勾股定理
学习目标：认识勾股定理，并会进行简单应用.
学习过程：
一、自学新知：做一做
1．分别以图中的直角三角形三边
为边向外作正方形，求这三个正
方形的面积？
2．这三个面积之间是否存在一定关系，如果存在，那么它们的关系是什么？
勾股定理：直角三角形两直角边的 等于 .
（如右图）∵在△ABC中，∠=90°.
∴
二、例题学习：
例1．求图中未知数
SA=_____ y=_______ SB=_____
例2．填空
在△中，∠=90°.
①若，则 .②，，则 ， .
③若，则斜边上的高 .
例3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，求以AB为直径的半圆的面积．（结果保留）
例4. 波平如静的湖面上,有一朵美丽的红 ( http: / / www.21cnjy.com )莲 ,它高出水面1米，一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少
三、自主小结：
四、当堂检测：
判断
①已知、、是三角形的三边，则. （ ）
②在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方.（ ）
③在△中，∠=90°，∴.（ ）
2．直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高为 ．
3．已知一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边长的平方
为 .
4．右图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是 （ ）
A．13 B．26 C．47 D．94
5．一棵大树被大风刮倒后,折断处离地面3米，树的顶端离树根4米，这棵树原高是多少？
6.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边A ( http: / / www.21cnjy.com )C=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上,且与AE重合,你能求出CD的长吗？
五、适度作业：
(一)核心价值题：
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别是∠A、∠B、∠C所对的边.
⑴已知，则 ；⑵已知则 ；
⑶已知则 ；⑷已知∠A=45°，则 ．
2．直角三角形的两条直角边分别为20cm、15cm，其斜边上的高为( ）
A.10cm B.6cm C.12 cm D.18 cm
3．已知一个直角三角形的两条边长分别为3和4，则第三条边长的平方（ ）
A.25 B.14 C.7 D.7或25
4.若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三边长为16 cm,那么第三边上的高为 ( )
A. 12 cm B. 10 cm C. 8 cm D.6 cm
5．一等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高为（ ）
A.12cm B. C. D.
6．4.将一个直角三角形两直角边同时扩大到原来的两倍，则斜边扩大到原来的（ ）
A.4倍 B.2倍 C.不变 D.无法确定
7．一直角三角形的斜边比直角边大4，另一边为8，求斜边的长．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=24，长方形ABDE的边BD=10，求这个长方形的面积．
(二)知识与技能演
9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm,CD⊥AB于D.
求：⑴AC的长；⑵△ABC的面积；⑶CD的长．
10.如图，有一个高1.5 ( http: / / www.21cnjy.com )米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒应有多长？
11.P为正方形ABCD内一点，将△ABP绕B顺时针旋转90°到△CBE的位置，若BP＝a.求：以PE为边长的正方形的面积
知者加速：
如图，长5米的梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为3m，梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于4m，同时梯子的顶端B下降至B′，求BB′的长．
①
②
③
A
B
C
a
b
c勾股定理
学习目标
1.通过拼图,用面积的方法说明勾股定理的正确性.
2.通过实例应用勾股定理,培养学生的知识应用技能.
学习过程
自学新知：
1.阅读课本第80-81页，完成下列问题:
(1)我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦。图（1）称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的。图（2）是在北京召开的2002年国际数学家大会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就. 你能用不同方法表示大正方形的面积吗
2.剪四个完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图所示的图形。大正方形的面积可以表示为__________________________,又可以表示为_____________________________.对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论。用上面得到的完全相同的四个直角三角形，还可以拼成如下图所示的图形，与上面的方法类似，也能说明勾股定理是正确的方法（请逐一说明） 。
( http: / / www.21cnjy.com )
归纳其共有的证明思路：利用图形的割补，借助前后的面积相等形成关于三边的数量关系。
二．例题学习:
例1.在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.
(1) 已知：a=6，ｂ=8，求c； (3) 已知：c=13，b=5，求a；
(2) 已知：a=40，c=41，求b； (4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b.
