实数
学习目标：1.了解无理数和实数的概念，能对实数按要求进行分类.
2.知道实数和数轴上的点一一对应及有理数的运算在实数范围内仍然适用.
3.会比较两个无理数的大小.
学习过程：
探索：边长为1的正方形的对角线的长是多少？你能在数轴上表示这个数吗？
自学内容：
（阅读书P101的1、2、3，完成以下填空：）
1．概念：(1)____________________________称为无理数．
(2)_________ 和_______ 统称为实数．
2．分类：实数可以这样划分：
有理数 （ 有限小数或无限循环小数）
实数
无理数 （无限不循环小数）
3．讨论：有理数都可以用数轴上的一个点来表示；反之，数轴上的点是否都表示有理数？
__________与数轴上的点是一一对应的.
4．比较大小：与、与－1.5的大小，说说你的方法.
二、例题讲解：
例1．把下列各数填入相应的集合内：
，，0，，，，3.14159，－0.020020002， 0.12121121112…
(1)有理数集合{ } (2)无理数集合{ }
(3)正实数集合{ } (4)负实数集合{ }
例2．的相反数是________，||＝___________，的倒数是________；
－的相反数是_________，|－|＝_________，－的倒数是_________；
0的相反数是_________， ,的绝对值 .
例3．设m是的整数部分，n是的小数部分，试求m－n的值．
例4．已知，求的值；
三、课堂练习：
⒈在5，0.1,－π，，，，，八个实数中，无理数的个数是… （ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
⒉下列说法中正确的是…………………………………………………………………（ ）
Ａ．有理数和数轴上的点一一对应 Ｂ．不带根号的数是有理数
Ｃ．无理数就是开方开不尽的数 Ｄ．实数与数轴上的点一一对应
⒊将这三个数按从大到小的顺序排列，其中正确的是………………… （ ）.
A． B． C． D．
4．有下列各数： 其中有理数是 ，
无理数是 ．
5.在数轴上画出表示的点，再找出表示的点.
四．自主小结：（及时小结，完善自身知识体系！）
五．适度作业
核心价值题：
1．实数－1.732，，，0.121121112…，中，无理数的个数有 （ ）.
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
2．若a=,b=,则（ ）.
A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a与b不能比较大小
3．已知0＜x＜1，那么在x，，，x2中最大的是 （ ）
A．x B． C． D．x2
⒋下列说法: （1）无限小数是无理数 （2）无理数都是无限小数 （3）有理数都是实数
（4）实数可分为正实数和负实数（5）带根号的数都是无理数 （6）实数与数轴上的点一一对应 ．正确的个数是 ( )
A．5 B．4 C．3 D．2
5．如图，数轴上表示1，的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的实数为（ ）
A．－1 B．1－ C．2－ D．－2
6.大家知道是一个无理数，那么—1在哪两个整数之间 （ ）
A．1与2 B.2与3 C.3与4 D.4与5
7.已知x，y都是实数，且y＝，试求xy= .
8．的相反数是 ；倒数是 ．
9．点M在数轴上与原点相距个单位，则点M表示的实数为 ，
数轴上到的点距离为的点所表示的数是 ．
10．试比较下列各组数的大小：
⑴ －1.4 ⑵ － －3.14 ⑶
⑷ ⑸
知识与技能演练题：
11．（1）若|x－|＋（y＋）2＝0，则（x·y）2013＝ ．
（2）绝对值小于的整数是 ．
12．求下列各式中x的值：
⑴ ； ⑵ ．
知者加速
1．如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．
试化简：．
2．若a，b为有理数，且有a，b满足a2＋2b＋b＝17－，求a＋b的值．
3．已知一直角三角形的斜边长是2，周长是2+，求这个三角形的面积．
C
A
0
B
O
C
A
B平方根
教学目标： 1．知道一个正数的算术平方根的定义． 2．利用平方根的定义解决有关问题．
教学过程：
一、自学新知：
1． 49的平方根是_____，正平方根是____；0的平方根是_____，9的负平方根是________
2.求下列各数的正平方根： （1）0.16； （2） （3）0.04
3.（1）现在你能计算边长为1的正方形对角线长吗？
（2）面积为15m2的正方形房间的边长是多少？
4.定义：正数a有两个平方根，其中正数a的正的平方根，也叫做a的 ．
0的算术平方根是0.
