第25课时 正方形
【知识要点】 【对点练习】
1.正方形的判定 (1)有一组邻边 相等 并且有一个角是 直角 的平行四边形(定义); (2)一组邻边 相等 的矩形; (3)一个角是 直角 的菱形; (4)对角线相等且垂直的平行四边形. 1.下列命题为真命题的是(B) A.四边相等的四边形是正方形 B.有一组邻边相等的矩形是正方形 C.对角线相等的四边形是正方形 D.对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
2.正方形的性质 (1)正方形的四个角都是 直角 ; (2)正方形的四条边都 相等 ; (3)正方形的两条对角线 相等 且互相 垂直平分 ,每一条对角线平分一组对角; (4)既是 中心 对称图形,又是轴对称图形. 2.(1)正方形具有而矩形不一定具有的性质是(D) A.四个角都相等 B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线互相垂直 (2)正方形具有而菱形不一定具有的性质是(B) A.对角线互相垂直 B.对角线相等 C.对边相等 D.邻边相等
考点1 正方形的性质
【示范题1】(2024·重庆中考)如图,在边长为4的正方形ABCD中,点E是BC上一点,点F是CD延长线上一点,连接AE,AF,AM平分∠EAF交CD于点M.若BE= DF=1,则DM的长度为(D)
A.2 B.
C. D.
【跟踪训练】
1.(2024·重庆中考)如图,在正方形ABCD的边CD上有一点E,连接AE,把AE绕点E逆时针旋转90°,得到FE,连接CF并延长与AB的延长线交于点G.则的值为(A)
A. B. C. D.
2.(2024·烟台中考)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别为对角线BD,AC的三等分点,连接AE并延长交CD于点G,连接EF,FG.若∠AGF=α,则∠FAG用含α的代数式表示为(B)
A. B.
C. D.
考点2 正方形的判定
【示范题2】(2024·莆田模拟)如图,点E为正方形ABCD外一点,∠AEB=90°,将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF,DF的延长线交BE于H点.
(1)试判定四边形AFHE的形状,并说明理由;
(2)已知BH=7,BC=13,求DH的长.
【自主解答】(1)四边形AFHE是正方形.理由如下:
∵Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF,
∴Rt△ABE≌Rt△ADF,
∴∠AEB=∠AFD=90°,
∴∠AFH=90°,
∵Rt△ABE≌Rt△ADF,
∴∠DAF=∠BAE,
又∵∠DAF+∠FAB=90°,
∴∠BAE+∠FAB=90°,
∴∠FAE=90°,
在四边形AFHE中,∠FAE=90°,∠AEB=90°,∠AFH=90°,
∴四边形AFHE是矩形,
又∵AE=AF,
∴矩形AFHE是正方形;
(2)设AE=x.则由(1)以及题意可知:AE=EH=FH=AF=x,BH=7,BC=AB=13,
在Rt△AEB中,AB2=AE2+BE2,
即132=x2+(x+7)2,
解得x=5(负值已舍),
∴BE=BH+EH=5+7=12,
∴DF=BE=12,
又∵DH=DF+FH,
∴DH=12+5=17.
【答题关键指导】
判定一个四边形是正方形的步骤
(1)先证它是平行四边形.
(2)再证有一组邻边相等(或一个角是直角).
(3)最后证它有一个角是直角(或有一组邻边相等).
【跟踪训练】
(2024·龙岩二模)问题解决:如图1,在矩形ABCD中,点E,F分别在AB,BC边上,DE=AF,DE⊥AF于点G.
(1)求证:四边形ABCD是正方形;
(2)延长CB到点H,使得BH=AE,判断△AHF的形状,并说明理由.
【类比迁移】(3)如图2,在菱形ABCD中,点E,F分别在AB,BC边上,DE与AF相交于点G,DE=AF,∠AED=60°,AE=6,BF=2,求DE的长.
