:侧面积=底面周长×高;底面周长=侧面积÷高,代入数据,求出底面周长;再根据圆的周长公式:周长=π×半径×2,半径=周长÷π÷2,代入数据,求出圆柱底面的半径;再根据圆的面积公式:面积=π×半径2,代入数据,求出圆柱的底面积,再根据圆柱的体积公式:体积=底面积×高,代入数据,求出圆柱的体积。
【详解】1570÷50=31.4(cm)
31.4÷3.14÷2
=10÷2
=5(cm)
3.14×52
=3.14×25
=78.5(cm2)
78.5×50=3925(cm3)
一个圆柱的侧面积是1570cm2,高是50cm,它的底面周长是31.4cm,底面积是78.5cm2,体积是3925cm3。
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