第14课时 二次函数的图象与性质
【知识要点】
1.二次函数的概念及其解析式
(1)二次函数的概念:形如 y=ax2+bx+c (a,b,c是常数,a≠0)的函数.
(2)二次函数的解析式:
①一般式: y=ax2+bx+c(a≠0) .
②顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其顶点坐标是 (h,k) .
③交点式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标.
【对点练习】
1.(1)下列函数解析式中,一定为二次函数的是(C)
A.y=2x-5 B.y=ax2+bx+c
C.h= D.y=x2+
(2)(教材再开发·人教九上P37练习改编)已知二次函数的图象的顶点是(1,-2),且经过点(0,-5),则二次函数的解析式是(C)
A.y=-3(x+1)2-2 B.y=3(x+1)2-2
C.y=-3(x-1)2-2 D.y=3(x-1)2-2
(3)二次函数解析式为y=(m+1)+4x+7,则m的取值是 2 .
【知识要点】
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
(1)当a>0时:
①开口方向:向上.
②顶点坐标:.
③对称轴:直线 x=- .
④增减性:当x<-时,y随x的增大而 减小 ;
当x>-时,y随x的增大而 增大 .
⑤最值:当x=-时,y最小值= .
(2)当a<0时:
①开口方向:向下.
②顶点坐标:.
③对称轴:直线 x=- .
④增减性:当x<-时,y随x的增大而 增大 ;
当x>-时,y随x的增大而 减小 .
⑤最值:当x=-时,y最大值= .
【对点练习】
2.(1)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,对称轴为x=,且经过点(-1,0).下列结论:
①3a+b=0;②若点(,y1),(3,y2)是抛物线上的两点,则y1
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
(2)关于二次函数y=2(x-4)2+6的最大值或最小值,下列说法正确的是(D)
A.有最大值4 B.有最小值4
C.有最大值6 D.有最小值6
【知识要点】
3.二次函数图象的平移
平移前的 解析式 移动方向(m,n>0) 平移后的解析式 规律
y=a(x-h)2+k 向左平移m个单位 y=a(x-h+m)2+k 给x左加右减
向右平移m个单位 y=a(x-h-m)2+k
向上平移n个单位 y=a(x-h)2+k+n 给等号右边整体上加下减
向下平移n个单位 y=a(x-h)2+k-n
【对点练习】
3.(1)把抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线的解析式为 y=2x2+4x .
(2)将抛物线y=(x+3)2向下平移1个单位长度,再向右平移 2或4 个单位长度后,得到的新抛物线经过原点.
【知识要点】
4.二次函数与方程、不等式的关系
【对点练习】
4.(1)(教材再开发·人教九上P47T5改编)如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象,由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是(D)
A.-1B.x>5
C.x<-1
D.x<-1或x>5
(2)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(-3,0)与(1,0)两点,关于x的方程ax2+bx+c+m=0(m>0)有两个整数根,其中一个根是3,则另一个根是(A)
A.-5 B.-3
C.-1 D.3
考点1 二次函数的图象与性质
【示范题1】(2024·连云港中考)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a<0)的顶点为(1,2).小烨同学得出以下结论:①abc<0;②当x>1时,y随x的增大而减小;③若ax2+bx+c=0的一个根为3,则a=-;④抛物线y=ax2+2是由抛物线y=ax2+bx+c向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的.其中一定正确的是(B)
A.①② B.②③
C.③④ D.②④
【答题关键指导】
系数a,b,c与二次函数的图象的关系
1.a决定开口方向及开口大小
(1)当a>0时开口向上,当a<0时开口向下.
(2)|a|越大,抛物线的开口越小.
2.b和a共同决定抛物线对称轴的位置
由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-,故
(1)b=0时,对称轴为y轴.
(2)>0(即a,b同号)时,对称轴在y轴左侧.
(3)<0(即a,b异号)时,对称轴在y轴右侧.
3.c的大小决定抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点的位置,当x=0时,y=c,所以抛物线y=ax2+bx+c与y轴有且只有一个交点(0,c):
(1)c=0,抛物线经过原点.
