第22课时 解直角三角形
【知识要点】 【对点练习】
1.特殊角的三角函数值 1.(1)2sin 45°的值等于( ) A.1 B. C. D.2 (2)在△ABC中,若+=0,则∠C的度数是 .
2.直角三角形中的边角关系 (1)三边之间的关系: . (2)两锐角之间的关系: . (3)边角之间的关系:sin A=cos B= , sin B=cos A= ,tan A= , tan B= . (4)解直角三角形:由直角三角形中的 ,求出其余 的过程,叫做解直角三角形. 2.(教材再开发·人教九下P65T1改编) 在Rt△ABC中,若∠C=90°,AC=5,BC=12,则sin A的值为 .
3.解直角三角形的应用 (1)仰角和俯角:如图1,在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角,视线在水平线 的叫做仰角,在水平线 的叫做俯角. 如图1 (2)坡度(坡比)和坡角:如图2,通常把坡面的铅直高度h和 之比叫做坡度(或叫做坡比),用字母 表示,即i= ;坡面与 的夹角叫做坡角,记作α.所以i= =tan α. 图2 (3)方向角:指北或指南的方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角. 3.(1)(教材再开发·人教九下P84T8改编)数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度.如图,他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°,再向前70 m至D点,又测得最高点A的仰角为58°,点C,D,B在同一直线上,则该建筑物AB的高度约为( ) (精确到1 m.参考数据:sin 22°≈0.37,tan 22°≈0.40,sin 58°≈0.85,tan 58°≈1.60) A.28 m B.34 m C.37 m D.46 m (2)如图斜坡AB的坡比为1∶2,竖直高度BC为1米,则该斜坡的水平宽度AC为 米.
考点1 三角函数
【示范题1】(2024·云南中考)如图,在△ABC中,若∠B=90°,AB=3,BC=4,则tan A=( )
A. B. C. D.
【答题关键指导】
1.求锐角三角函数值时必须把角转化到直角三角形中解决,可以通过相等的角转化或通过作辅助线构造直角三角形.
2.解题时要找准角的对边、邻边和所在直角三角形的斜边.
【跟踪训练】
1.(2024·天津中考)cos 45°-1的值等于( )
A.0 B.1
C.-1 D.-1
2.(2024·达州中考)如图,由8个全等的菱形组成的网格中,每个小菱形的边长均为2,∠ABD=120°,其中点A,B,C都在格点上,则tan ∠BCD的值为( )
A.2 B.2 C. D.3
考点2 解直角三角形
【示范题2】(2024·浙江中考)如图,在△ABC中,AD⊥BC,AE是BC边上的中线,AB=10,AD=6,tan ∠ACB=1.
(1)求BC的长;
(2)求sin ∠DAE的值.
【答题关键指导】
1.解直角三角形时,要尽量用到已知条件的数据,防止“积累误差”.
2.遵守“有弦(斜边)用弦(正弦、余弦),无弦用切(正切),宁乘勿除”的原则,提高解题的正确性.
3.必要时,画出图形帮助分析.
【跟踪训练】
(2024·内江中考)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,点E在DC上,将矩形ABCD沿AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处,那么tan ∠EFC= .
考点3 解直角三角形的应用
【示范题3】(2024·德阳中考)某校学生开展综合实践活动,测量一建筑物CD的高度,在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB,小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°,在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30°(AB,CD在同一平面内,B,D在同一水平面上),则建筑物CD的高为 米.( )
A.20 B.15
C.12 D.10+5
【答题关键指导】
1.审题,通过图形,弄清已知和未知.
2.通过作辅助线构造直角三角形,把问题转化为解直角三角形的问题.
3.根据直角三角形元素(边、角)之间关系解有关的直角三角形.
【跟踪训练】
1.(2024·盐城中考)如图,小明用无人机测量教学楼的高度,将无人机垂直上升至距地面30 m的点P处,测得教学楼底端点A的俯角为37°,再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6 m至点Q处,测得教学楼顶端点B的俯角为45°,则教学楼AB的高度约为 m.(精确到1 m,参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
2.(2024·眉山中考)如图,斜坡CD的坡度i=1∶2,在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB,当太阳光与水平面的夹角为60°时,大树在斜坡上的影子BE长为10米,则大树AB的高为 米.
