反比例函数
学习目标：
1．经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。
2．能根据实际问题中的条件确定
反比例函数的表达式。
3．能判定一个给定的函数是否是反比例函数。
学习重点：反比例函数概念。
学习难点：根据实际问题中的条件确定反比例函数的表达式
一、学前准备：
1．一辆汽车以120km/h的速度匀速行驶，那么汽
车行驶的路程s（km）随时间t（h）变化而变化，
其函数关系式为：____________________;
【答案】s = 120t
2．汽车从离开南京50km的溧水段出发开往上海，
以120km/h的速度行驶，那么汽车距离南京的路
程s(km)随时间t(h)变化而变化，其函数关系式为：
_____________________;
【答案】s = 50-120t
3．汽车从南京出发开往上海（全程约300km），全
程所用时间t (h)随速度v（km/h）的变化而变化．
（1）你能用含有v的代数式表示t吗？
【答案】
（2）利用（1）的关系式完成下表．
v（km/h） 60 80 90 100 120
t (h)
随着速度的变化．全程所用的时间发生怎样的变化？
【答案】5 ；；；3；
（3）时间t是速度v的函数吗？为什么？
【答案】是；满足函数的定义（在某变化过程 ( http: / / www.21cnjy.com )中，有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数）
预习疑难摘要：
二、探究活动：
（一）、独立思考·解决问题
1．用函数关系式表示下列问题中的两个变量之间的关系．
(1)一个面积为6400cm2的长方形的长a (m)随宽b(m)的变化而变化．
(2)某银行为资助某社会福利厂，提供了20万元的无息贷款，该厂
的平均年还款额y（万元）随还款年限x（年）的变化而变化．
(3)游泳池的容积为5000 m3向池内注水，注满水所需时间t (h)随注
水速度v (m3/h) 的变化而变化．
(4)实数m与n的积为－200，m随n的变化而变化.
【答案】a=
【答案】
【答案】
【答案】
2．想一想：
上面所求函数关系式具有什么共同特征？
【答案】两个变量的指数都是1次的，形如的形式，其中k为常数，k0
你还能举出生活中反比例函数的例子吗？每位同学找一个，与同学交流．
【答案】长方形的面积为5，长为m，宽为n，m随n的变化而变化
3．反比例函数的概念
①一般地， 叫
做反比例函数．其中x是自变量,y是x的函数, k是 ．
【答案】形如的形式，其中k为常数，k0 ；比例系数
②反比例函数的自变量x的取值范围是 ．
【答案】x0
（二）、师生探究·合作交流
1．下列关系式中的y是x的反比例函数吗？
如果是，比例系数k是多少？
（1）y = （2）y =-
（3）y =1-x （4）xy = 1
（5）y = （6）y =2x-1
【答案】（1）是，比例系数4 （2）是，比例系数
（3）不是，是一次函数 （4）是，比例系数1，是反比例函数的非标准形式xy=k
（5）不是，是一次函数 （5）是，比例系数2，是反比例函数的非标准形式y=k x-1 且 k0
2．练一练：
写出下列问题中两个变量之间的函数关系式，并指出是否为反比
例函数，如果是，指出比例系数k的值：
底边为5cm的三角形面积 y(cm2 )随底边的高x(cm) 变化而变化；
②某村有耕地面积200亩，人均占有耕地面积y(亩)随人口数量x
（人）的变化而变化；
【答案】，不是，是一次函数
【答案】，是，比例系数200
关系式xy+4=0中，y是x的反比例函数吗？若是，比例系数k等
于多少？若不是，请说明理由.