(2)c>0,抛物线与y轴交于正半轴.
(3)c<0,抛物线与y轴交于负半轴.
【跟踪训练】
1.(2024·凉山州中考)抛物线y=(x-1)2+c经过(-2,y1),(0,y2),(,y3)三点,则y1,y2,y3的大小关系正确的是(D)
A.y1>y2>y3 B.y2>y3>y1
C.y3>y1>y2 D.y1>y3>y2
2.(2024·贵州中考)如图,二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是-3,顶点坐标为(-1,4),则下列说法正确的是(D)
A.二次函数图象的对称轴是直线x=1
B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C.当x<-1时,y随x的增大而减小
D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
3.(2024·乐山中考)已知二次函数y=x2-2x(-1≤x≤t-1),当x=-1时,函数取得最大值;当x=1时,函数取得最小值,则t的取值范围是(C)
A.0C.2≤t≤4 D.t≥2
4.(2024·泸州中考)已知二次函数y=ax2+(2a-3)x+a-1(x是自变量)的图象经过第一、二、四象限,则实数a的取值范围为(A)
A.1≤a< B.0C.0考点2 确定二次函数解析式
【示范题2】(2024·湖北中考)抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(-1,-2),抛物线与y轴的交点位于x轴上方.以下结论正确的是(C)
A.a<0 B.c<0
C.a-b+c=-2 D.b2-4ac=0
【答题关键指导】
二次函数解析式的三种常用形式
一般式y=ax2+bx+c(a≠0)、顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)和交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),答题时要根据题目的不同条件选择适当形式,建立方程或方程组,简化计算过程.
【跟踪训练】
1.(2024·陕西中考)已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表:
x … -4 -2 0 3 5 …
y … -24 -8 0 -3 -15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是(D)
A.图象的开口向上
B.当x>0时,y的值随x值的增大而减小
C.图象经过第二、三、四象限
D.图象的对称轴是直线x=1
2.(2024·眉山中考)定义运算:a b=(a+2b)(a-b),例如4 3=(4+2×3)(4-3),则函数y=(x+1) 2的最小值为(B)
A.-21 B.-9 C.-7 D.-5
考点3 二次函数与方程、不等式的关系
【示范题3】(2024·烟台中考)已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表:
x -4 -3 -1 1 5
y 0 5 9 5 -27
下列结论:
①abc>0;
②关于x的一元二次方程ax2+bx+c=9有两个相等的实数根;
③当-4④若点(m,y1),(-m-2,y2)均在二次函数图象上,则y1=y2;
⑤满足ax2+(b+1)x+c<2的x的取值范围是x<-2或x>3.
其中正确结论的序号为 ①②④ .
【答题关键指导】
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的关系
(1)当b2-4ac>0时,y=ax2+bx+c与x轴有两个交点,交点的横坐标即为ax2+bx+c=0的两个不相等的实数根.
(2)当b2-4ac=0时,y=ax2+bx+c与x轴只有一个交点,交点的横坐标即为ax2+bx+c=0的两个相等的实数根.
(3)当b2-4ac<0时,y=ax2+bx+c与x轴无交点,即ax2+bx+c=0无实数根.
2.利用二次函数图象解不等式的方法
不等式ax2+bx+c>0(或ax2+bx+c< 0)的解集就是二次函数y=ax2+bx+c的图象在 x 轴上(下)方的点所对应的 x的取值范围,不等式如果带有等号,其解集也相应带有等号.a>0时, y>0取两边,y<0取中间.
【跟踪训练】
1.(2024·达州中考)抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于两点,其中一个交点的横坐标大于1,另一个交点的横坐标小于1,则下列结论正确的是(A)
A.b+c>1 B.b=2
C.b2+4c<0 D.c<0
2.(2024·武汉中考)抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a<0)经过(-1,1),(m,1)两点,且0①b>0;
②若01;
③若a=-1,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=2无实数解;
④点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线上,若x1+x2>-,x1>x2,总有y1其中正确的是 ②③④ (填写序号).
