直线与抛物线的位置关系
东方中学：吴雅琴
一、教学目标
（一）知识与技能
理解并掌握直线与抛物线的位置关系，能运用坐标法，掌握探讨抛物线的焦点弦的一些定值问题的方法.
（二）过程与方法
通过联立方程组的解析法和坐标法，研究直线与抛物线位置关系的问题，培养学生数形结合、转化与化归的能力.
（三）情感、态度与价值观
通过本节课的学习，进一步体会数形结合的思想，体验研究解析几何的基本思想，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
二、教学重点
用联立方程组的解析法解决直线与抛物线的位置关系.
三、教学难点
用坐标法对抛物线的焦点弦的相关知识推导.
四、教学过程
（一）复习引入
在前几节课，我们一起探讨了直线与椭圆的位置关系。今天我们开始探究直线与抛物线的位置关系。
（二）新课讲授
探究活动：
观察图像判断直线与抛物线的位置关系：相离（无公共点）、相切（一个公共点）、相交（设问：几个公共点？一个或者两个）
如何根据直线方程和抛物线方程确定两者之间的位置关系？
例1、当k为何值时,直线y= kx+2与抛物线y2=2x有（1）两个交点（2）一个交点（3）没有交点？
小结：直线与抛物线问题解题步骤：（1）把直线方程代入抛物线（2）①得到一元一次方程：直线与抛物线相交有一个交点；②得到一元二次方程：计算判别式△，△>0，相交有两个交点；△=0，相切有一个交点；△<0，相离没有交点。
练习1：（1）判断直线y=6与抛物线y2=4x的位置关系，若相交，求交点坐标。
（2）判断直线y=x-1与抛物线y2=4x的位置关系，若相交，求弦长。
例2、求过定点P（0，1）且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线方程。
练习2：（1）过点M（2，-4）与抛物线y2 =8x仅有一个公共点的直线有__ 条
（2）直线y=-x+m与抛物线x2 =-4y有且只有一个公共点，则m的值是______
（3）设抛物线y2 =8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是______
（4）直线y=x-2与抛物线y2 =4x交于两点A、B，则弦AB的中点坐标为____，|AB|=____
（三）课堂小结
1、进一步用方程的思想，解决直线与抛物线的位置关系的问题，特别注意只有一个公共点的位置关系；
2、熟练运用坐标法解决抛物线的“中点弦”“弦长”及“焦点弦”的有关问题，其中抛物线的焦点弦的性质与定义紧密联系，还具有不少有趣的性质.
五、布置作业
课件11张PPT。直线与抛物线的位置关系1、直线和椭圆F1F20xy一、直线与抛物线位置关系种类
相交
相离相切一个交点或者两个交点 例1 当k为何值时,直线y= kx+2与抛物线(1)两个交点(2)一个交点,(3)没有交点
直线与抛物线:把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线相交(一个交点)计算判别式判别式大于 0，两个交点判别式等于 0，一个交点判别式小于 0，没有交点二、判断方法探讨1、直线与抛物线的对称轴平行例：判断直线 y = 6与抛
物线 y2 =4x的位置
关系及求交点坐标？ 计算结果：
得到一元一次方程，容易解出交点坐标为（9，6）2、直线与抛物线的对称轴不平行 xyO例：判断直线 y = x -1与
抛物线 y2 =4x 的位置
关系。计算结果：
相交,弦长为8。若相交，求弦长AB 例2 求过定点P（0，1）且与抛物线 只有一个公共点的直线的方程.由{ 得 {故直线 x=0与抛物线只有一个交点. 解: (1)若直线斜率不存在,则过点P的直线方程是由方程组 { 消去 y 得
(2)若直线斜率存在,设为k,则过P点的
直线方程是y=kx+1,x=0.
故直线 y=1 与抛物线只有一个交点 .当k≠0时，若直线与抛物线只有一个公共点，则当 k=0时，x= ,y=1.
结合图像练习1、过点M（2，-4）与抛物线y2 =8x仅有一个公共点的直线有__ 条
2、直线y=-x+m与抛物线x2 =-4y有且只有一个公共点，则m的值是______
3、设抛物线y2 =8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是______
4、直线y=x-2与抛物线y2 =4x交于两点A、B，则弦AB的中点坐标为____，|AB|=____直线与抛物线:把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线相交(一个交点)计算判别式判别式大于 0，两个交点判别式等于 0，一个交点判别式小于 0，没有交点思考 过抛物线y=ax2(a>0)的顶点任作两条垂直的弦OA、OB.
(1)求证：直线AB恒过一定点；
(2)求AB中点M的轨迹方程。