例如，4的平方根是， 叫做4的算术平方根，记作=；
2的平方根是， 叫做2的算术平方根，记作.
二、例题学习：
例1．求下列各数的算术平方根：
⑴625 ⑵0.0081 ⑶ 6 ⑷（－5） ⑸ 3 （6）0
例2．“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远（如图课本P53），若观测点的高度为h，观测者视线能达到的最远距离为d，则d≈，其中R是地球半径（R=6400km）小丽站在海边一块岩石上，眼睛离地面的高度为20m，她观测到远处一艘船刚露出海平面，此时该船离小丽约有多少远？
例3.提炼总结
（1）= （2） （3）=
则
(4) = (5) (6) =
则
练习：①若 ② =
三、自主小结：
四、当堂检测：
1．下列说法正确的是 （ ）
A．-8是64的平方根，即 B．8是的算术平方根，即
C．±5是25的平方根，即± D．±5是25的平方根，即
2．的算术平方根是（ ）
A．±9 B．9 C．±3 D．3
3．若有意义，则a能取的最小整数为（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．－4
4．若，则x+y的值是（ ）
A．-2 B．-3 C．-4 D．无法确定
5．平方根等于它本身的数是 ；算术平方根等于它本身的数是 .
6．若3a+1没有算术平方根，则a的取值范围是 .
7．若，则y= ．
8．若 ；若 ；
9．求下列各式的值：
（1） ⑵ ⑶ ⑷ ⑸
10. 若y=，则2x＋y的算术平方根是多少？
11．若
五、适度作业： 班级_________ 姓名：
(一)核心价值题：
1．一个自然数的算术平方根是，则比它大1的自然数的算术平方根是 （ ）
A． B． C． D．
2．若a≥0,则4a2的算术平方根是 （ ）．
A．2a B．-2a C． D．∣2a∣
3．下列说法错误的是 （ ）
A．是3的平方根之一 B．是3的算术平方根
C．3的平方根就是3的算术平方根 D．的平方是3
4．的算术平方根是 （ ）．
A．4 B．±4 C．2 D．±2
5．如果有意义，则x可以取的最小整数为 （ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
6．的值是 （ ）．
A． B．3 C． D． 9
7．36的倒数的算术平方根的相反数是________．
8．式子，当x 时，这个式子有意义．
9．的算术平方根是2，x＝________．
10．如果，那么x＝_ __；如果，那么_ _；
当时，_____．
11．已知直角三角形的2条直角边的长分别是3和5，则斜边的长是 ，
已知直角三角形的2条边长分别是3和5，则第三边的长是 。
12.（-4）2的算术平方根是 .
13．的最小值是________，此时a的取值是________．
14．已知△ABC的三边分别是a,b,c,且满足，求c的取值范围.
15．已知||+求ab的算术平方根
16．若，则2x＋y的算术平方根是多少？
(二)知识与技能演
17.已知正数a和b：
（1）若a+b=2，则≤
（2）若a+b=3，则≤
（3）若a+b=6，则≤3
根据以上三个命题所提供的规律猜想：若，则≤________．
18.已知实数a、b、c在数轴上的对应点：
化简
知者加速：
如图所示，已知正方形ABCD的面积是49平方厘米，正方形EFGH的面积是25平方厘米，且AH＝DG＝CF＝BE，BF＝CG＝DH＝AE，求△AEH的面积．
b
c
0
a平方根
学习目标
教学目标：掌握平方根的定义，会用符号表示一个非负数的平方根．会求一个数的平方根，
学习过程
自学新知：
1．
（1）图一的正方形的面积为＿＿＿＿＿；
（2）图二的正方形的边长为＿＿＿＿＿；
2．填空：
， ， ， ， ，
反之： 的平方等于16， 的平方等于0.04；
（ ）=9，（ ）=，（ ）=0.