考点4 与二次函数有关的综合题
【示范题4】(2024·赤峰中考)如图,正方形ABCD的顶点A,C在抛物线y=-x2+4上,点D在y轴上.若A,C两点的横坐标分别为m,n(m>n>0),下列结论正确的是(B)
A.m+n=1 B.m-n=1
C.mn=1 D.=1
【答题关键指导】
解数学压轴题一般可以分为三个步骤:
①认真审题,②理解题意、探究解题思路,③正确解答.
审题要全面审视题目的所有条件和答题要求,在整体上把握试题的特点、结构,以利于解题方法的选择和解题步骤的设计.
解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想,如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等.认识条件和结论之间的关系,图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系,确定解题的思路和方法.
当思维受阻时,要及时调整思路和方法,并重新审视题意,注意挖掘隐蔽的条件和内在联系,既要防止钻牛角尖,又要防止轻易放弃.
【跟踪训练】
1.(2024·新疆中考)如图,抛物线y=x2-4x+6与y轴交于点A,与x轴交于点B,线段CD在抛物线的对称轴上移动(点C在点D下方),且CD=3.当AD+BC的值最小时,点C的坐标为 (4,1) .
2.(2024·临夏州中考)在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,作直线BC.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图1,点P是线段BC上方的抛物线上一动点,过点P作PQ⊥BC,垂足为Q,请问线段PQ是否存在最大值 若存在,请求出最大值及此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)如图2,点M是直线BC上一动点,过点M作线段MN∥OC(点N在直线BC下方),已知MN=2,若线段MN与抛物线有交点,请直接写出点M的横坐标xM的取值范围.
【解析】(1)∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,
∴,解得,
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.
(2)存在.过点P作PD⊥AB于点D,交BC于点K.
∵B(3,0),C(0,3),
∴直线BC的解析式为y=-x+3.
∵OB=OC,∠BOC=90°,
∴∠CBO=45°.
∵∠KDB=90°,
∴∠PKQ=∠DKB=45°.
∵PQ⊥BC,
∴△PQK是等腰直角三角形,
∴PK=PQ,
∴PK的值最大时,PQ的值最大.
设P(m,-m2+2m+3),则K(m,-m+3),
∴PK=-m2+2m+3-(-m+3)
=-m2+3m.
∵-1<0,∴当m=时,PK的值最大,
PK的最大值=-+=,
∴PQ的最大值=PK=,
此时P(,).
(3)设M(a,-a+3),则N(a,-a+1),
当点N在抛物线上时,-a+1=-a2+2a+3,
∴a2-3a-2=0,
解得a1=,a2=.
∵线段MN与抛物线有交点,
∴满足条件的点M的横坐标的取值范围为≤xM≤0或3≤xM≤.
1.(2024·福建中考)已知二次函数y=x2-2ax+a(a≠0)的图象经过A(,y1),B(3a,y2)两点,则下列判断正确的是(C)
A.可以找到一个实数a,使得y1>a
B.无论实数a取什么值,都有y1>a
C.可以找到一个实数a,使得y2<0
D.无论实数a取什么值,都有y2<0
2.(2022·福建中考)已知抛物线y=x2+2x-n与x轴交于A,B两点,抛物线y=x2-2x-n与x轴交于C,D两点,其中n>0.若AD=2BC,则n的值为 8 .
3.(2023·福建中考)已知抛物线y=ax2-2ax+b(a>0)经过A(2n+3,y1),B(n-1,y2)两点,若A,B分别位于抛物线对称轴的两侧,且y14.(2024·福建中考)如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中A(-2,0),C(0,-2).
(1)求二次函数的解析式;
(2)若P是二次函数图象上的一点,且点P在第二象限,线段PC交x轴于点D,△PDB的面积是△CDB的面积的2倍,求点P的坐标.
【解析】(1)由题意,将A(-2,0),C(0,-2)代入y=x2+bx+c得
∴,
∴二次函数的解析式为y=x2+x-2.
