第23课时 多边形与平行四边形
【知识要点】 【对点练习】
1.平行四边形的概念及性质 (1)概念:两组对边分别 的四边形. (2)性质 边:对边 ;角:对角 ;对角线:对角线 1.如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,下列结论一定成立的是( ) A.OA=OB B.OA⊥OB C.OA=OC D.∠OBA=∠OBC
2.平行四边形的判定 (1)边:(i)两组对边分别 的四边形; (ii)两组对边分别 的四边形; (iii)一组对边 的四边形. (2)角:两组对角分别 的四边形. (3)对角线:对角线 的四边形. 2.下列不能判断一个四边形是平行四边形的是( ) A.一组对边平行且相等的四边形 B.两组对边分别相等的四边形 C.对角线互相平分的四边形 D.一组对边相等,且另一组对边平行的四边形
3.两条平行线之间的距离 (1)如果两条直线平行,那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都 . (2)两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的 ,叫做两条平行线之间的距离. 3.如图,AD,CE是△ABC的高,过点A作AF∥BC,则下列线段的长可表示图中两条平行线之间的距离的是( ) A.AB B.AD C.CE D.AC
4.三角形的中位线 (1)定义:连接三角形两边 的线段叫做三角形的中位线. (2)性质: 三角形的中位线 于三角形的第三边,且等于第三边的 . 4.如图,在△ABC中,BC=4,点D,E分别为AB,AC的中点,则DE=( ) A. B. C.1 D.2
5.多边形 (1)内角和定理:n边形的内角和是 . (2)外角和定理:任意多边形的外角和为 . (3)正多边形:各个角 ,各条边 的多边形. 5.(1)(教材再开发·人教八上P25T4改编)正八边形一个内角的度数为 . (2)如果正n边形的一个内角与一个外角的比是3∶2,则n= .
考点1 平行四边形的性质
【示范题1】(2024·贵州中考)如图, ABCD的对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是( )
A.AB=BC B.AD=BC
C.OA=OB D.AC⊥BD
【答题关键指导】
1.利用平行四边形的性质时,可从三个方面去应用:边、角、对角线.
2.在解决平行四边形中的线段和角相等的问题时,常常利用平行四边形的性质证明三角形全等来解决.
【跟踪训练】
1.(2024·河南中考)如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E为OC的中点,EF∥AB交BC于点F.若AB=4,则EF的长为( )
A. B.1 C. D.2
2.(2024·眉山中考)如图,在 ABCD中,点O是BD的中点,EF过点O,下列结论:
①AB∥DC;②EO=ED;③∠A=∠C;④S四边形ABOE=S四边形CDOF,其中正确结论的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
考点2 平行四边形的判定
【示范题2】(2024·乐山中考)如图,下列条件中,不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A.AB∥DC,AD∥BC
B.AB=DC,AD=BC
C.AO=CO,BO=DO
D.AB∥DC,AD=BC
【答题关键指导】
判定平行四边形的三种思路
(1)若已知一组对边平行,可以证明这组对边相等,或另一组对边平行.
(2)若已知一组对边相等,可以证明这组对边平行,或另一组对边相等.
(3)若已知条件与对角线有关,可以证明对角线互相平分.
【跟踪训练】
1.(2024·武汉中考)如图,在 ABCD中,点E,F分别在边BC,AD上,AF=CE.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)连接EF.请添加一个与线段相关的条件,使四边形ABEF是平行四边形.(不需要说明理由)
2.(2024·达州中考)如图,线段AC,BD相交于点O,且AB∥CD,AE⊥BD于点E.