平方根的概念：
问题：(1)4的平方根是 ,的平方根是 ,
0.36的平方根是 , 3的平方根是 .
归纳：一个正数的平方根有 个，它们的关系是 .
平方根的表示方法：正数的正的平方根，记作“”，读作“根号”；正数的负的平凡根记作“”，读作“负根号”；这两个平方根合起来记作“”，读作：“正、负根号”。
（2）0的平方根是 ；-4有平方根吗？为什么？
平方根的性质： ；
；
。
开平方的概念：求一个数a(a≥0)的平方根的运算，叫做开平方。
二．例题学习:
求下列各数的平方根：
⑴25， ⑵， ⑶15， ⑷0， （5）―(―7),
（6）， (7)0.01， (8)， (9)
三：自主小结：
四．当堂检测：
1．判断下列说法是否正确：
⑴ 5是25的平方根； （ ）
⑵ 25的平方根是-5； （ ）
⑶ 0的平方根是0； （ ）
⑷ 1的平方根是1； （ ）
⑸ (―3)的平方根是―3． （ ）
２．平方得64的数是 ，因此64的平方根是 ．
3．2的平方根是 ，10的平方根是 ，的平方根是 ，的平方根是 ．
4．平方根是它本身的数是 ．
5．如果―b是a的平方根，那么 ( )．
A．； B． ； C．； D．．
6．如果x+1与2x－1都是a的平方根，那么 （ ）．
A．x=0 B．x=1 C．x=2 D．x=3
7．下列说法中: ①0.25的平方根是0.5 ②-8是-64的平方根 ③只有正数才有平方根 ④（1-m）2的平方根是 ±（m-1）．正确的有 （ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
８．求下列各数的平方根
81， 289， 0， 2， 2.56， 10.
９．求下列各式中的x：
⑴x=16 ⑵x=
10．若是25的平方根，是36的平方根，求的值．
五．适度作业：
（一）．核心价值题：
1.下列语句正确的是 （ ）．
A.一个数的平方根一定是两个数． B. 8.1的负的平方根是－0.9．
C.一个正数的两个平方根的和等于0． D．１的平方根是它本身．
2.若有意义，则a能取的最小整数为 （ ）.
A．0 B．1 C．－1 D．－4
3.若+(x-y)= 0，则x+y的值是 （ ）.
A.-2 B.-3 C.-4 D.无法确定
4.一个数的平方根只要存在，那么这个平方根 （ ）.
A.一定有两个，并且是一个正数、一个负数． B.可能等于零
C.一定小于这个数 D.必定不大于这个数．
5.若a是有理数，下列说法正确的是 （ ）.
A. a2的平方根是a B. a2的平方根是-a
C. a2的平方根是∣a∣ D. a2的平方根是±∣a∣
6.一个数如果有两个平方根，那么这两个平方根的和是 （ ）.
A.大于0 B. 等于0 C.小于0 D.大于或等于0
7．若a≥0，则4a的非负平方根是 （ ）．
A．2a B．±2a C． D．-2a
8.的平方根是 （ ）.
A.4 B.±4 C.2 D.±2
9. 25的平方根记作 ，结果是 .
10. 361的平方根是 ，64的负平方根是 ．
11.（-4）2的平方根是 ．
12. -9是数a的一个平方根，那么数a的另一个平方根是 ，数a是 ．
13. 若，则y= .
14.求下列各式的值：
⑴= ⑵ = ⑶= .
⑷= ⑸= ⑹= .
15.求下列各式中的x.
⑴若x2=49,则x= . ⑵若４(x-1)2=25,则x= .
⑶若9(x2+1)=10,则x= . ⑷若=3，则x= .