(2)由题意,设P(m,n)(m<0,n>0),
由△PDB的面积是△CDB的面积的2倍,
得=2,即=2,
∴=2.
又∵CO=2,
∴n=2CO=4.
由m2+m-2=4,
得m1=-3,m2=2(舍去),
∴点P的坐标为(-3,4).
5.(2022·福建中考)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx经过A(4,0),B(1,4)两点.P是抛物线上一点,且在直线AB的上方.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍,求点P的坐标;
(3)如图,OP交AB于点C,PD∥BO交AB于点D.记△CDP,△CPB,△CBO的面积分别为S1,S2,S3.判断+是否存在最大值.若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)将A(4,0),B(1,4)代入y=ax2+bx,
∴,解得.
∴抛物线的解析式为y=-x2+x.
(2)设直线AB的解析式为y=kx+t,
将A(4,0),B(1,4)代入y=kx+t,
∴,解得,
∴y=-x+.
∵A(4,0),B(1,4),∴S△OAB=×4×4=8,
∵S△OAB=2S△PAB=8,即S△PAB=4,过点P作PM⊥x轴于点M,PM与AB交于点N,过点B作BE⊥PM于点E,如图,
∴S△PAB=S△PNB+S△PNA=PN·BE+PN·AM=PN=4,∴PN=.
设点P的横坐标为m,
∴P(1N,
∴PN=-m2+m-=.
解得m=2或m=3;
∴P或(3,4).
(3)存在.∵PD∥OB,
∴∠DPC=∠BOC,∠PDC=∠OBC,
∴△DPC∽△BOC,
∴CP∶CO=CD∶CB=PD∶OB,
∵=,=,∴+=.
设直线AB交y轴于点F.则F,
过点P作PH⊥x轴,垂足为H,PH交AB于点G,如图,
∵∠PDC=∠OBC,
∴∠PDG=∠OBF,
∵PG∥OF,
∴∠PGD=∠OFB,
∴△PDG∽△OBF,
∴PD∶OB=PG∶OF,
设P(1由(2)可知,PG=-n2+n-,
∴+==
=PG=-+.
∵16.(2023·福建中考)已知抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A(1,0),B(3,0)两点,M为抛物线的顶点,C,D为抛物线上不与A,B重合的相异两点,记AB中点为E,直线AD,BC的交点为P.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)若C(4,3),D(m,-),且m<2,求证:C,D,E三点共线;
(3)小明研究发现:无论C,D在抛物线上如何运动,只要C,D,E三点共线,△AMP,△MEP,△ABP中必存在面积为定值的三角形.请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积,不必说明理由.
【解析】(1)因为抛物线 y=ax2+bx+3 经过点A(1,0),B(3,0),
所以,解得,
所以抛物线的函数解析式为y=x2-4x+3;
(2)设直线CE对应的函数解析式为 y=kx+n(k≠0),
因为E为AB中点,所以E(2,0).
又因为C(4,3),
所以,解得 ,所以直线CE对应的函数解析式为 y=x-3.
因为点D(m,-)在抛物线上,
所以 m2-4m+3=-.
解得m= 或 m=.
又因为m<2,所以 m=,所以D(,-).
因为×-3=-,即 D(,-) 满足直线CE对应的函数解析式,
所以点D在直线CE上,即C,D,E三点共线;
(3)△ABP的面积为定值,其面积为2.
理由如下:(考生不必写出下列理由)
如图1,当C,D分别运动到点 C',D'的位置时,C,D'与D,C'分别关于直线EM对称,此时仍有 C',D',E三点共线.
设AD'与 BC'的交点为P',则P,P'关于直线EM对称,即 PP'∥x 轴.此时,PP'与AM不平行,且AM不平分线段 PP',故P,P'到直线AM的距离不相等,即在此情形下△AMP 与△AMP'的面积不相等,
所以△AMP 的面积不为定值.