(1)尺规作图:过点C作BD的垂线,垂足为点F,连接AF,CE;(不写作法,保留作图痕迹,并标明相应的字母)
(2)若AB=CD,请判断四边形AECF的形状,并说明理由.(若前问未完成,可画草图完成此问)
考点3 三角形的中位线
【示范题3】(2024·广安中考)如图,在△ABC中,点D,E分别是AC,BC的中点,若
∠A=45°, ∠CED=70°,则∠C的度数为( )
A.45° B.50° C.60° D.65°
【跟踪训练】
(2024·重庆中考)如图,在△ABC中,延长AC至点D,使CD=CA,过点D作DE∥CB,且DE=DC,连接AE交BC于点F.若∠CAB=∠CFA,CF=1,则BF= .
考点4 多边形的内角和与外角和
【示范题4】(2024·云南中考)一个七边形的内角和等于( )
A.540° B.900° C.980° D.1080°
【答题关键指导】
1.多边形内角和为(n-2)·180°,外角和恒为360°,不随边数的变化而变化.
2.一个多边形截去一个角后,边数可能减1,可能不变,可能加1,要分类讨论.
【跟踪训练】
1.(2024·乐山中考)下列多边形中,内角和最小的是( )
2.(2024·遂宁中考)佩佩在“黄峨古镇”研学时学习扎染技术,得到一个内角和为
1 080°的正多边形图案,这个正多边形的每个外角为( )
A.36° B.40° C.45° D.60°
1.(2022·福建中考)四边形的外角和度数是 .
2.(2022·福建中考)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点.若BC=12,则DE的长为 .
3.(2023·福建中考)如图,在 ABCD中,O为BD的中点,EF过点O且分别交AB,CD于点E,F.若AE=10,则CF的长为 . 第23课时 多边形与平行四边形
【知识要点】 【对点练习】
1.平行四边形的概念及性质 (1)概念:两组对边分别 平行 的四边形. (2)性质 边:对边 平行且相等 ;角:对角 相等 ;对角线:对角线 互相平分 1.如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,下列结论一定成立的是(C) A.OA=OB B.OA⊥OB C.OA=OC D.∠OBA=∠OBC
2.平行四边形的判定 (1)边:(i)两组对边分别 平行 的四边形; (ii)两组对边分别 相等 的四边形; (iii)一组对边 平行且相等 的四边形. (2)角:两组对角分别 相等 的四边形. (3)对角线:对角线 互相平分 的四边形. 2.下列不能判断一个四边形是平行四边形的是(D) A.一组对边平行且相等的四边形 B.两组对边分别相等的四边形 C.对角线互相平分的四边形 D.一组对边相等,且另一组对边平行的四边形
3.两条平行线之间的距离 (1)如果两条直线平行,那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都 相等 . (2)两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的 距离 ,叫做两条平行线之间的距离. 3.如图,AD,CE是△ABC的高,过点A作AF∥BC,则下列线段的长可表示图中两条平行线之间的距离的是(B) A.AB B.AD C.CE D.AC
4.三角形的中位线 (1)定义:连接三角形两边 中点 的线段叫做三角形的中位线. (2)性质: 三角形的中位线 平行 于三角形的第三边,且等于第三边的 一半 . 4.如图,在△ABC中,BC=4,点D,E分别为AB,AC的中点,则DE=(D) A. B. C.1 D.2
5.多边形 (1)内角和定理:n边形的内角和是 (n-2)×180° . (2)外角和定理:任意多边形的外角和为 360° . (3)正多边形:各个角 相等 ,各条边 相等 的多边形. 5.(1)(教材再开发·人教八上P25T4改编)正八边形一个内角的度数为 135° . (2)如果正n边形的一个内角与一个外角的比是3∶2,则n= 5 .
考点1 平行四边形的性质
【示范题1】(2024·贵州中考)如图, ABCD的对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是(B)
A.AB=BC B.AD=BC
C.OA=OB D.AC⊥BD
【答题关键指导】
1.利用平行四边形的性质时,可从三个方面去应用:边、角、对角线.
2.在解决平行四边形中的线段和角相等的问题时,常常利用平行四边形的性质证明三角形全等来解决.