16.求下列各数的平方根．
⑴∣－1∣ ⑵1452-1442
⑶4.9×103 ⑷a2(a＞0)
17.计算：
⑴ （2）
（二）.知识与技能演练题
18.已知与互为相反数，求（2x-y）2的平方根．
19.已知2a-1的平方根是±３，3a+b-1的平方根为±４，求a+2b的平方根．
（三）.知者加速题：
20.如果一个直角三角形的两边长分别是５㎝和12㎝，那么这个三角形的面积是多少？
21.某纸箱加工厂，有一批边长为40㎝的正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形硬纸板，现准备将此纸板折成没盖的纸盒．首先在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为625㎝２的纸盒子，想一想，你怎样求出截去的小正方形的边长？
7米
7米
？
100米2
？
（图一）
（图二）实数
学习目标：了解有理数的运算在实数范围内仍然适用。
学习过程：
一.自学新知
1.在有理数范围内绝对值、相反数、倒数的意义是什么？
2.比较两个有理数的大小有哪些方法？
自学内容一
与－互为相反数，与互为倒数，，=
①实数的绝对值、相反数、倒数与有理数范围内的意义完全相同。
②有理数大小比较的方法、运算性质及运算律在实数范围内仍然适用。
③在实数范围内，任何数都可以进行开立方运算，任何非负数都可以进行开平方运算
请你填一填：
的相反数 ，的绝对值 ．
； ．
二．例题学习
例题1.比较与的大小，说说你的方法。
自学提示：估计比2大还是小，比2大还是小。
例题2.比较 -与-1.5的大小说说你的方法。
例题3.你认为 与0.5哪个大？你是怎么想的？与同学交流。
问题:比1大还小
自学内容二：
例题4.如图， a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．
试化简：．
自学内容三
1.若|x－|＋（y＋）2＝0，则＝ ．
2.化简 ．
3．计算⑴ ⑵
三．自主小结：四．当堂检测
1．计算：的值为（ ）
A．0 B．－2 C． D．
2．下列正确说法的个数有（ ）
(1)a的相反数是－a； (2) a的倒数是；
(3) a的绝对值是一个非负数；(4)和表示同一个式子。
A．1 B．2 C．3 D．4
3．若为实数，且，则 ．
4．比较大小（填＜、＞、＝）
（1） （2） （3）
5．比较下列各组数的大小：⑴与 ⑵与 ⑶与
五、适度作业：
（1）核心价值题：
1.已知0＜x＜1，那么在x，，，x2中最大的是（ ）
A．x B． C． D．x2
2. a、b为实数，在数轴上的位置如图所示，则的值是 （ ）
A．－b B．b C．b－2a D．2a－b
3.四个数，，，，其中在式子2与3之间的有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4. 如图 ，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点C在数轴上，且AC＝AB，则点C所表示的数是 （ ）
A.－1 B.1－ C.2－ D.－2
5.如果一个实数的绝对值是，那么这个实数是 ．
6.若a，b都是无理数，且a＋b＝2，则a，b的值可以是 （填上一组满足条件的值即可）．
7.已知是小于的整数，且，那么的所有可能值是 ．
8.若|x－|＋（y＋）2＝0，则＝ ．
9.化简 ．
10. 求下列各式中x的值：
⑴ ； ⑵ ．
11. 计算：（1） （2）
12. 已知的整数部分为a，小数部分为b，求a－b.
（2）知识与技能演练题
1．若为实数，则多项式的值一定是 （ ）
A．正数 B．非负数 C．负数 D．无法确定
2.在实数范围内分解因式
(1) (2)
3.甲、乙两人计算的值，当a=5得到不同的答案。
甲的解答是：
乙的解答是：
哪个解答是对的？错误的解答错在那里？为什么？
4. 已知，求的算术平方根值．
（3）知者加速题
1.已知，求的值.
2.一艘渔船正以的速度由西向东追赶鱼船，在A处看见小岛C在船北偏东，40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东，已知以小岛C为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区。问：这艘渔船继续航行（追赶鱼船），是否有进入危险区的可能？
0
B
A
C
C A B
· · · · ·
0 1 2
图2.5－2