如图2,当C,D 分别运动到点 C1,D1 的位置,且保持 C1,D1,E三点共线.此时AD1 与 BC1 的交点 P1 到直线EM的距离小于P到直线EM的距离,所以△MEP1的面积小于△MEP的面积,故△MEP 的面积不为定值.
又因为△AMP,△MEP,△ABP 中存在面积为定值的三角形,故△ABP 的面积为定值.
在(2)的条件下,∵B(3,0),C(4,3),D(,-),
∴直线BC对应的函数解析式为y=3x-9;直线AD对应的函数解析式为 y=-x+,
由,解得,
∴P(,-2),此时△ABP 的面积为2.第14课时 二次函数的图象与性质
【知识要点】
1.二次函数的概念及其解析式
(1)二次函数的概念:形如 (a,b,c是常数,a≠0)的函数.
(2)二次函数的解析式:
①一般式: .
②顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其顶点坐标是 .
③交点式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标.
【对点练习】
1.(1)下列函数解析式中,一定为二次函数的是( )
A.y=2x-5 B.y=ax2+bx+c
C.h= D.y=x2+
(2)(教材再开发·人教九上P37练习改编)已知二次函数的图象的顶点是(1,-2),且经过点(0,-5),则二次函数的解析式是( )
A.y=-3(x+1)2-2 B.y=3(x+1)2-2
C.y=-3(x-1)2-2 D.y=3(x-1)2-2
(3)二次函数解析式为y=(m+1)+4x+7,则m的取值是 .
【知识要点】
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
(1)当a>0时:
①开口方向:向上.
②顶点坐标:.
③对称轴:直线 .
④增减性:当x<-时,y随x的增大而 ;
当x>-时,y随x的增大而 .
⑤最值:当x=-时,y最小值= .
(2)当a<0时:
①开口方向:向下.
②顶点坐标:.
③对称轴:直线 .
④增减性:当x<-时,y随x的增大而 ;
当x>-时,y随x的增大而 .
⑤最值:当x=-时,y最大值= .
【对点练习】
2.(1)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,对称轴为x=,且经过点(-1,0).下列结论:
①3a+b=0;②若点(,y1),(3,y2)是抛物线上的两点,则y1A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
(2)关于二次函数y=2(x-4)2+6的最大值或最小值,下列说法正确的是( )
A.有最大值4 B.有最小值4
C.有最大值6 D.有最小值6
【知识要点】
3.二次函数图象的平移
平移前的 解析式 移动方向(m,n>0) 平移后的解析式 规律
y=a(x-h)2+k 向左平移m个单位 y=a(x-h+m)2+k 给x 右减
向右平移m个单位 y=a(x-h-m)2+k
向上平移n个单位 y=a(x-h)2+k+n 给等号右边整体上加
向下平移n个单位 y=a(x-h)2+k-n
【对点练习】
3.(1)把抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线的解析式为 .
(2)将抛物线y=(x+3)2向下平移1个单位长度,再向右平移 个单位长度后,得到的新抛物线经过原点.
【知识要点】
4.二次函数与方程、不等式的关系
【对点练习】
4.(1)(教材再开发·人教九上P47T5改编)如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象,由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是( )
A.-1B.x>5
C.x<-1
D.x<-1或x>5
(2)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(-3,0)与(1,0)两点,关于x的方程ax2+bx+c+m=0(m>0)有两个整数根,其中一个根是3,则另一个根是( )
A.-5 B.-3
C.-1 D.3
考点1 二次函数的图象与性质
【示范题1】(2024·连云港中考)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a<0)的顶点为(1,2).小烨同学得出以下结论:①abc<0;②当x>1时,y随x的增大而减小;③若ax2+bx+c=0的一个根为3,则a=-;④抛物线y=ax2+2是由抛物线y=ax2+bx+c向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的.其中一定正确的是( )
A.①② B.②③
C.③④ D.②④
【答题关键指导】
系数a,b,c与二次函数的图象的关系
1.a决定开口方向及开口大小
(1)当a>0时开口向上,当a<0时开口向下.
