人教A版高中数学选择性必修三-6.1第1课时-计数原理及其简单应用-同步练习
1．某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选
1本阅读，则不同的选法共有( )
A．24种 B．9种
C．3种 D．26种
2．如图，一条电路从A处到B处接通时，可构成线路的条数为( )
A．8 B．6 C．5 D．3
3．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )
A．40 B．16 C．13 D．10
4．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则不同的行车路线有( )
A．24种 B．16种 C．12种 D．10种
5．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个不同的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有( )
A．30个 B．42个 C．36个 D．35个
6．满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序实数对(a，b)的个数为( )
A．14 B．13 C．12 D．10
7．某小区有4个门，规定只能从主门进，从任一个门出，则共有不同走法________种．
8．用1,2,3这3个数字组成的没有重复数字的整数有________个．
9．有一项活动，需从3位教师、8名男同学和5名女同学中选人参加．
(1)若只需1人参加，则有多少种不同的选法？
(2)若需教师、男同学、女同学各1人参加，则有多少种不同的选法？
10.用0,1,2,3,4,5这6个数字组成无重复数字的四位数，若把每位数字比其左邻的数字小的数叫做“渐降数”，求上述四位数中“渐降数”的个数．
11．小张与其3位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有( )
A．27种 B．36种
C．54种 D．81种
12．计划在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有( )
A．24种 B．36种
C．42种 D．60种
13．从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为直线Ax＋By＝0的系数，则形成的不同的直线有( )
A．18条 B．20条
C．25条 D．10条
14．(多选)已知集合A＝{－1,2,3,4}，m，n∈A，则对于方程＋＝1的说法正确的是( )
A．可表示3个不同的圆
B．可表示6个不同的椭圆
C．可表示3个不同的双曲线
D．表示焦点位于x轴上的椭圆有3个
15.如图所示，小圆圈表示网络的结点，结点之间的线段表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为( )
A．26 B．24
C．20 D．19
16．用1,2,3,4四个数字(可重复)排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列{an}．
(1)写出这个数列的前11项；
(2)这个数列共有多少项？
(3)若an＝341，求n.
参考答案与详细解析
1．B [不同的杂志本数为4＋3＋2＝9，从其中任选1本阅读，共有9种选法．]
2．B [从A处到B处的电路接通可分两步：第一步，前一个并联电路接通，有2条线路；第二步，后一个并联电路接通，有3条线路．由分步乘法计数原理知电路从A处到B处接通时，可构成线路的条数为2×3＝6.]
3．C [分两类情况讨论：第一类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第二类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13(个)不同的平面．]
4．C [完成该任务可分为四类，从每一个方向的入口进入都可作为一类，如图，
从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个，第3个，第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类加法计数原理可得共有3＋3＋3＋3＝12(种)不同的行车路线．]
5．C [要完成这件事可分两步，第一步确定b(b≠0)，有6种方法，第二步确定a，有6种方法，故由分步乘法计数原理知，共有6×6＝36(个)虚数．]
6．B [由已知得ab≤1.
当a＝－1时，b＝－1,0,1,2，有4种可能；
当a＝0时，b＝－1,0,1,2，有4种可能；
当a＝1时，b＝－1,0,1，有3种可能；
当a＝2时，b＝－1,0，有2种可能．
∴共有(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.]
7．4
解析 由分步乘法计数原理得，共有1×4＝4(种)不同走法．
8．15
解析 分三类：
第一类为一位整数，有3个；
第二类为两位整数，有12,13,21,23,31,32，共6个；
第三类为三位整数，有123,132,213,231,312,321，
共6个．
∴组成的没有重复数字的整数有3＋6＋6＝15(个)．
9．解 (1)选1人，可分3类：
第1类，从教师中选1人，有3种不同的选法；
第2类，从男同学中选1人，有8种不同的选法；
第3类，从女同学中选1人，有5种不同的选法．
共有3＋8＋5＝16(种)不同的选法．
(2)选教师、男同学、女同学各1人，分3步进行：
第1步，选教师，有3种不同的选法；
第2步，选男同学，有8种不同的选法；
第3步，选女同学，有5种不同的选法．
共有3×8×5＝120(种)不同的选法．
10．解 分三类：
第一类，千位数字为3时，“渐降数”只有3 210，共1个；
第二类，千位数字为4时，“渐降数”有4 321,4 320，4 310，4 210，共4个；
第三类，千位数字为5时，“渐降数”有5 432,5 431，5 430，5 421,5 420,5 410,5 321,5 320,
5 310,5 210，共10个．
由分类加法计数原理，共有1＋4＋10＝15(个)“渐降数”．
11．C [小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，根据分步乘法计数原理，共有2×3×3×3＝54(种)不同的报名方法．]
12．D [把3个项目分配到4个体育馆，所有方案共有4×4×4＝64(种)，其中，3个项目被分配到同一体育馆进行有4种方法，故满足条件的分配方案有64－4＝60(种)．]
13．A [第一步取A的值，有5种取法，第二步取B的值，有4种取法，其中当A＝1，B＝2时，与当A＝2，B＝4时所得直线是相同的；当A＝2，B＝1时，与当A＝4，B＝2时所得直线是相同的，故共有5×4－2＝18(条)．]
14．ABD [当m＝n>0时，方程＋＝1表示圆，故有3个，选项A正确；当m≠n且m，n>0时，方程＋＝1表示椭圆，焦点在x，y轴上的椭圆分别有3个，故有3×2＝6(个)，选项B正确，D正确；当mn<0时，方程＋＝1表示双曲线，故有3×1＋1×3＝6(个)，选项C错误．]
15．D [因信息可以分开沿不同的路线同时传递，由分类加法计数原理，完成从A向B传递有四种方法：12→5→3,12→6→4,12→6→7,12→8→6，故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上传递的最大信息量的和：3＋4＋6＋6＝19.]
