第18课时 全等三角形
【知识要点】 【对点练习】
1.全等三角形的概念 能够 完全重合 的两个三角形. 1.下列说法正确的是(A) A.全等三角形的周长和面积分别相等 B.全等三角形是指形状相同的两个三角形 C.全等三角形是指面积相等的两个三角形 D.所有的等边三角形都是全等三角形
2.全等三角形的性质 全等三角形的对应边 相等 ,对应角 相等 . 2.如图,点B,F,C,E在同一条直线上,△ABC≌△DEF,若∠A=65°,则∠D= 65° .
3.全等三角形的判定定理 (1)三边分别 相等 的两个三角形全等(简写成“边边边”或“ SSS ”). (2)两边和它们的夹角分别 相等 的两个三角形全等(简写成“边角边”或“ SAS ”). (3)两角和它们的夹边分别 相等 的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ ASA ”). (4)两角和其中一个角的对边分别 相等 的两个三角形全等(简写成“角角边”或“ AAS ”). (5)斜边和一条直角边分别 相等 的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“ HL ”). 3.(教材再开发·人教八上P39T2改编)如图,在△ABC和△DCB中,∠ACB=∠DBC,添加一个条件,不能证明△ABC和△DCB全等的是(B) A.∠ABC=∠DCB B.AB=DC C.AC=DB D.∠A=∠D
4.角平分线的性质与判定 (1)性质:角平分线上的点到角两边的 距离 相等. (2)判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的 平分线 上. 4.(1)如图,AD是∠BAC的平分线,点P在AD上,PM⊥AB于点M,PM=3,则点P到AC的距离是(C) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)到角的两边距离相等的点,在 这个角的平分线上 ,所以,如果点P到∠AOB两边的距离相等,那么射线OP是 ∠AOB的平分线 .
考点1 全等三角形的性质和判定
【示范题1】(2024·北京中考)下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法.
(1)如图,以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D;
(2)作射线O'A',以点O'为圆心,OC长为半径画弧,交O'A'于点C';
以点C'为圆心,CD长为半径画弧,两弧交于点D';
(3)过点D'作射线O'B',则∠A'O'B'=∠AOB.
上述方法通过判定△C'O'D'≌△COD得到∠A'O'B'=∠AOB,其中判定△C'O'D'≌△COD的依据是(A)
A.三边分别相等的两个三角形全等
B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
【答题关键指导】
判定三角形全等的基本思路
(1)已知两边
(2)已知两角
(3)已知一边一角
【跟踪训练】
1.(2024·临夏州中考)如图,在△ABC中,点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(4,1),点C的坐标为(3,4),点D在第一象限(不与点C重合),且△ABD与△ABC全等,点D的坐标是 (1,4) .
2.(2024·成都中考)如图,△ABC≌△CDE,若∠D=35°,∠ACB=45°,则∠DCE的度数为 100° .
3.(2024·云南中考)如图,在△ABC和△AED中,AB=AE,∠BAE=∠CAD,AC=AD.求证:△ABC≌△AED.
【证明】∵∠BAE=∠CAD,
∴∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE,
即∠BAC=∠EAD,
在△ABC与△AED中,
,
∴△ABC≌△AED(SAS).
考点2 角平分线的性质与判定
【示范题2】(2024·南充中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=6,AD平分∠CAB交BC于点D,点E为边AB上一点,则线段DE长度的最小值为(C)
A. B. C.2 D.3
【答题关键指导】
1.过角平分线上一点作角两边的垂线,用于证明线段相等.
2.过角平分线上一点,作与角两边平行的平行线,构造等腰三角形.
3.过角平分线上一点,作角平分线的垂线,构造等腰三角形.
4.遇到与角平分线垂直的线段时,延长垂线段与角的另一边相交,构造等腰三角形.
【跟踪训练】
1.(2024·天津中考)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=40°,以点A为圆心,适当长为半径画弧,交AB于点E,交AC于点F;再分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧(所在圆的半径相等)在∠BAC的内部相交于点P;画射线AP,与BC相交于点D,则∠ADC的大小为(B)
A.60° B.65° C.70° D.75°
2.(2024·陕西中考)如图,在△ABC中,AB=AC,E是边AB上一点,连接CE,在BC的右侧作BF∥AC,且BF=AE,连接CF.若AC=13,BC=10,则四边形EBFC的面积为 60 .
1.(2022·福建中考)如图,点B,F,C,E在同一条直线上,BF=EC,AB=DE,∠B=∠E.求证:∠A=∠D.
【证明】∵BF=EC,∴BF+CF=EC+CF,即BC=EF,
在△ABC和△DEF中,,
∴△ABC≌△DEF(SAS),∴∠A=∠D.