(2)|a|越大,抛物线的开口越小.
2.b和a共同决定抛物线对称轴的位置
由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-,故
(1)b=0时,对称轴为y轴.
(2)>0(即a,b同号)时,对称轴在y轴左侧.
(3)<0(即a,b异号)时,对称轴在y轴右侧.
3.c的大小决定抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点的位置,当x=0时,y=c,所以抛物线y=ax2+bx+c与y轴有且只有一个交点(0,c):
(1)c=0,抛物线经过原点.
(2)c>0,抛物线与y轴交于正半轴.
(3)c<0,抛物线与y轴交于负半轴.
【跟踪训练】
1.(2024·凉山州中考)抛物线y=(x-1)2+c经过(-2,y1),(0,y2),(,y3)三点,则y1,y2,y3的大小关系正确的是( )
A.y1>y2>y3 B.y2>y3>y1
C.y3>y1>y2 D.y1>y3>y2
2.(2024·贵州中考)如图,二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是-3,顶点坐标为(-1,4),则下列说法正确的是( )
A.二次函数图象的对称轴是直线x=1
B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C.当x<-1时,y随x的增大而减小
D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
3.(2024·乐山中考)已知二次函数y=x2-2x(-1≤x≤t-1),当x=-1时,函数取得最大值;当x=1时,函数取得最小值,则t的取值范围是( )
A.0C.2≤t≤4 D.t≥2
4.(2024·泸州中考)已知二次函数y=ax2+(2a-3)x+a-1(x是自变量)的图象经过第一、二、四象限,则实数a的取值范围为( )
A.1≤a< B.0C.0考点2 确定二次函数解析式
【示范题2】(2024·湖北中考)抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(-1,-2),抛物线与y轴的交点位于x轴上方.以下结论正确的是( )
A.a<0 B.c<0
C.a-b+c=-2 D.b2-4ac=0
【答题关键指导】
二次函数解析式的三种常用形式
一般式y=ax2+bx+c(a≠0)、顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)和交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),答题时要根据题目的不同条件选择适当形式,建立方程或方程组,简化计算过程.
【跟踪训练】
1.(2024·陕西中考)已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表:
x … -4 -2 0 3 5 …
y … -24 -8 0 -3 -15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是( )
A.图象的开口向上
B.当x>0时,y的值随x值的增大而减小
C.图象经过第二、三、四象限
D.图象的对称轴是直线x=1
2.(2024·眉山中考)定义运算:a b=(a+2b)(a-b),例如4 3=(4+2×3)(4-3),则函数y=(x+1) 2的最小值为( )
A.-21 B.-9 C.-7 D.-5
考点3 二次函数与方程、不等式的关系
【示范题3】(2024·烟台中考)已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表:
x -4 -3 -1 1 5
y 0 5 9 5 -27
下列结论:
①abc>0;
②关于x的一元二次方程ax2+bx+c=9有两个相等的实数根;
③当-4④若点(m,y1),(-m-2,y2)均在二次函数图象上,则y1=y2;
⑤满足ax2+(b+1)x+c<2的x的取值范围是x<-2或x>3.
其中正确结论的序号为 .
【答题关键指导】
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的关系
(1)当b2-4ac>0时,y=ax2+bx+c与x轴有两个交点,交点的横坐标即为ax2+bx+c=0的两个不相等的实数根.
(2)当b2-4ac=0时,y=ax2+bx+c与x轴只有一个交点,交点的横坐标即为ax2+bx+c=0的两个相等的实数根.
(3)当b2-4ac<0时,y=ax2+bx+c与x轴无交点,即ax2+bx+c=0无实数根.
2.利用二次函数图象解不等式的方法
不等式ax2+bx+c>0(或ax2+bx+c< 0)的解集就是二次函数y=ax2+bx+c的图象在 x 轴上(下)方的点所对应的 x的取值范围,不等式如果带有等号,其解集也相应带有等号.a>0时, y>0取两边,y<0取中间.