【答案】是，比例系数-4
下列数表中分别给出了变量y与x之间的对应关系，其中有一个表示的是反比例函数，你能把它找出来吗？
x 1 2 3 4
y 6 8 9 7
x 1 2 3 4
y 8 5 4 3
（A） （B）
x 1 2 3 4
y 5 8 7 6
x 1 2 3 4
y 2 1
（C）
（D）
【答案】D
三、学习体会：
1．本节课你有哪些收获？你还有哪些疑惑？
2．你认为老师上课过程中还有哪些需要注意或改进的地方？
3．预习时的疑难解决了吗？
四、自我测试
1．下列函数关系式中，y是x的反比例函数的是______________．
(1)y= （2）y= （3）y=
y=-2x-1 （5）y=（k为常数，k0） （6）xy=-5
【答案】（2）（4）（5）
2．反比例函数y=，当x=-1时，y=，这个函数的关系式为_______________．
【答案】
3．已知y与x+3成反比例，比例系数为k0，下列函数关系式中，
正确的是（ ）
（A）y=k(x+3) （B）y=+3 （C）y= （D）y=
【答案】C
4．已知一直角三角形的面积为2，它的两条直角边分别为x、y,则y
关于x的函数是（ ）
（A）y= （B）y= （C）y= （D）y=
【答案】B
5．在路程s(km)、速度v(km/h)、时间t(h)这三个量中，
如果________不变，那么_______是_________的正比例
函数；如果________不变，那么_______是_________的
反比例函数．
【答案】v；s；t；s；v；t
6．有一面积为60的梯形，其上底长是下底长的，若下底长为x，
高为y，则y与x的函数关系式是 ,
比例系数是________.
【答案】
90
五、应用与拓展
变式
已知y与2x—1成反比例,且当x=1时,y=2,那么当x=0时,y=________.
【答案】
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2．
应用与拓展
若函数y=(m-)是反比例函数,则m的值等于( )
A.±1 B.1 C. D.-
【答案】A
嗨！我是数学小博士，下面将有我来陪伴你一起学习！学习本章之前先复习好之前学过的函数概念及正比例,反比例函数概念及性质,相信你是最棒的反比例函数的应用
学习目标：
1.能用反比例函数的相关的知识分析和解决一些简单的实际问题.
2.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式.
3.在解决实际问题的过程中，进一步体会和认识反比例函数是刻画现实世界中数量关系的一种数学模型.
学习重点：掌握从实际问题中建构反比例函数模型.
学习难点：从实际问题中寻找变量之间的关系.
一、学前准备：
情境1：
小丽是一个近视眼，整天眼镜不离鼻子，但自己一直不理解自己的眼镜配制的原理，很是苦闷，近来她了解到近视眼镜的度数y（度）与镜片的焦距为x（m）成反比例，并请教师傅了解到自己400度的近视眼镜镜片的焦距为0.2m，可惜她不知道反比例函数的概念，所以她写不出y与x的函数关系式，我们大家正好学过反比例函数了，谁能帮助她解决这个问题呢？
【解析】
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二、探究活动：
（一）、独立思考·解决问题
小明将一篇24000字的社会调查报告录入电脑,打印成文.
（1）录入文字的速度v（字/min）与完成录入的时间t（min）有怎样的函数关系？
（2）小明希望能在3h内完成录入任务，那么他每分钟至少应录入多少个字？
【解析】
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做一做:
1.A,B两地相距300km,汽车以xkm/h的速度从A地到B地需yh,写出y与x的函数关系式.如果汽车的速度不超过100km/h,那么从A地到B地坐汽车需要多少时间
【答案】；3
2. 一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V＝5m3时，ρ＝1.98kg/m3.
（1）求ρ与V的函数关系式；
（2）求当V＝10m3时，氧气的密度ρ.
【解析】
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（二）、师生探究·合作交流
某自来水公司计划新建一个容积为4×1010m3的长方形蓄水池.
