第21课时 直角三角形
【知识要点】 【对点练习】
1.直角三角形的性质与判定 (1)性质:①直角三角形的两个锐角 互余 ②在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的 一半 ③在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的 一半 (2)判定:①定义法:有一个角是 直角 的三角形 ②两个内角 互余 的三角形 1.(1)已知:在一个直角三角形中30°角所对的直角边为3 cm,则斜边长为 6 cm . (2)直角三角形斜边上的中线长为5 cm,则斜边长为 10 cm.
2.勾股定理及逆定理 (1)勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么 a2+b2=c2 . (2)勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足 a2+b2=c2 ,那么这个三角形是直角三角形. 2.(教材再开发·人教八下P24T1改编)若一个直角三角形的两边长分别是4 cm,3 cm,则第三条边长是 5或 cm.
3.命题、定理 (1)互逆命题:如果两个命题的 题设 和 结论 正好相反,我们把这样的两个命题叫做互逆命题,如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的 逆命题 . (2)互逆定理:若一个定理的逆命题是正确的,那么它就是这个定理的逆定理,称这两个定理为 互逆 定理. 3.(1)把命题“同位角相等”改写成“如果……那么……”的形式为 如果两个角是同位角,那么这两个角相等 . (2)命题“等边三角形是锐角三角形”的逆命题是 假 (填“真”或“假”)命题.
考点1 直角三角形的性质与判定
【示范题1】(2024·安徽中考)如图,在Rt△ABC中,AC=BC=2,点D在AB的延长线上,且CD=AB,则BD的长是(B)
A.- B.-
C.2-2 D.2-
【答题关键指导】
直角三角形性质的四个应用
(1)在一个题目中,若直角三角形较多,可考虑利用等面积的方法求线段的长度.
(2)可利用直角三角形两锐角互余,根据同(等)角的余角相等,两个锐角相等.
(3)在直角三角形中,有30°锐角可考虑30°角所对直角边等于斜边的一半.
(4)在直角三角形中,若有斜边中点,可考虑直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
【跟踪训练】
1. (2024·达州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在线段BC上,且∠BAD=45°,若AC=4,CD=1,则△ABC的面积是 .
2.(2024·齐齐哈尔中考)已知矩形纸片ABCD,AB=5,BC=4,点P在边BC上,连接AP,将△ABP沿AP所在的直线折叠,点B的对应点为B',把纸片展平,连接BB',CB',当△BCB'为直角三角形时,线段CP的长为 2或 .
考点2 勾股定理及逆定理
【示范题2】(2024·眉山中考)如图,图1是北京国际数学家大会的会标,它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”,是由四个全等的直角三角形拼成.若图1中大正方形的面积为24,小正方形的面积为4,现将这四个直角三角形拼成图2,则图2中大正方形的面积为(D)
A.24 B.36 C.40 D.44
【跟踪训练】
1. (2024·南充中考)如图,已知线段AB,按以下步骤作图:①过点B作BC⊥AB,使BC=AB,连接AC;②以点C为圆心,以BC长为半径画弧,交AC于点D;③以点A为圆心,以AD长为半径画弧,交AB于点E.若AE=mAB,则m的值为(A)
A. B.
C.-1 D.-2
2.(2024·南充中考)如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成.在正方形ABCD中,AB=10.下列三个结论:①若tan∠ADF=,则EF=2;②若Rt△ABG的面积是正方形EFGH面积的3倍,则点F是AG的三等分点;
③将△ABG绕点A逆时针旋转90°得到△ADG',则BG'的最大值为5+5.其中正确的结论是(D)
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
3.(2024·吉林中考)图①中有一首古算诗,根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度,其示意图如图②,其中AB=AB',AB⊥B'C于点C,BC=0.5尺,B'C=2尺.设AC的长度为x尺,可列方程为 x2+22=(x+0.5)2 .