2.(2023·福建中考)如图,OA=OC,OB=OD,∠AOD=∠COB.求证:AB=CD.
【证明】∵∠AOD=∠COB,
∴∠AOD-∠BOD=∠COB-∠BOD,
即∠AOB=∠COD.
在△AOB 和△COD中,,
∴△AOB≌△COD(SAS),∴AB=CD.第18课时 全等三角形
【知识要点】 【对点练习】
1.全等三角形的概念 能够 的两个三角形. 1.下列说法正确的是( ) A.全等三角形的周长和面积分别相等 B.全等三角形是指形状相同的两个三角形 C.全等三角形是指面积相等的两个三角形 D.所有的等边三角形都是全等三角形
2.全等三角形的性质 全等三角形的对应边 ,对应角 . 2.如图,点B,F,C,E在同一条直线上,△ABC≌△DEF,若∠A=65°,则∠D= .
3.全等三角形的判定定理 (1)三边分别 的两个三角形全等(简写成“边边边”或“ ”). (2)两边和它们的夹角分别 的两个三角形全等(简写成“边角边”或“ ”). (3)两角和它们的夹边分别 的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ ”). (4)两角和其中一个角的对边分别 的两个三角形全等(简写成“角角边”或“ ”). (5)斜边和一条直角边分别 的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“ ”). 3.(教材再开发·人教八上P39T2改编)如图,在△ABC和△DCB中,∠ACB=∠DBC,添加一个条件,不能证明△ABC和△DCB全等的是( ) A.∠ABC=∠DCB B.AB=DC C.AC=DB D.∠A=∠D
4.角平分线的性质与判定 (1)性质:角平分线上的点到角两边的 相等. (2)判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的 上. 4.(1)如图,AD是∠BAC的平分线,点P在AD上,PM⊥AB于点M,PM=3,则点P到AC的距离是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)到角的两边距离相等的点,在 ,所以,如果点P到∠AOB两边的距离相等,那么射线OP是 .
考点1 全等三角形的性质和判定
【示范题1】(2024·北京中考)下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法.
(1)如图,以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D;
(2)作射线O'A',以点O'为圆心,OC长为半径画弧,交O'A'于点C';
以点C'为圆心,CD长为半径画弧,两弧交于点D';
(3)过点D'作射线O'B',则∠A'O'B'=∠AOB.
上述方法通过判定△C'O'D'≌△COD得到∠A'O'B'=∠AOB,其中判定△C'O'D'≌△COD的依据是( )
A.三边分别相等的两个三角形全等
B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
【答题关键指导】
判定三角形全等的基本思路
(1)已知两边
(2)已知两角
(3)已知一边一角
【跟踪训练】
1.(2024·临夏州中考)如图,在△ABC中,点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(4,1),点C的坐标为(3,4),点D在第一象限(不与点C重合),且△ABD与△ABC全等,点D的坐标是 .
2.(2024·成都中考)如图,△ABC≌△CDE,若∠D=35°,∠ACB=45°,则∠DCE的度数为 .
3.(2024·云南中考)如图,在△ABC和△AED中,AB=AE,∠BAE=∠CAD,AC=AD.求证:△ABC≌△AED.
考点2 角平分线的性质与判定
【示范题2】(2024·南充中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=6,AD平分∠CAB交BC于点D,点E为边AB上一点,则线段DE长度的最小值为( )
A. B. C.2 D.3
【答题关键指导】
1.过角平分线上一点作角两边的垂线,用于证明线段相等.
2.过角平分线上一点,作与角两边平行的平行线,构造等腰三角形.
3.过角平分线上一点,作角平分线的垂线,构造等腰三角形.
4.遇到与角平分线垂直的线段时,延长垂线段与角的另一边相交,构造等腰三角形.
【跟踪训练】
1.(2024·天津中考)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=40°,以点A为圆心,适当长为半径画弧,交AB于点E,交AC于点F;再分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧(所在圆的半径相等)在∠BAC的内部相交于点P;画射线AP,与BC相交于点D,则∠ADC的大小为( )
A.60° B.65° C.70° D.75°
2.(2024·陕西中考)如图,在△ABC中,AB=AC,E是边AB上一点,连接CE,在BC的右侧作BF∥AC,且BF=AE,连接CF.若AC=13,BC=10,则四边形EBFC的面积为 .
1.(2022·福建中考)如图,点B,F,C,E在同一条直线上,BF=EC,AB=DE,∠B=∠E.求证:∠A=∠D.
2.(2023·福建中考)如图,OA=OC,OB=OD,∠AOD=∠COB.求证:AB=CD.