3.(2024·重庆中考A卷)如图,甲、乙两艘货轮同时从A港出发,分别向B,D两港运送物资,最后到达A港正东方向的C港装运新的物资.甲货轮沿A港的东南方向航行40海里后到达B港,再沿北偏东60°方向航行一定距离到达C港.乙货轮沿A港的北偏东60°方向航行一定距离到达D港,再沿南偏东30°方向航行一定距离到达C港.
(参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45)
(1)求A,C两港之间的距离(结果保留小数点后一位);
(2)若甲、乙两艘货轮的速度相同(停靠B,D两港的时间相同),哪艘货轮先到达C港 请通过计算说明.
(2024·福建中考)无动力帆船是借助风力前行的.如图是帆船借助风力航行的平面示意图,已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°,帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°,风对帆的作用力F为400 N.根据物理知识,F可以分解为两个力F1与F2,其中与帆平行的力F1不起作用,与帆垂直的力F2又可以分解为两个力f1与f2,f1与航行方向垂直,被舵的阻力抵消;f2与航行方向一致,是真正推动帆船前行的动力.在物理学上常用线段的长度表示力的大小,据此,建立数学模型:F=AD=400,则f2=CD= .(单位:N)(参考数据:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77) 第22课时 解直角三角形
【知识要点】 【对点练习】
1.特殊角的三角函数值 1.(1)2sin 45°的值等于(B) A.1 B. C. D.2 (2)在△ABC中,若+=0,则∠C的度数是 90° .
2.直角三角形中的边角关系 (1)三边之间的关系: a2+b2=c2 . (2)两锐角之间的关系: ∠A+∠B=90° . (3)边角之间的关系:sin A=cos B= , sin B=cos A= ,tan A= , tan B= . (4)解直角三角形:由直角三角形中的 已知元素 ,求出其余 未知元素 的过程,叫做解直角三角形. 2.(教材再开发·人教九下P65T1改编) 在Rt△ABC中,若∠C=90°,AC=5,BC=12,则sin A的值为 .
3.解直角三角形的应用 (1)仰角和俯角:如图1,在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角,视线在水平线 上方 的叫做仰角,在水平线 下方 的叫做俯角. 如图1 (2)坡度(坡比)和坡角:如图2,通常把坡面的铅直高度h和 水平宽度l 之比叫做坡度(或叫做坡比),用字母 i 表示,即i= ;坡面与 水平面 的夹角叫做坡角,记作α.所以i= =tan α. 图2 (3)方向角:指北或指南的方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角. 3.(1)(教材再开发·人教九下P84T8改编)数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度.如图,他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°,再向前70 m至D点,又测得最高点A的仰角为58°,点C,D,B在同一直线上,则该建筑物AB的高度约为(C) (精确到1 m.参考数据:sin 22°≈0.37,tan 22°≈0.40,sin 58°≈0.85,tan 58°≈1.60) A.28 m B.34 m C.37 m D.46 m (2)如图斜坡AB的坡比为1∶2,竖直高度BC为1米,则该斜坡的水平宽度AC为 2 米.
考点1 三角函数
【示范题1】(2024·云南中考)如图,在△ABC中,若∠B=90°,AB=3,BC=4,则tan A=(C)
A. B. C. D.
【答题关键指导】
1.求锐角三角函数值时必须把角转化到直角三角形中解决,可以通过相等的角转化或通过作辅助线构造直角三角形.
2.解题时要找准角的对边、邻边和所在直角三角形的斜边.
【跟踪训练】
1.(2024·天津中考)cos 45°-1的值等于(A)
A.0 B.1
C.-1 D.-1
2.(2024·达州中考)如图,由8个全等的菱形组成的网格中,每个小菱形的边长均为2,∠ABD=120°,其中点A,B,C都在格点上,则tan ∠BCD的值为(B)
A.2 B.2 C. D.3
考点2 解直角三角形
【示范题2】(2024·浙江中考)如图,在△ABC中,AD⊥BC,AE是BC边上的中线,AB=10,AD=6,tan ∠ACB=1.
(1)求BC的长;
(2)求sin ∠DAE的值.