考点3 命题、定理及逆定理
【示范题3】(2024·湖南中考)下列命题中,正确的是(A)
A.两点之间,线段最短
B.菱形的对角线相等
C.正五边形的外角和为720°
D.直角三角形是轴对称图形
【答题关键指导】
判断命题真假的方法
只有对一件事情做出判定的语句才是命题,其中正确的命题是真命题,错误的命题是假命题.对于命题的真假(正误)判断问题,一般只需根据熟记的定义、公式、性质、判定定理等相关内容直接作出判断即可,有的则需要经过必要的推理与计算才能进一步确定真与假.
【跟踪训练】
1.(2024·宁德模拟)下列命题中,是假命题的是(C)
A.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
B.等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高相互重合
C.若AB=BC,则点B是线段AC的中点
D.三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心
2.(2024·三明模拟)下列命题是真命题的是(B)
A.对角线相等的四边形是平行四边形
B.对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C.对角线互相垂直的四边形是菱形
D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形
1.(2022·福建中考)推理是数学的基本思维方式,若推理过程不严谨,则推理结果可能产生错误.
例如,有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”,并证明如下:
设任意一个实数为x,令x=m,
等式两边都乘x,得x2=mx.①
等式两边都减m2,得x2-m2=mx-m2.②
等式两边分别分解因式,得(x+m)(x-m)=m(x-m).③
等式两边都除以x-m,得x+m=m.④
等式两边都减m,得x=0.⑤
所以任意一个实数都等于0.
以上推理过程中,开始出现错误的那一步对应的序号是 ④ .
2.(2024·福建中考)已知实数a,b,c,m,n满足3m+n=,mn=.
(1)求证:b2-12ac为非负数;
(2)若a,b,c均为奇数,m,n是否可以都为整数 说明你的理由.
【解析】(1)∵3m+n=,mn=,
∴b=a(3m+n),c=amn,
则b2-12ac=[a(3m+n)]2-12a2mn
=a2(9m2+6mn+n2)-12a2mn
=a2(9m2-6mn+n2)
=a2(3m-n)2,
∵a,m,n是实数,
∴a2(3m-n)2≥0,
∴b2-12ac为非负数.
(2)m,n不可能都为整数.
理由如下:若m,n都为整数,其可能情况有:①m,n都为奇数;②m,n为整数,且其中至少有一个为偶数,
①当m,n都为奇数时,则3m+n必为偶数,
又∵3m+n=,
∴b=a(3m+n),
∵a为奇数,
∴a(3m+n)必为偶数,这与b为奇数矛盾;
②当m,n为整数,且其中至少有一个为偶数时,则mn必为偶数,
又∵mn=,
∴c=amn,
∵a为奇数,
∴amn必为偶数,这与c为奇数矛盾.
综上所述,m,n不可能都为整数.第21课时 直角三角形
【知识要点】 【对点练习】
1.直角三角形的性质与判定 (1)性质:①直角三角形的两个锐角 ②在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的 ③在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的 (2)判定:①定义法:有一个角是 的三角形 ②两个内角 的三角形 1.(1)已知:在一个直角三角形中30°角所对的直角边为3 cm,则斜边长为 . (2)直角三角形斜边上的中线长为5 cm,则斜边长为 cm.
2.勾股定理及逆定理 (1)勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么 . (2)勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足 ,那么这个三角形是直角三角形. 2.(教材再开发·人教八下P24T1改编)若一个直角三角形的两边长分别是4 cm,3 cm,则第三条边长是 cm.
3.命题、定理 (1)互逆命题:如果两个命题的 和 正好相反,我们把这样的两个命题叫做互逆命题,如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的 . (2)互逆定理:若一个定理的逆命题是正确的,那么它就是这个定理的逆定理,称这两个定理为 定理. 3.(1)把命题“同位角相等”改写成“如果……那么……”的形式为 . (2)命题“等边三角形是锐角三角形”的逆命题是 (填“真”或“假”)命题.
考点1 直角三角形的性质与判定
【示范题1】(2024·安徽中考)如图,在Rt△ABC中,AC=BC=2,点D在AB的延长线上,且CD=AB,则BD的长是( )
A.- B.-
C.2-2 D.2-
【答题关键指导】
直角三角形性质的四个应用
(1)在一个题目中,若直角三角形较多,可考虑利用等面积的方法求线段的长度.