16．解 (1)111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133.
(2)这个数列的项数就是用1,2,3,4排成的三位数的个数，每个数位上都有4种排法，则共有4×4×4＝64(项)．
(3)比an＝341小的数有两类：
①
1 × ×
2 × ×
②
3 1 ×
3 2 ×
3 3 ×
共有2×4×4＋1×3×4＝44(项)．
所以n＝44＋1＝45(项)．人教A版高中数学选择性必修三-6.1第2课时 计数原理的综合应用-同步练习
1．某城市的电话号码由七位升为八位(首位数字均不为零)，则该城市可增加的电话部数是( )
A．9×8×7×6×5×4×3×2
B．8×97
C．9×107
D．8.1×107
2．某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定左数第2个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这10个数字中选择(数字可以重复)．若某车主左数第1个号码只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他可选的车牌号码的所有可能情况有( )
A．180种 B．360种
C．720种 D．960种
3．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )
A．144 B．120 C．72 D．24
4.一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有( )
A．6种 B．8种
C．36种 D．48种
5.有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有( )
A．4 320种 B．2 880种
C．1 440种 D．720种
6．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，三位同学按甲、乙、丙的顺序依次选一个作为礼物，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有( )
A．360种 B．50种 C．60种 D．90种
7.现有五种不同的颜色，要对图形中的四个部分进行着色，要求相邻两块不能用同一种颜色，不同的涂色方法有________种．
8．用数字1,2组成一个四位数，则数字1,2都出现的四位偶数有________个．
9．将三个分别标有A，B，C的球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中．
求：(1)1号盒中无球的不同放法种数；
(2)1号盒中有球的不同放法种数．
10.有4种不同的作物可供选择种植在如图所示的4块试验田中，每块种植一种作物，相邻的试验田(有公共边)不能种植同一种作物，共有多少种不同的种植方法？
11.将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，如图是一种填法，则不同的填写方法共有( )
A．6种 B．12种
C．24种 D．48种
12．某公司新招聘进8名员工，平均分给甲、乙两个部门，其中2名英语翻译人员不能分给同一个部门，另外3名电脑编程人员也不能分给同一个部门，则不同的分配方案种数是( )
A．18 B．24 C．36 D．72
13．(多选)用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的三位自然数，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301,423等都是“凹数”，则下列结论中正确的是( )
A．组成的三位数的个数为60
B．在组成的三位数中，偶数的个数为30
C．在组成的三位数中，“凹数”的个数为20
D．在组成的三位数中，“凹数”的个数为30
14.如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个．
15．现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则不同的选取种数为________，m，n都取到奇数的概率为________．
16．一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n(n≥3，n∈N*)等份，种植红、黄、蓝三种颜色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花．
(1)如图①，圆环分成3等份，分别为a1，a2，a3，则有多少种不同的种植方法？
(2)如图②，圆环分成4等份，分别为a1，a2，a3，a4，则有多少种不同的种植方法？
参考答案与详细解析
1．D [电话号码是七位数字时，该城市可安装电话9×106部，同理升为八位时为9×107部，所以可增加的电话部数是9×107－9×106＝8.1×107.]
2．D [按照车主的要求，左数第1个号码有5种选法，第2个号码有3种选法，其余3个号码各有4种选法，因此共有5×3×4×4×4＝960(种)情况．]
3．D [先将3把空椅子隔开摆放，此时3把空椅子中间和两边共有4个空隙供3人(不妨记为甲、乙、丙)选择就座，因此可分三步：甲从4个空隙中任选一个空隙，有4种不同的选择；乙从余下的3个空隙中任选一个空隙，有3种不同的选择；丙从余下的2个空隙中任选一个空隙，有2种不同的选择．根据分步乘法计数原理，得任何两人不相邻的坐法种数为4×3×2＝24.]
