第12课时 反比例函数的图象与性质
【知识要点】
1.反比例函数解析式的三种形式
(1)y= (k≠0,k为常数).
(2)y=k x-1 (k≠0,k为常数).
(3)xy= k (k≠0,k为常数).
【对点练习】
1.若反比例函数y=(k≠0)的图象经过点(2,-3),则它的图象也一定经过的点是(C)
A.(-2,-3) B.(-3,-2)
C.(1,-6) D.(6,1)
【知识要点】
2.反比例函数的图象与性质
(1)反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象是 双曲线 ,且关于 原点 对称.
(2)反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象和性质:
函数 图象 所在象限 性质
y= (k为常数, k≠0) k>0 一、三象限 (x,y同号) 在每个象限内,y随x增大而减小
k<0 二、四象限 (x,y异号) 在每个象限内,y随x增大而增大
【对点练习】
2.(1)若点A(-5,y1),B(1,y2),C(5,y3)都在反比例函数y=-的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是(B)
A.y1C.y1(2)(教材再开发·人教九下P9T8改编)一次函数y=ax+b与反比例函数y=(a,b为常数且均不等于0)在同一坐标系内的图象可能是(D)
【知识要点】
3.解析式的确定(待定系数法)
设:设反比例函数的解析式为y=(k≠0);
↓
代:把已知的一对x,y的值或图象上一个点的
↓ 坐标代入解析式,得到关于k的一个方程;
解:解方程,求得k;
↓
回代:把k代回y=中.
【对点练习】
3.(1)已知反比例函数的图象经过点(2,-4),那么这个反比例函数的解析式是(D)
A.y= B.y=-
C.y= D.y=-
(2)若点(2,3)在反比例函数y=的图象上,则k的值为 6 .
【知识要点】
4.反比例函数中k的几何意义
如图,设点P(a,b)是双曲线y=上任意一点,作PA⊥x轴于A点,PB⊥y轴于B点,则矩形PBOA的面积是 |k| (△PAO和△PBO的面积都是 |k| ).
【对点练习】
4.如图,已知点A为反比例函数y=(x<0)的图象上一点,过点A作AB⊥y轴,垂足为B,若△OAB的面积为3,则k的值为(D)
A.3 B.-3 C.6 D.-6
考点1 反比例函数的图象与性质
【示范题1】(2024·滨州中考)点M(x1,y1)和点N(x2,y2)在反比例函数y=(k为常数)的图象上,若x1<0A.y1y2>0
C.y1<00>y2
【答题关键指导】
1.比较双曲线上两点的纵坐标时:
(1)掌握反比例函数的增减性,当k>0时,在每一象限内y随x的增大而减小,当k<0时在每一象限内y随x的增大而增大.
(2)要先判断两点是否在同一分支上,若在同一分支上按照反比例函数的增减性比较;若在两个分支上,可按纵坐标的正负比较.
2.过反比例函数图象上的点作坐标轴的垂线,形成的矩形面积是|k|,形成的三角形的面积是|k|.
【跟踪训练】
1.(2024·遂宁中考)反比例函数y=的图象在第一、三象限,则点(k,-3)在第 四 象限.
2.(2024·陕西中考)已知点A(-2,y1)和点B(m,y2)均在反比例函数y=-的图象上.若0”“=”或“<”)
考点2 确定反比例函数解析式
【示范题2】(2024·重庆中考A卷)已知点(-3,2)在反比例函数y=(k≠0)的图象上,则k的值为(C)
A.-3 B.3 C.-6 D.6
【答题关键指导】
确定反比例函数解析式的步骤
(1)设出解析式y=(k是常数,k≠0).
(2)把已知的一对x,y的值代入解析式,得到关于待定系数k的方程.
(3)解这个方程求出待定系数k.
(4)将所求得的待定系数k的值代入所设的解析式中.
【跟踪训练】
(2024·扬州中考)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,0),点B在反比例函数y=(x>0)的图象上,BC⊥x轴于点C,∠BAC=30°,将△ABC沿AB翻折,若点C的对应点D落在该反比例函数的图象上,则k的值为 2 .
考点3 反比例函数的应用
【示范题3】(2024·连云港中考)杠杆平衡时,“阻力×阻力臂=动力×动力臂”.已知阻力和阻力臂分别为1 600N和0.5 m,动力为F(N),动力臂为l(m).则动力F关于动力臂l的函数解析式为 F= .