(2)可利用直角三角形两锐角互余,根据同(等)角的余角相等,两个锐角相等.
(3)在直角三角形中,有30°锐角可考虑30°角所对直角边等于斜边的一半.
(4)在直角三角形中,若有斜边中点,可考虑直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
【跟踪训练】
1. (2024·达州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在线段BC上,且∠BAD=45°,若AC=4,CD=1,则△ABC的面积是 .
2.(2024·齐齐哈尔中考)已知矩形纸片ABCD,AB=5,BC=4,点P在边BC上,连接AP,将△ABP沿AP所在的直线折叠,点B的对应点为B',把纸片展平,连接BB',CB',当△BCB'为直角三角形时,线段CP的长为 .
考点2 勾股定理及逆定理
【示范题2】(2024·眉山中考)如图,图1是北京国际数学家大会的会标,它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”,是由四个全等的直角三角形拼成.若图1中大正方形的面积为24,小正方形的面积为4,现将这四个直角三角形拼成图2,则图2中大正方形的面积为( )
A.24 B.36 C.40 D.44
【跟踪训练】
1. (2024·南充中考)如图,已知线段AB,按以下步骤作图:①过点B作BC⊥AB,使BC=AB,连接AC;②以点C为圆心,以BC长为半径画弧,交AC于点D;③以点A为圆心,以AD长为半径画弧,交AB于点E.若AE=mAB,则m的值为( )
A. B.
C.-1 D.-2
2.(2024·南充中考)如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成.在正方形ABCD中,AB=10.下列三个结论:①若tan∠ADF=,则EF=2;②若Rt△ABG的面积是正方形EFGH面积的3倍,则点F是AG的三等分点;
③将△ABG绕点A逆时针旋转90°得到△ADG',则BG'的最大值为5+5.其中正确的结论是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
3.(2024·吉林中考)图①中有一首古算诗,根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度,其示意图如图②,其中AB=AB',AB⊥B'C于点C,BC=0.5尺,B'C=2尺.设AC的长度为x尺,可列方程为 .
考点3 命题、定理及逆定理
【示范题3】(2024·湖南中考)下列命题中,正确的是( )
A.两点之间,线段最短
B.菱形的对角线相等
C.正五边形的外角和为720°
D.直角三角形是轴对称图形
【答题关键指导】
判断命题真假的方法
只有对一件事情做出判定的语句才是命题,其中正确的命题是真命题,错误的命题是假命题.对于命题的真假(正误)判断问题,一般只需根据熟记的定义、公式、性质、判定定理等相关内容直接作出判断即可,有的则需要经过必要的推理与计算才能进一步确定真与假.
【跟踪训练】
1.(2024·宁德模拟)下列命题中,是假命题的是( )
A.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
B.等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高相互重合
C.若AB=BC,则点B是线段AC的中点
D.三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心
2.(2024·三明模拟)下列命题是真命题的是( )
A.对角线相等的四边形是平行四边形
B.对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C.对角线互相垂直的四边形是菱形
D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形
1.(2022·福建中考)推理是数学的基本思维方式,若推理过程不严谨,则推理结果可能产生错误.
例如,有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”,并证明如下:
设任意一个实数为x,令x=m,
等式两边都乘x,得x2=mx.①
等式两边都减m2,得x2-m2=mx-m2.②
等式两边分别分解因式,得(x+m)(x-m)=m(x-m).③
等式两边都除以x-m,得x+m=m.④
等式两边都减m,得x=0.⑤
所以任意一个实数都等于0.
以上推理过程中,开始出现错误的那一步对应的序号是 .
2.(2024·福建中考)已知实数a,b,c,m,n满足3m+n=,mn=.
(1)求证:b2-12ac为非负数;
(2)若a,b,c均为奇数,m,n是否可以都为整数 说明你的理由.