【跟踪训练】
1.(2024·达州中考)抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于两点,其中一个交点的横坐标大于1,另一个交点的横坐标小于1,则下列结论正确的是( )
A.b+c>1 B.b=2
C.b2+4c<0 D.c<0
2.(2024·武汉中考)抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a<0)经过(-1,1),(m,1)两点,且0①b>0;
②若01;
③若a=-1,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=2无实数解;
④点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线上,若x1+x2>-,x1>x2,总有y1其中正确的是 (填写序号).
考点4 与二次函数有关的综合题
【示范题4】(2024·赤峰中考)如图,正方形ABCD的顶点A,C在抛物线y=-x2+4上,点D在y轴上.若A,C两点的横坐标分别为m,n(m>n>0),下列结论正确的是( )
A.m+n=1 B.m-n=1
C.mn=1 D.=1
【答题关键指导】
解数学压轴题一般可以分为三个步骤:
①认真审题,②理解题意、探究解题思路,③正确解答.
审题要全面审视题目的所有条件和答题要求,在整体上把握试题的特点、结构,以利于解题方法的选择和解题步骤的设计.
解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想,如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等.认识条件和结论之间的关系,图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系,确定解题的思路和方法.
当思维受阻时,要及时调整思路和方法,并重新审视题意,注意挖掘隐蔽的条件和内在联系,既要防止钻牛角尖,又要防止轻易放弃.
【跟踪训练】
1.(2024·新疆中考)如图,抛物线y=x2-4x+6与y轴交于点A,与x轴交于点B,线段CD在抛物线的对称轴上移动(点C在点D下方),且CD=3.当AD+BC的值最小时,点C的坐标为 .
2.(2024·临夏州中考)在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,作直线BC.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图1,点P是线段BC上方的抛物线上一动点,过点P作PQ⊥BC,垂足为Q,请问线段PQ是否存在最大值 若存在,请求出最大值及此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)如图2,点M是直线BC上一动点,过点M作线段MN∥OC(点N在直线BC下方),已知MN=2,若线段MN与抛物线有交点,请直接写出点M的横坐标xM的取值范围.
1.(2024·福建中考)已知二次函数y=x2-2ax+a(a≠0)的图象经过A(,y1),B(3a,y2)两点,则下列判断正确的是( )
A.可以找到一个实数a,使得y1>a
B.无论实数a取什么值,都有y1>a
C.可以找到一个实数a,使得y2<0
D.无论实数a取什么值,都有y2<0
2.(2022·福建中考)已知抛物线y=x2+2x-n与x轴交于A,B两点,抛物线y=x2-2x-n与x轴交于C,D两点,其中n>0.若AD=2BC,则n的值为 .
3.(2023·福建中考)已知抛物线y=ax2-2ax+b(a>0)经过A(2n+3,y1),B(n-1,y2)两点,若A,B分别位于抛物线对称轴的两侧,且y14.(2024·福建中考)如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中A(-2,0),C(0,-2).
(1)求二次函数的解析式;
(2)若P是二次函数图象上的一点,且点P在第二象限,线段PC交x轴于点D,△PDB的面积是△CDB的面积的2倍,求点P的坐标.
5.(2022·福建中考)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx经过A(4,0),B(1,4)两点.P是抛物线上一点,且在直线AB的上方.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍,求点P的坐标;
(3)如图,OP交AB于点C,PD∥BO交AB于点D.记△CDP,△CPB,△CBO的面积分别为S1,S2,S3.判断+是否存在最大值.若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由.
6.(2023·福建中考)已知抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A(1,0),B(3,0)两点,M为抛物线的顶点,C,D为抛物线上不与A,B重合的相异两点,记AB中点为E,直线AD,BC的交点为P.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)若C(4,3),D(m,-),且m<2,求证:C,D,E三点共线;
(3)小明研究发现:无论C,D在抛物线上如何运动,只要C,D,E三点共线,△AMP,△MEP,△ABP中必存在面积为定值的三角形.请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积,不必说明理由.