【答题关键指导】
反比例函数解决实际问题的步骤
(1)审清题意,找出题目中的常量、变量,并厘清常量与变量之间的关系.
(2)根据常量与变量之间的关系,设出函数解析式,待定的系数用字母表示.
(3)由题目的已知条件列出方程,求出待定系数.
(4)写出函数解析式,并注意解析式中变量的取值范围.
(5)用函数的图象和性质解决实际问题.
【跟踪训练】
(2024·山西中考)机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置,其最快移动速度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数.已知一款机器狗载重后总质量m=60 kg时,它的最快移动速度v=6 m/s;当其载重后总质量m=90 kg时,它的最快移动速度v= 4 m/s.
考点4 与反比例函数有关的综合问题
【示范题4】(2024·苏州中考)如图,点A为反比例函数y=-(x<0)图象上的一点,连接AO,过点O作OA的垂线与反比例函数y=(x>0)的图象交于点B,则的值为(A)
A. B. C. D.
【答题关键指导】
一次函数与反比例函数的综合应用的三个方面
(1)探求同一坐标系下两函数的图象常用排除法.
(2)探求两函数解析式常利用两函数图象的交点坐标.
(3)探求两图象交点坐标,常利用解方程(组)的方法求解.
【跟踪训练】
(2024·江西中考)如图,△AOB是等腰直角三角形,∠ABO=90°,双曲线y=(k>0,x>0)经过点B,过点A(4,0)作x轴的垂线交双曲线于点C,连接BC.
(1)点B的坐标为 ;
(2)求BC所在直线的解析式.
【解析】(1)过点B作x轴的垂线,垂足为M,
∵点A坐标为(4,0),
∴OA=4.
又∵△OAB是等腰直角三角形,
∴BM=OM=AM=OA=2,
∴点B的坐标为(2,2).
答案:(2,2)
(2)将点B坐标代入反比例函数解析式得,
k=2×2=4,
∴反比例函数解析式为y=.
∵AC⊥x轴,
∴xC=xA=4.
将x=4代入反比例函数解析式得,y=1,
∴点C的坐标为(4,1).
设直线BC的函数解析式为y=mx+n,
将点B和点C的坐标代入函数解析式得,
,解得,
所以直线BC的函数解析式为y=-x+3.
1.(2023·福建中考)如图,正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y=和y=的图象的四个分支上,则实数n的值为(A)
A.-3 B.- C. D.3
2.(2022·福建中考)已知反比例函数y=的图象分别位于第二、第四象限,则实数k的值可以是 -3(答案不唯一) .(只需写出一个符合条件的实数)
3.(2024·福建中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=的图象与☉O交于A,B两点,且点A,B都在第一象限.若A(1,2),则点B的坐标为 (2,1) . 第12课时 反比例函数的图象与性质
【知识要点】
1.反比例函数解析式的三种形式
(1)y= (k≠0,k为常数).
(2)y=k (k≠0,k为常数).
(3)xy= (k≠0,k为常数).
【对点练习】
1.若反比例函数y=(k≠0)的图象经过点(2,-3),则它的图象也一定经过的点是( )
A.(-2,-3) B.(-3,-2)
C.(1,-6) D.(6,1)
【知识要点】
2.反比例函数的图象与性质
(1)反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象是 ,且关于 对称.
(2)反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象和性质:
函数 图象 所在象限 性质
y= (k为常数, k≠0) k>0 象限 (x,y同号) 在每个象限内,y随x增大而
k<0 象限 (x,y异号) 在每个象限内,y随x增大而
【对点练习】
2.(1)若点A(-5,y1),B(1,y2),C(5,y3)都在反比例函数y=-的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y1C.y1(2)(教材再开发·人教九下P9T8改编)一次函数y=ax+b与反比例函数y=(a,b为常数且均不等于0)在同一坐标系内的图象可能是( )
【知识要点】
3.解析式的确定(待定系数法)
设:设反比例函数的解析式为y=(k≠0);
↓
代:把已知的一对x,y的值或图象上一个点的
↓ 坐标代入解析式,得到关于k的一个方程;
解:解方程,求得k;
↓
回代:把k代回y=中.
【对点练习】
3.(1)已知反比例函数的图象经过点(2,-4),那么这个反比例函数的解析式是( )
A.y= B.y=-
C.y= D.y=-
(2)若点(2,3)在反比例函数y=的图象上,则k的值为 .
【知识要点】
4.反比例函数中k的几何意义
如图,设点P(a,b)是双曲线y=上任意一点,作PA⊥x轴于A点,PB⊥y轴于B点,则矩形PBOA的面积是 (△PAO和△PBO的面积都是 ).