【解析】(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DAB=∠ABC=90°,
∵DE⊥AF,
∴∠DAB=∠AGD=90°,
∴∠BAF+∠DAF=90°,∠ADE+∠DAF=90°,
∴∠ADE=∠BAF,
∵DE=AF,
∴△ADE≌△BAF(AAS),
∴AD=AB,
∵四边形ABCD是矩形,
∴四边形ABCD是正方形;
(2)△AHF是等腰三角形,
理由:由(1)知四边形ABCD是正方形,
∴∠DAB=∠ABH=90°,AB=DA,
∵BH=AE,
∴△DAE≌△ABH(SAS),
∴AH=DE,
∵DE=AF,
∴AH=AF,
∴△AHF是等腰三角形;
(3)延长CB到点H,使BH=AE=6,连接AH,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,AB=AD,
∴∠ABH=∠BAD,
∵BH=AE,
∴△DAE≌△ABH(SAS),
∴AH=DE,∠AHB=∠DEA=60°,
∵DE=AF,
∴AH=AF,
∴△AHF是等边三角形,
∴AH=HF=HB+BF=AE+BF=6+2=8,
∴DE=AH=8.
(2024·福建中考)如图,正方形ABCD的面积为4,点E,F,G,H分别为边AB,BC, CD,AD的中点,则四边形EFGH的面积为 2 . 第25课时 正方形
【知识要点】 【对点练习】
1.正方形的判定 (1)有一组邻边 并且有一个角是 的平行四边形(定义); (2)一组邻边 的矩形; (3)一个角是 的菱形; (4)对角线相等且垂直的平行四边形. 1.下列命题为真命题的是( ) A.四边相等的四边形是正方形 B.有一组邻边相等的矩形是正方形 C.对角线相等的四边形是正方形 D.对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
2.正方形的性质 (1)正方形的四个角都是 ; (2)正方形的四条边都 ; (3)正方形的两条对角线 且互相 ,每一条对角线平分一组对角; (4)既是 对称图形,又是轴对称图形. 2.(1)正方形具有而矩形不一定具有的性质是( ) A.四个角都相等 B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线互相垂直 (2)正方形具有而菱形不一定具有的性质是( ) A.对角线互相垂直 B.对角线相等 C.对边相等 D.邻边相等
考点1 正方形的性质
【示范题1】(2024·重庆中考)如图,在边长为4的正方形ABCD中,点E是BC上一点,点F是CD延长线上一点,连接AE,AF,AM平分∠EAF交CD于点M.若BE= DF=1,则DM的长度为( )
A.2 B.
C. D.
【跟踪训练】
1.(2024·重庆中考)如图,在正方形ABCD的边CD上有一点E,连接AE,把AE绕点E逆时针旋转90°,得到FE,连接CF并延长与AB的延长线交于点G.则的值为( )
A. B. C. D.
2.(2024·烟台中考)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别为对角线BD,AC的三等分点,连接AE并延长交CD于点G,连接EF,FG.若∠AGF=α,则∠FAG用含α的代数式表示为( )
A. B.
C. D.
考点2 正方形的判定
【示范题2】(2024·莆田模拟)如图,点E为正方形ABCD外一点,∠AEB=90°,将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF,DF的延长线交BE于H点.
(1)试判定四边形AFHE的形状,并说明理由;
(2)已知BH=7,BC=13,求DH的长.
【答题关键指导】
判定一个四边形是正方形的步骤
(1)先证它是平行四边形.
(2)再证有一组邻边相等(或一个角是直角).
(3)最后证它有一个角是直角(或有一组邻边相等).
【跟踪训练】
(2024·龙岩二模)问题解决:如图1,在矩形ABCD中,点E,F分别在AB,BC边上,DE=AF,DE⊥AF于点G.
(1)求证:四边形ABCD是正方形;
(2)延长CB到点H,使得BH=AE,判断△AHF的形状,并说明理由.
【类比迁移】(3)如图2,在菱形ABCD中,点E,F分别在AB,BC边上,DE与AF相交于点G,DE=AF,∠AED=60°,AE=6,BF=2,求DE的长.
(2024·福建中考)如图,正方形ABCD的面积为4,点E,F,G,H分别为边AB,BC, CD,AD的中点,则四边形EFGH的面积为 .