【跟踪训练】
1.(2024·河南中考)如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E为OC的中点,EF∥AB交BC于点F.若AB=4,则EF的长为(B)
A. B.1 C. D.2
2.(2024·眉山中考)如图,在 ABCD中,点O是BD的中点,EF过点O,下列结论:
①AB∥DC;②EO=ED;③∠A=∠C;④S四边形ABOE=S四边形CDOF,其中正确结论的个数为(C)
A.1 B.2 C.3 D.4
考点2 平行四边形的判定
【示范题2】(2024·乐山中考)如图,下列条件中,不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(D)
A.AB∥DC,AD∥BC
B.AB=DC,AD=BC
C.AO=CO,BO=DO
D.AB∥DC,AD=BC
【答题关键指导】
判定平行四边形的三种思路
(1)若已知一组对边平行,可以证明这组对边相等,或另一组对边平行.
(2)若已知一组对边相等,可以证明这组对边平行,或另一组对边相等.
(3)若已知条件与对角线有关,可以证明对角线互相平分.
【跟踪训练】
1.(2024·武汉中考)如图,在 ABCD中,点E,F分别在边BC,AD上,AF=CE.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)连接EF.请添加一个与线段相关的条件,使四边形ABEF是平行四边形.(不需要说明理由)
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,∠B=∠D.
∵AF=CE,∴AD-AF=BC-CE,
∴DF=BE,在△ABE与△CDF中,
,∴△ABE≌△CDF(SAS);
(2)(答案不唯一)添加BE=CE.理由如下:
∵AF=CE,BE=CE,∴AF=BE,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,
∴四边形ABEF是平行四边形.
2.(2024·达州中考)如图,线段AC,BD相交于点O,且AB∥CD,AE⊥BD于点E.
(1)尺规作图:过点C作BD的垂线,垂足为点F,连接AF,CE;(不写作法,保留作图痕迹,并标明相应的字母)
(2)若AB=CD,请判断四边形AECF的形状,并说明理由.(若前问未完成,可画草图完成此问)
【解析】(1)如图,CF,AF,CE为所作;
(2)四边形AECF为平行四边形.
理由如下:
∵AB∥CD,∴∠B=∠D,∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴AE∥CF,∠AEB=∠CFD=90°,
在△ABE和△CDF中,,
∴△ABE≌△CDF(AAS),∴AE=CF,
而AE∥CF,∴四边形AECF为平行四边形.
考点3 三角形的中位线
【示范题3】(2024·广安中考)如图,在△ABC中,点D,E分别是AC,BC的中点,若
∠A=45°, ∠CED=70°,则∠C的度数为(D)
A.45° B.50° C.60° D.65°
【跟踪训练】
(2024·重庆中考)如图,在△ABC中,延长AC至点D,使CD=CA,过点D作DE∥CB,且DE=DC,连接AE交BC于点F.若∠CAB=∠CFA,CF=1,则BF= 3 .
考点4 多边形的内角和与外角和
【示范题4】(2024·云南中考)一个七边形的内角和等于(B)
A.540° B.900° C.980° D.1080°
【答题关键指导】
1.多边形内角和为(n-2)·180°,外角和恒为360°,不随边数的变化而变化.
2.一个多边形截去一个角后,边数可能减1,可能不变,可能加1,要分类讨论.
【跟踪训练】
1.(2024·乐山中考)下列多边形中,内角和最小的是(A)
2.(2024·遂宁中考)佩佩在“黄峨古镇”研学时学习扎染技术,得到一个内角和为
1 080°的正多边形图案,这个正多边形的每个外角为(C)
A.36° B.40° C.45° D.60°
1.(2022·福建中考)四边形的外角和度数是 360° .
2.(2022·福建中考)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点.若BC=12,则DE的长为 6 .
3.(2023·福建中考)如图,在 ABCD中,O为BD的中点,EF过点O且分别交AB,CD于点E,F.若AE=10,则CF的长为 10 .