2.一个直角三角形的三边长为三个连续偶数,则它的三边长分别为 。
3.在直角三角形中，两边的长为5，4，求第三边的平方。
4.如图，△ABC中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D， AC=12，BC=9，
求：CD的长。
5.如图 ，为了求出湖两岸的A、B ( http: / / www.21cnjy.com )两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形.通过测量，得到AC长160米，BC长128米.问从点A穿过湖到点B有多远？
6.如图，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1km，BD=3km，CD=3km，现在河边CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米，请你在CD选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用。
三：自主小结：
四．当堂检测：
1.如图,64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A所
代表的正方形面积是 _________ 。
2.直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高为 。
3.已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，这时甲、乙两人相距 。
4.一个长方形的长为12cm，对角线长为13cm，则该长方形的周长为 。
5.以直角三角形的三边为边向形外作正方形P、Q、K，若SP＝4，SQ＝9，则Sk＝ 。
6.假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图，
他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又
往西走了3千米，再折向北走了6千米处往东一拐，仅走了1
千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？
五．适度作业：
（一）．核心价值题：
1.填空： 在RtΔABC中,∠C=900.
①若a=6,c=10 ,则b=____； ②若a:b=3:4,c=10,则a=____，b=____；
③若a=6,b=8,则斜边c上的高h=______。
2.选择：
①若直角三角形的三边为6、8、x，则x的长为 （ ）
A.6 B.8 C.10 D.以上答案均不对
②如图，△ABC中，∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24，三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离为 （ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
③如图所示，有一块直角三角形纸片，两直 ( http: / / www.21cnjy.com )角边AB=6，BC=8，将三角形ABC折叠,使AB落在斜边AC上,折痕为AD,则BD的长为 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
④直角三角形的两直角边长为5、12，则其斜边上的高为 （ ）
A．6 B．8 C． D．
3.①如图3，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长是7cm,则正方形A、B、C、D的面积之和是______。
②如图4,小方格的面积为1,找出图中以格点为端点且长度为5的线段。
③如图5,这是美国第20届总统加菲尔德的构图,其中RtΔABC和RtΔBED是完全相同的.AC=BD=b,CB=DE=a,∠C=∠D=90°, AB=BE=c. 请你试用此图形验证勾股定理的正确性。
④如图6,以ΔABC的三边为直径的3个半圆的面积有什么关系 请你说明理由。
4.如图，四边形ABCD中，AC⊥BD，AC与BD交于O点，试说明
（二）.知识与技能演练题 ：
6. P为正方形ABCD内一点，将△ABP绕B顺时针旋转90°
到△CBE的位置，若BP＝a.求：以PE为边长的正方形的面积.
（三）.知者加速题：
7.如图,折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边，使点D落在BC边上的点F处，若AB=8，AD=10.
（1）你能说出图中哪些线段的长
（2）求EC的长。
△若RtΔABC三边的长分别是x、x+1和5，则ΔABC的周长为____________，ΔABC的面积为____________。
400
64
A
图6
图5
图4
图3勾股定理的逆定理
学习目标：会应用直角三角形的判定条件判定一个三角形是直角三角形.
学习过程：
一、自学新知：
（一）自学内容一：
1.画图：画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：厘米）．
A．3，4，3； B．3，4，5； C．3，4，6； D．5，12，13．
判断：请判断一下上述你所画的三角形的形状．
2.猜想：三角形的三边满足什么条件时，这个三角形是直角三角形？
结论： .
几何语言： ∵
∴
这个结论与勾股定理有什么关系？
3.勾股定理的逆定理： .
注： 满足 的三个 ,称为勾股数，如：3、4、5就是一组勾股数，人们通过研究发现：勾股数有无数多组。
（二）自学内容二：
练习1：下列几组数能否为直角三角形的三边 说说你的理由.
(1)9, 12 ,15; (2)15, 36, 39; (3)12, 35, 36; (4)12, 18, 22.
练习2：(1) 3、4、5是一组勾股数，把这3个数分别扩大3倍，所得的3个数还是勾股数吗？如果扩大k倍呢？请说明理由。
（2) 设△ABC的3条边长分别是a、b、c，且, a= n2-1, b=2n, c=n2+1.填表
n a= n2-1 b=2n c=n2+1 a2+b2 c2 △ABC是不是直角三角形
n=2 3 4 5 25 25
n=3
n=4
… … … … … … …
二、例题学习：
例1 如图:AD⊥BC,垂足为D .如果CD=1,AD=2,BD=4,∠BAC是直角吗 请说明理由.