（1）蓄水池的底面积S（m2）与其深度h（m）有怎样的函数关系？
（2）如果蓄水池的深度设计为5m，那么蓄水池的底面积应为多少平方米？
【答案】（1）
（2）当h=5时
S==
做一做:
码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载完毕恰好用了8天时间．
（1）轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v（单位：吨/天）与卸货时间t（单位：天）之间有怎样的函数关系；
（2）由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？
【解析】
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三、学习体会：
1．本节课你有哪些收获？你还有哪些疑惑？
2．你认为老师上课过程中还有哪些须要注意或改进的地方？
3．预习时的疑难解决了吗？
四、自我测试：
1.如图,面积为2的△ABC,一边长为x,这边上的高为y,则y与x的变化规律用图象表示大致为( )
【答案】C
2.如图,向高层建筑屋顶的水箱注水,水对水箱底部的压强P与水深h的函数关系的图象是(水箱能容纳的水的最大高度为H).
【答案】B
3. 已知一个长方体的体积是100cm3，它的长是y cm，宽是5cm，高是xcm.
（1）写出用高表示长的函数关系式；
(2)求x的取值范围
（3）当x＝3时，求y的值.
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五、应用与拓展：
已知函数为反比例函数．
(1)求m的值；
(2)它的图象在第几象限内？在各象限内，y随x的增大如何变化？
(3)当－3≤x≤时，求此函数的最大值和最小值
【答案】
（1）∵ ∴m=±1
∵m+1≠0 ∴m≠-1
∴m=1
（2）一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小
（3）∵在每个象限内，y随x的增大而减小
当x=-3时，最大值为
当x= 时，最小值为-4反比例函数的图象与性质
学习目标：
1．认识反比例函数的图象的性质及其简单应用．
2．结合反比例函数的图象，揭示与其对应的函数关系式之间的内在联系及其几何意义．
3．能根据图象分析并掌握反比例函数的性质，进一步感受形数结合的思想方法．
学习重点：会用待定系数法求反比例函数的关系式
学习难点：分析并掌握反比例函数的性质
学前准备：
1．如果x与y满足，则y是x的（ ）
（A） 正比例函数 （B） 反比例函数
（C） 一次函数 （D） 二次函数
【答案】A
2.画出下列反比例函数的图像：
(1) (2)
【解析】（1）
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二、探究活动：
（一）、独立思考·解决问题
1.观察前面所画图象,探索图象的特征
(1)每个函数的图象分别在哪几个象限？
(2)在每一个象限内，随着x的增大，y是怎样变化的？
(3)反比例函数的图象与x轴有交点吗？与y有交点吗？为什么？
【答案】（1）一三；二四
（2）在每一个象限内，y随着x的增大而减小，
在每一个象限内，y随着x的增大而增大
（3）没有，因为x≠0，y≠0
由此得到反比例函数图象的性质:
2.【小结】
反比例函数y=(k为常数，k≠0)的图象有什么特征？ 是
①当k＞0时，双曲线的两支分别在 象限，在每一个象限内，y随x的增大 ；
②当k〈0时，双曲线的两支分别在 ，在每一个象限内，y随x的增大 ；
【答案】双曲线；一三；减小；二四；增大
做一做:
1.反比例函数①y = ；② y =；③ 7y = —；④ y =的图像中：
（1）在第一、三象限的是 ，在第二、四象限的是
（2）在其所在的每一个象限内，y随x的增大而增大的是
【答案】（1）①②④；③
（2）③
2．当时，下列图象中表示函数的图像是 （ ）
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【答案】C
（二）、师生探究·合作交流
1.已知反比例函数y =的图象经过A（—3，2）
（1）求k的值
（2）画出函数的图象
（3）这个函数的图象在哪几个象限？y随x的增大怎样变化？
（4）点B（，—12）、C（—3，5）在这个函数的图象上吗？
【解析】
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（3）二四；在每一个象限内，y随着x的增大而增大
（4）B点在，C点不在
2.(1)在上题的图象上画出点A(3, -2),找出点A关于原点O的对称点A‘,点A’在这个图象上吗 画出函数图象上的任意一点B, 找出点B关于原点O的对称点B‘, 点B’在这个图象上吗
(2)如果将反比例函数的图象绕原点旋转，你有什么发现？
【答案】（1）在；在
（2）反比例函数是中心对称图形
练一练 :
1．已知反比例函数的图象经过点A（—6，—3）．
（1）写出函数关系式
（2）点B（4，2），C（9，2）在这个函数的图象上吗？
（3）这个函数的图象在哪几个象限？y随x的增大怎样变化？
【解析】
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（3）一三；在每一个象限内，y随着x的增大而减小
三、学习体会：
1．本节课你有哪些收获？你还有哪些疑惑？
2．你认为老师上课过程中还有哪些需要注意或改进的地方？
3．预习时的疑难解决了吗？
四、自我测试：
1．如果反比例函数在每个象限内，y随x
的增大而减小，那么它的图象分布在（ ）
A.第一、二象限 B. 第一、三象限
C. 第二、三象限 D. 第二、四象限
【答案】B
2．已知反比例函数，当时，其图
象的两个分支在第二、四象限内；当时，其图
象在每个象限内随的增大而减小．
【答案】；
3．若反比例函数的图像位于一、三象限内，
正比例函数过二、四象限，则k的整数
值是________.