4．D [选择参观路线分步完成：第一步选择三个“环形”路线中的一个，有3种方法，再按逆时针或顺时针方向参观有2种方法；第二步选择余下两个“环形”路线中的一个，有2种方法，也按逆时针或顺时针方向参观有2种方法；最后一个“环形”路线，也按逆时针或顺时针方向参观有2种方法．由分步乘法计数原理知，共有3×2×2×2×2＝48(种)方法．]
5．A [第1个区域有6种不同的涂色方法，第2个区域有5种不同的涂色方法，第3个区域有4种不同的涂色方法，第4个区域有3种不同的涂色方法，第5个区域有4种不同的涂色方法，第6个区域有3种不同的涂色方法，根据分步乘法计数原理，共有6×5×4×3×4×3＝4 320(种)不同的涂色方法．]
6．B [①甲同学选择牛，乙有2种选法，丙有10种选法，选法有1×2×10＝20(种)，②甲同学选择马，乙有3种选法，丙有10种选法，选法有1×3×10＝30(种)，所以共有20＋30＝50(种)选法．]
7．180
解析 依次给区域 Ⅰ , Ⅱ , Ⅲ , Ⅳ 涂色分别有5,4,3,3种方法，根据分步乘法计数原理，不同的涂色方法有5×4×3×3＝180(种)．
8．7
解析 由四位数是偶数知，最后一位是2.在四位数中，当出现1个1时，有1 222,2 122,2 212，共3个；当出现2个1时，有1 122,1 212,2 112，共3个；当出现3个1时，只有1 112这1个四位偶数．故数字1,2都出现的四位偶数有3＋3＋1＝7(个)．
9．解 (1)1号盒中无球即A，B，C三个球只能放入2,3,4号盒子中，有33＝27(种)放法．
(2)1号盒中有球可分三类：一类是1号盒中有一个球，共有3×32＝27(种)放法，一类是1号盒中有两个球，共有3×3＝9(种)放法，一类是1号盒中有三个球，有1种放法．
共有27＋9＋1＝37(种)放法．
10．解 方法一 第一步，种植A试验田，有4种方法；
第二步，种植B试验田，有3种方法；
第三步，若C试验田种植的作物与B试验田相同，
则D试验田有3种方法，
此时有1×3＝3(种)种植方法．
若C试验田种植的作物与B试验田不同，
则C试验田有2种种植方法，D试验田也有2种种植方法，此时有2×2＝4(种)种植方法．
由分类加法计数原理知，有3＋4＝7(种)种植方法．
第四步，由分步乘法计数原理得，
共有N＝4×3×7＝84(种)不同的种植方法．
方法二 (1)若A，D种植同种作物，
则A，D有4种不同的种法，B有3种种植方法，C也有3种种植方法，由分步乘法计数原理得，
共有4×3×3＝36(种)种植方法．
(2)若A，D种植不同作物，则A有4种种植方法，D有3种种植方法，B有2种种植方法，C有2种种植方法，由分步乘法计数原理得，共有4×3×2×2＝48(种)种植方法．
综上所述，由分类加法计数原理得，共有N＝36＋48＝84(种)种植方法．
11．B [假设第一行为1,2,3，则第二行第一列可为2或3，此时其他剩余的空格都只有一种填法，又第一行有3×2×1＝6(种)填法．故不同的填写方法共有6×2＝12(种)．]
12．C [由题意可得，分两类：①甲部门要2名电脑编程人员，则有3种方法；翻译人员的分配有2种方法；再从剩下的3个人中选1人，有3种方法，共3×2×3＝18(种)分配方案．②甲部门要1名电脑编程人员，则有3种方法；翻译人员的分配有2种方法；再从剩下的3个人中选2人，有3种方法，共3×2×3＝18(种)分配方案．由分类加法计数原理，可得不同的分配方案共有18＋18＝36(种)．]
13．BC [对于A，因为百位数上的数字不能为零，所以组成的三位数的个数为4×4×3＝48，故A错误；
对于B，将组成的三位数的偶数分为两类，①个位为0，则有4×3＝12(个)，②个位为2或4，则有2×3×3＝18(个)，所以在组成的三位数中，偶数的个数为12＋18＝30，故B正确；
对于C，D，将这些“凹数”分为三类，①十位为0，则有4×3＝12(个)，②十位为1，则有3×2＝6(个)，③十位为2，则有2×1＝2(个)，所以在组成的三位数中，“凹数”的个数为12＋6＋2＝20，故C正确，D错误．]
14．40
解析 满足条件的有两类：
第一类，与正八边形有两条公共边的三角形有8个；
第二类，与正八边形有一条公共边的三角形有
8×4＝32(个)．
所以满足条件的三角形共有8＋32＝40(个)．
15．63
解析 因为正整数m，n满足m≤7，n≤9，所以(m，n)所有可能的取值有7×9＝63(种)，其中m，n都取到奇数的情况有4×5＝20(种)，因此所求概率为.
16．解 (1)先种植a1部分，有3种不同的种植方法，再种植a2，a3部分．
因为a2，a3与a1的颜色不同，a2，a3的颜色也不同，
所以由分步乘法计数原理得，
不同的种植方法有3×2×1＝6(种)．
(2)当a1，a3不同色时，
有3×2×1×1＝6(种)种植方法，当a1，a3同色时，
有3×2×1×2＝12(种)种植方法，
由分类加法计数原理得，共有6＋12＝18(种)种植方法．