例2 如图，以三角形的三边为直径分别向三角形外侧作半圆，其中两个半圆的面积和等于另一个半圆的面积，请判断此三角形的形状，并说明理由。
三、当堂检测：
1.判断下列三个边长组成的三角形是不是直角三角形？
（1）a=2，b=3，c=4. （2）a=9，b=7，c=12. （3）a=25，b=20，c=15.
2．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（ ）
A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形。
B．如果c2= b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°。
C．如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC是直角三角形。
D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角
在△ABC中，三边长a、b、c满足(a+c)(a-c)=b2，则△ABC是什么三角形？
4.要登上9m高的建筑物，为了安全需要，需使梯子固定在一个高1m的固定架上，并且底端离建筑物6m，梯子至少需要多长？
5.如图，在△ABC中，AB=26，BC=20，BC边的中线AD=24，
求AC.
问题1：BD= DC=
问题2：三角形ABC是什么三角形？
六、适度作业： 班级：____ 姓名：________
（一）核心价值题：
1．若△ABC的两边长为8和15，则能使△ABC为直角三角形的第三边的平方是（ ）
A.161 B.289 C.17 D.167或289
2．4个三角形的边长分别为：①a=5,b ( http: / / www.21cnjy.com )=12,c=13;②a=2,b=3,c=4; ③a=2.5,b=6,c=6.5; ④a=21,b=20,c=29.其中，直角三角形的个数是（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
3.在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列能判断△ABC为直角三角形的是( )
A. a＋b＝c B. a:b:c＝3:4:5 C. a＝b＝2c D. ∠A＝∠B＝∠C
4. 三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是 （ ）
A．a:b:c=8∶16∶17 ( http: / / www.21cnjy.com ) B． a2-b2=c2 C．a2=(b+c)(b-c) D． a:b:c =13∶5∶12
5. 三角形的三边长为,则这个三角形是 ( )
A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形.
6.若三角形三边长分别是6,8,10,则它最长边上的高为 ( )
A. 6 B. 4.8 C. 2.4 D. 8
7.在△ABC中,AB＝13,AC＝ ( http: / / www.21cnjy.com )15,高AD＝12,则BC的长为 ( )
A. 14 B. 4 C.14或4 D.以上都不对
8.把三边分别BC＝3,AC＝4,AB＝5的三角形沿最长边AB翻折成△ABC ,则CC 的长为 ( )
A. B. C. D.
9. 在Rt△ABC中，斜边AB=2，则AB2+BC2+CA2=___ ____ .
10. 已知|x－12|＋|x＋y－2 ( http: / / www.21cnjy.com )5|与z2－10z＋25互为相反数，则以x、y、z为三边的三角形是 三角形.
11.如图，在四边形ABCD中，已知：AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC.
试说明AC⊥CD的理由.
12. 已知：如图，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝90°，AB＝13，BC＝12.求图形的面积.
6.如图5，在△ABC中，AB=AC=17，BC=16，求△ABC的面积。
7.如图6，在△ABC中，AD⊥BC，AB=15，AD=12，AC=13，求△ABC的周长和面积。
13. 如图，有一块直角三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，先将直角边AC沿AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长.
（二）知识与技能演练题：
1．如图所示，长方形纸片ABCD的长AD=9cm，宽AB=3cm，将其折叠，使点D与点B重合．
求：（1）折叠后DE的长；
（2）以折痕EF为边的正方形面积．
（三）知者加速题：
1．若△ABC的三边a、b、c满足条件a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，试判断△ABC的形状.勾股定理的简单应用
学习目标：1.能进一步运用勾股定理及方程解决问题；
2.在运用勾股定理及方程解决问题中，感受数学的“转化”思想.
一．复习：
阅读课本第86页到87页，完成下列各题：
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果b＝15，c＝17，求a
2. 问：我们以前已学过了中哪三种判断直角三角形的方法？
（1）什么叫勾股定理？
（2）勾股定理的逆定理是 .