【答案】4
4.反比例函数y= 的图像在每个象限内的函数值
y随自变量x的增大而增大, 那么k的取值范围是( )
A. k ≤ - 3 B. k ≥-3 C.k > -3 D. k <-3
【答案】D
5.下列函数中,当x>0时,y随x的增大而增大的是 ( )
A. y =2-3x B. y = C. y =-2x-1 D. y =-
【答案】D
6．反比例函数的图象过点（2，—2），
(1)求函数y与自变量x之间的关系式，它的图象在第几象限内？
(2)y随x的减小如何变化？
(3)判断点（—3，0），（—3，—3）是否在图象上？
【解析】
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五、应用与拓展：
已知反比例函数图象与直线和的
图像过同一点．当＞0时，这个反比例函数值随
的增大如何变化？
【解析】
( http: / / www.21cnjy.com )反比例函数的图象与性质
学习目标：
1．了解反比例函数图象的形状特征．
2．会画反比例函数的图象．
3．经历探索反比例函数性质的过程掌握反比例函数的性质，会用反比例函数的性质,处理简单的实际问题．
学习重点：作反比例函数的图象．
学习难点：理解反比例函数的性质．
一、学前准备：
1．函数的表示方法有
【答案】图象法、表格法、关系式法
2．画出一次函数y=2x-1和y=-2x的图象并说说各自有什么性质？
【解析】
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预习疑难摘要：
二、探究活动：
、独立思考·解决问题
1.作反比例函数y = 的图像是怎样的图形呢？：
（按下列要求尝试）
①列表：
x … －8 －4 －3 －2 －1 1 2 4 8
y= …
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点。
连线：用光滑的曲线顺次连结各点，即可得到函数y= 的图象．
【解析】
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2．你认为作反比例函数图象有哪些步骤？应注意哪些问题？
【解析】
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【注意】列表时，自变量的值可以选取绝对值相等而符号相反的一对一对的数值，这样既可简化计算，又便于描点．
3．试说说反比例函数y= 的图象有哪些特征？
【解析】
（二）、师生探究·合作交流
1．作反比例函数y= 的图象．
【解析】
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2．观察函数y= 和y= 的图象，它们有什么相同点和不同点？
【解析】
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【小结】一般地，反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是由两支曲线组成的，这种图象通常称为双曲线．
3．做一做
在平面直角坐标系中画出下列函数的图象：
（1）y= (2)
【解析】
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三、学习体会：
1．本节课你有哪些收获？你还有哪些疑惑？
2．你认为老师上课过程中还有哪些须要注意或改进的地方？
3．预习时的疑难解决了吗？
四、自我测试 ：
1．函数y=的图象是_______ ，当x>0时，该图象在第_______象限．
【答案】双曲线，一
2．已知矩形的面积为8，那么它的长y与宽 ( http: / / www.21cnjy.com )x之间的关系用图像大致可表示为 ( )．
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【答案】D
3．画出函数y=-的图象：
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【解析】
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五、应用与拓展 ：
设某一直角三角形的面积为18cm2 ,两条直角边的长分别为x(cm),y(cm)
写出y(cm)与x(cm)之间的函数关系式
画出该函数的图象
根据图象求解
①当x=4cm时,y的值
②x的值等于多少时,该直角三角形是等腰三角形
【解析】注意第（2）问中的列表，请自己列出
( http: / / www.21cnjy.com )反比例函数的图象与性质
学习目标：加深对反比例函数和反比例函数的图象及其性质的理解．
学习重点：反比例函数的图象及性质的运用．
学习难点：利用反比例函数的图象解题．
一、学前准备：
1.填空：
反比例函数
函数表达式
图象形状
k>0 位置
增减性
k<0 位置
增减性
【解析】
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1．对于函数y＝-,当x＞0时，y 0,y随x增大而 .