【自主解答】(1)∵AD⊥BC,AB=10,AD=6,
∴BD===8,
∵tan ∠ACB=1,
∴CD=AD=6,
∴BC=BD+CD=8+6=14;
(2)∵AE是BC边上的中线,
∴CE=BC=7,
∴DE=CE-CD=7-6=1,
∵AD⊥BC,
∴AE===,
∴sin ∠DAE===.
【答题关键指导】
1.解直角三角形时,要尽量用到已知条件的数据,防止“积累误差”.
2.遵守“有弦(斜边)用弦(正弦、余弦),无弦用切(正切),宁乘勿除”的原则,提高解题的正确性.
3.必要时,画出图形帮助分析.
【跟踪训练】
(2024·内江中考)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,点E在DC上,将矩形ABCD沿AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处,那么tan ∠EFC= .
考点3 解直角三角形的应用
【示范题3】(2024·德阳中考)某校学生开展综合实践活动,测量一建筑物CD的高度,在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB,小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°,在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30°(AB,CD在同一平面内,B,D在同一水平面上),则建筑物CD的高为 米.(B)
A.20 B.15
C.12 D.10+5
【答题关键指导】
1.审题,通过图形,弄清已知和未知.
2.通过作辅助线构造直角三角形,把问题转化为解直角三角形的问题.
3.根据直角三角形元素(边、角)之间关系解有关的直角三角形.
【跟踪训练】
1.(2024·盐城中考)如图,小明用无人机测量教学楼的高度,将无人机垂直上升至距地面30 m的点P处,测得教学楼底端点A的俯角为37°,再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6 m至点Q处,测得教学楼顶端点B的俯角为45°,则教学楼AB的高度约为 17 m.(精确到1 m,参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
2.(2024·眉山中考)如图,斜坡CD的坡度i=1∶2,在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB,当太阳光与水平面的夹角为60°时,大树在斜坡上的影子BE长为10米,则大树AB的高为 (4-2) 米.
3.(2024·重庆中考A卷)如图,甲、乙两艘货轮同时从A港出发,分别向B,D两港运送物资,最后到达A港正东方向的C港装运新的物资.甲货轮沿A港的东南方向航行40海里后到达B港,再沿北偏东60°方向航行一定距离到达C港.乙货轮沿A港的北偏东60°方向航行一定距离到达D港,再沿南偏东30°方向航行一定距离到达C港.
(参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45)
(1)求A,C两港之间的距离(结果保留小数点后一位);
(2)若甲、乙两艘货轮的速度相同(停靠B,D两港的时间相同),哪艘货轮先到达C港 请通过计算说明.
【解析】(1)过点B作BE⊥AC,垂足为E,
在Rt△ABE中,∠BAE=90°-45°=45°,
AB=40海里,
∴AE=AB·cos 45°=40×=20(海里),
BE=AB·sin 45°=40×=20(海里),
在Rt△BCE中,∠CBE=60°,
∴CE=BE·tan 60°=20×=20(海里),
∴AC=AE+CE=20+20≈77.2(海里),
∴A,C两港之间的距离约为77.2海里;
(2)甲货轮先到达C港,
理由:如图,
由题意得∠CDF=30°,DF∥AG,
∴∠GAD=∠ADF=60°,
∴∠ADC=∠ADF+∠CDF=90°,
在Rt△ACD中,∠CAD=90°-∠GAD=30°,∴CD=AC=(10+10)海里,
AD=CD=(10+30)海里,
在Rt△BCE中,∠CBE=60°,BE=20海里,
∴BC===40(海里),
∴甲货轮航行的路程=AB+BC=40+40≈96.4(海里),
乙货轮航行的路程=AD+CD
=10+30+10+10
=20+40≈105.4(海里),
∵96.4海里<105.4海里,
∴甲货轮先到达C港.
(2024·福建中考)无动力帆船是借助风力前行的.如图是帆船借助风力航行的平面示意图,已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°,帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°,风对帆的作用力F为400 N.根据物理知识,F可以分解为两个力F1与F2,其中与帆平行的力F1不起作用,与帆垂直的力F2又可以分解为两个力f1与f2,f1与航行方向垂直,被舵的阻力抵消;f2与航行方向一致,是真正推动帆船前行的动力.在物理学上常用线段的长度表示力的大小,据此,建立数学模型:F=AD=400,则f2=CD= 128 .(单位:N)(参考数据:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77)