二．例题教学：
例1.如图，在△ABC中，AB=26，BC=20，BC边上的中线AD=24，求AC.
例2.在△ABC中， AB=15，AD=12，BD=9,AC=13,求△ABC的周长和面积。
例3.如图，一个高20m，周长10m的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？
(建议：拿一张白纸动手操作，你一定会发现其中的奥妙)
例4. 探索活动：
一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，你认为梯子的底端会发生什么变化 与同学交流．
⑴ 若梯子的顶端距地面的垂直距离为8m,则梯子的顶端A与它的底端B哪个距墙角C远
⑵在⑴中如果梯子的顶端下滑1m,那么它的底端是否也滑动1m
⑶有人说,在滑动过程中,梯子的底端滑动的距离总比顶端下滑的距离大,你赞同吗
三．当堂检测：
1.有一个锐角为30°的直角三角形三内角度数之比为 （ ）
A.1∶2∶3 B. 2∶3∶4 C. 3∶4∶5 D.不确定
2.若一个直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边比斜边短1cm，则斜边（ ）
A.18 cm B.20 cm C.24 cm D.25 cm
3.一架2.5m长的梯子 ( http: / / www.21cnjy.com )斜靠在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙角0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯脚移动的距离是 （ ）
A. 1.5m B. 0.9m C. 0.8m D. 0.5m
4. 如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，AD=12，AC=13，BC=14. 则AB=_____.
( http: / / www.21cnjy.com )
5. 如图是一个育苗棚，棚宽a=12m， 棚高b=5m，棚长d=10m，则覆盖在棚斜面上的塑料薄膜的面积为_________m2．
6.在高5m，长13m的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需要_______m．
△7.甲、乙两人同时从同一地点匀速出发1h，甲往东走了3km，乙往南走了4km．
⑴这时甲、乙两人相距多少km？
⑵按这个速度，他们出发多少h后相距20km？
8.要登上9m高的建筑物，为了安全需要，需使梯子固定在一个高1m的固定架上，并且底端离建筑物6m，梯子至多需要多长？
四．适度作业： 题：
1．有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 （ ）
A.7m B.8m C.9m D.10m
2．如图，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（取3）是 （ ）
A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定
△3. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD是角平分线，
DE⊥BC，BC＝10cm，，则△DEC的周长是 （ ）
A. 8cm B. 10cm C .12cm D. 14cm
4.如图 ，一张宽为3，长为4的长方形纸片ABCD，沿着对角线BD对折，点C落在点C1的位置，BC1交AD于E.求AE的长.
5.如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，边长分别a、b、c（c表示斜边）然后分别以三个正方形的中心为圆心、正方形边长的一半为半径作圆，三个圆的面积分别记为S1、S2、S3，试探索三个圆的面积之间的关系.
6.如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶两相对的端点， A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是多少dm？
（二）知识与技能演练题：
7. 今年9月11号，第十五号台风 ( http: / / www.21cnjy.com )“卡努”登陆浙江，A市接到台风警报时，台风中心位于正南方向60km的B处，正以6km/h的速度沿BC方向移动，如图所示，
（1）已知A市到BC的距离AD＝36km，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？
（2）如果在距台风中心45km的 ( http: / / www.21cnjy.com )圆形区域内都将受台风影响，那么A市受到台风影响的时间有多长？
8. 如图 ，已知长方体盒子的宽a ( http: / / www.21cnjy.com )为16cm，长b为5cm，高c为7cm.一只聪明的小蚂蚁从顶点A处出发在长方体的表面爬行，想尽快吃到在顶点B处的糖果，求小蚂蚁爬行的最短路径的长.
五．知者加速：
1.△如图，有一块塑料矩形 ( http: / / www.21cnjy.com )模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P。（1）能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长，若不能，请说明理由；
（2）再次移动三角板位置，使三 ( http: / / www.21cnjy.com )角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2 cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由。
E
C
B
A
D
A
E
C
B
D
C1
A
·
·
B
3
2
20
b
a
B
A
c