【答案】＞；增大
2．反比例函数的图象过点（2，-2），那么函数y与自变量x
之间的关系式是________ ，它的图象在第_______ 象限内.
【答案】；二、四
3．下列函数，，，
中，随的增大而减小的有（ ）
A.个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】B
二、探究活动：
（一）、独立思考·解决问题
1. 如图，是反比例函数y =的图像的一支．
(3) 点A（－3，y1）, B（－1，y2）, C（2，y3）
都在这个反比例函数的图像上，
比较y1、y2和y3的大小.
【答案】（1）第三象限
（2）∵2-m＞0
∴m＜2
（3）y2＜y1＜y3
2. 练一练:
变式：
点A（-2，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在反比例
函数y＝(k<0)的图像上，比较y1、、y2、y3的大小.
已知反比例函数的图象具有以下特征:在同
一象限内, y随x增大而增大,求n的取值范围.
【解析】（1）
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（2）∵n + 3 ＜0
∴n ＜ -3
（二）、师生探究·合作交流
2.正比例函数y = 2x的图像与反比例函数y＝的图像有一个
交点的纵坐标2. 求：
(1)k的值.
(2)根据反比例函数图像,当-3≤ x ≤-1时,求y的取值范围.
【解析】
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做一做:
已知反比例函数的图象过点(1,－2)．
(1)求这个函数的解析式，并画出图象；
(2)若点A(－5,m)在图象上，则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？
【解析】
把点(1,－2)代入中
得，则k=-2
∴
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（2）点A关于两坐标轴的对称点不在图象上；
点A关于原点的对称点在图象上
三、学习体会：
1．本节课你有哪些收获？你还有哪些疑惑？
2．你认为老师上课过程中还有哪些需要注意或改进的地方？
3．预习时的疑难解决了吗？
四、 自我测试 ：
1．在函数y＝,y＝x+5,y＝-5x的图像中，是中心
对称图形，且对称中心是原点的图像有 个.
【答案】2
2．一次函数y＝kx-2,y随x的增大而减小，那么反
比例系数y＝( )
A.当x＞0时，y＞0
B.在每个象限内，y随x的增大而减小
C.图像在第一、三象限
D.图像在第二、四象限
【答案】D
3．若点A(-2，y1)，B(-1， y2)，C(1， y3)在反比例函
数y =的图象上，则下列结论正确的是( )
A.>> B.>> C.>> D.>>
【答案】B
4.已知反比例函数y=与一次函数y=mx+b的图象交于
A(1，3)和B（n，-1）两点．
求反比例函数的解析式和一
次函数y=mx+b的解析式．
【解析】
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五、应用与拓展：
3.已知:点P是双曲线上一动点，任意一点,PA⊥OX
于A,PB⊥OY于B. 求:
（1）矩形PAOB的面积.
P点在图像上移动，矩形PAOB的面积 变化.
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