【对点练习】
4.如图,已知点A为反比例函数y=(x<0)的图象上一点,过点A作AB⊥y轴,垂足为B,若△OAB的面积为3,则k的值为( )
A.3 B.-3 C.6 D.-6
考点1 反比例函数的图象与性质
【示范题1】(2024·滨州中考)点M(x1,y1)和点N(x2,y2)在反比例函数y=(k为常数)的图象上,若x1<0A.y1y2>0
C.y1<00>y2
【答题关键指导】
1.比较双曲线上两点的纵坐标时:
(1)掌握反比例函数的增减性,当k>0时,在每一象限内y随x的增大而减小,当k<0时在每一象限内y随x的增大而增大.
(2)要先判断两点是否在同一分支上,若在同一分支上按照反比例函数的增减性比较;若在两个分支上,可按纵坐标的正负比较.
2.过反比例函数图象上的点作坐标轴的垂线,形成的矩形面积是|k|,形成的三角形的面积是|k|.
【跟踪训练】
1.(2024·遂宁中考)反比例函数y=的图象在第一、三象限,则点(k,-3)在第 象限.
2.(2024·陕西中考)已知点A(-2,y1)和点B(m,y2)均在反比例函数y=-的图象上.若0”“=”或“<”)
考点2 确定反比例函数解析式
【示范题2】(2024·重庆中考A卷)已知点(-3,2)在反比例函数y=(k≠0)的图象上,则k的值为( )
A.-3 B.3 C.-6 D.6
【答题关键指导】
确定反比例函数解析式的步骤
(1)设出解析式y=(k是常数,k≠0).
(2)把已知的一对x,y的值代入解析式,得到关于待定系数k的方程.
(3)解这个方程求出待定系数k.
(4)将所求得的待定系数k的值代入所设的解析式中.
【跟踪训练】
(2024·扬州中考)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,0),点B在反比例函数y=(x>0)的图象上,BC⊥x轴于点C,∠BAC=30°,将△ABC沿AB翻折,若点C的对应点D落在该反比例函数的图象上,则k的值为 .
考点3 反比例函数的应用
【示范题3】(2024·连云港中考)杠杆平衡时,“阻力×阻力臂=动力×动力臂”.已知阻力和阻力臂分别为1 600N和0.5 m,动力为F(N),动力臂为l(m).则动力F关于动力臂l的函数解析式为 .
【答题关键指导】
反比例函数解决实际问题的步骤
(1)审清题意,找出题目中的常量、变量,并厘清常量与变量之间的关系.
(2)根据常量与变量之间的关系,设出函数解析式,待定的系数用字母表示.
(3)由题目的已知条件列出方程,求出待定系数.
(4)写出函数解析式,并注意解析式中变量的取值范围.
(5)用函数的图象和性质解决实际问题.
【跟踪训练】
(2024·山西中考)机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置,其最快移动速度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数.已知一款机器狗载重后总质量m=60 kg时,它的最快移动速度v=6 m/s;当其载重后总质量m=90 kg时,它的最快移动速度v= m/s.
考点4 与反比例函数有关的综合问题
【示范题4】(2024·苏州中考)如图,点A为反比例函数y=-(x<0)图象上的一点,连接AO,过点O作OA的垂线与反比例函数y=(x>0)的图象交于点B,则的值为( )
A. B. C. D.
【答题关键指导】
一次函数与反比例函数的综合应用的三个方面
(1)探求同一坐标系下两函数的图象常用排除法.
(2)探求两函数解析式常利用两函数图象的交点坐标.
(3)探求两图象交点坐标,常利用解方程(组)的方法求解.
【跟踪训练】
(2024·江西中考)如图,△AOB是等腰直角三角形,∠ABO=90°,双曲线y=(k>0,x>0)经过点B,过点A(4,0)作x轴的垂线交双曲线于点C,连接BC.
(1)点B的坐标为 ;
(2)求BC所在直线的解析式.
1.(2023·福建中考)如图,正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y=和y=的图象的四个分支上,则实数n的值为( )
A.-3 B.- C. D.3
2.(2022·福建中考)已知反比例函数y=的图象分别位于第二、第四象限,则实数k的值可以是 .(只需写出一个符合条件的实数)
3.(2024·福建中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=的图象与☉O交于A,B两点,且点A,B都在第一象限.若A(1,2),则点B的坐标为 .
