第1课时 实数
【知识要点】 【对点练习】
1.数轴 规定了原点、正方向、 单位长度 的直线. 1.(教材再开发·人教七上P9练习T2改编)下列数轴的画法中,正确的是(D)
2.相反数 a的相反数是 -a .互为相反数的两个数的和是 0 . 2.若a与b互为相反数,则代数式2 025a+2 025b-5= -5 .
3.倒数 乘积为 1 的两个数互为倒数,a(a≠0)的倒数是 , 0 没有倒数. 3.-2 026的倒数是(D) A.2 026 B.-2 026 C. D.-
4.绝对值 (1)从“数”的角度看: |a|= (2)从“形”的角度看:一个数的绝对值就是在数轴上表示这个数的点到 原点 的距离. 4.(1)-2 025的绝对值是(B) A.-2 025 B.2 025 C.±2 025 D. (2)0的绝对值是 0 . (3)若|x|=2 026,则x= ±2 026 .
5.科学记数法的一般形式 把一个数写成 a×10n 的形式(其中 1 ≤< 10 ,n为整数). 5.据报道,2024年春节期间,泉州文旅市场共接待旅游人数818.12万人次,实现旅游收入80.18亿元,游客接待量与旅游总收入均创历史新高.用科学记数法可将数据8 181 200表示为(B) A.0.818 12×107 B.8.181 2×106 C.8.181 2×105 D.81.812×105
6.实数的大小比较 (1)数轴比较法:数轴上两个点表示的数,右边的数总比左边的数 大 . (2)类别比较法: 正数 >0>负数;两个负数比较大小, 绝对值 大的数反而小. (3)作差比较法: ①a-b>0 a>b;②a-b<0 a < b; ③a-b=0 a = b. 6.(1)四个实数-,0,2,中,最大的数是(C) A.- B.0 C.2 D. (2)若a=,b=,c=2,则a,b,c的大小关系为(C) A.b
续表
【知识要点】 【对点练习】
7.常用运算律(用字母表示) (1)加法交换律:a+b= b+a . (2)加法结合律:(a+b)+c= a+(b+c) . (3)乘法交换律:ab= ba . (4)乘法结合律:(ab)c= a(bc) . (5)乘法分配律:a(b+c)= ab+ac . 7.(教材再开发·人教七上P33例4改编)计算:(-+)÷. 【解析】(-+)÷=(-+)×36 =×36-×36+×36=15-28+24=11.
8.实数的分类及性质 (1)实数分类 实数 (2)性质: 实数 与数轴上的点一一对应 8.下列说法错误的是(C) A.0不是正数也不是负数 B.3.14是正有理数 C.-是负无理数 D.有理数与无理数统称为实数
9.算术平方根、平方根、立方根的概念 (1)算术平方根:若一个 正数 x的平方等于a,即x2=a,那么这个 正数 x叫做a的算术平方根,记作: .特别地,0的算术平方根为 0 . (2)平方根:如果一个数x的平方等于a,即x2=a(a≥0),则x叫做a的 平方根 ,记作: ± . (3)立方根:如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么x叫做a的立方根(或三次方根),记作: . 9.(1)的平方根是(A) A.±2 B.2 C.±8 D.8 (2)16的算术平方根是 4 .
10.实数的运算 实数的 运算种类实数的运算包括加、减、乘、除、 乘方 、 开方 乘方= an ,其中a是底数,n是指数 零指数幂和负整数 指数幂a0= 1 (a≠0), a-p= (a≠0) 实数的 运算 顺序先算 乘方、开方 ,再算 乘除 ,最后算 加减 ,如果有括号,先算括号里边的
10.计算:|-5|-+(-2)2+4÷. 【解析】原式=5-3+4-6=0.
考点1 相反数、倒数、绝对值
【示范题1】(2024·安徽中考)-5的绝对值是(A)
A.5 B.-5 C. D.-
【答题关键指导】
1.a,b互为相反数 a+b=0.
2.a,b互为倒数 ab=1.
3.倒数、相反数等于本身的数分别为±1和0.
4.若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0.
【跟踪训练】
1.(2024·连云港中考)-的相反数是(A)
A. B.- C.-2 D.2
2.(2024·陕西中考)-3的倒数是(A)
A.- B. C.-3 D.3
3.(2024·湖北中考)在生产生活中,正数和负数都有现实意义.例如收入20元记作+20元,则支出10元记作(B)
A.+10元 B.-10元
C.+20元 D.-20元
4.(2024·凉山州中考)下列各数中:5,-,-3,0,-25.8,+2,负数有(C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
考点2 科学记数法
【示范题2】(1)(2024·上海中考)科学家研发了一种新的蓝光唱片,一张蓝光唱片的容量约为2×105GB,一张普通唱片的容量约为25GB,则蓝光唱片的容量是普通唱片的 8×103 倍.(用科学记数法表示)
(2)(2024·广元中考)2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家,以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”.什么是阿秒 1阿秒是10-18秒,也就是十亿分之一秒的十亿分之一.目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒.将43阿秒用科学记数法表示为 4.3×10-17 秒.
【答题关键指导】
1.若|x|>10,则x=a×10n,其中1≤|a|<10,n比原数的整数位数少1.
2.若|x|<1,则x=a×10-n,其中1≤|a|<10,n等于原数第一个非零数字前面0的个数.
3.在用科学记数法表示数时,要注意原数和科学记数法表示的数的单位.
【跟踪训练】
(2024·威海中考)据央视网2023年10月11日消息,中国科学技术大学中国科学院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作,成功构建了255个光子的量子计算原型机“九章三号”,再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录.“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍,在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本,需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间.将“百万分之一”用科学记数法表示为(B)
A.1×10-5 B.1×10-6
C.1×10-7 D.1×10-8
考点3 平方根与立方根
【示范题3】(2024·内江中考)16的平方根是(D)
A.2 B.-4 C.4 D.±4
【答题关键指导】
1.一个正数的平方根有两个,不要丢掉其中的负平方根,算术平方根是其中的一个正平方根,不要弄错了符号.
2.若一个正数a不能写成某个数的平方的形式,则直接说它的平方根为±.
【跟踪训练】
1.(2024·福州模拟)25的算术平方根是 5 .
2.(2024·莆田二模)的平方根是 ±2 .
3.(2024·泉州二模)27的立方根是 3 .
考点4 实数的分类及有关概念
【示范题4】(2024·烟台中考)下列实数中的无理数是(C)
A. B.3.14 C. D.
【答题关键指导】
无理数常见的几种类型
(1)无限不循环小数,如2.121 314….
(2)开不尽方的数(根号型),如,.
(3)具有特定意义的数,如π, .
(4)具有特定结构的数(构造型),如0.101 001 000 1…(两个1之间依次增加一个0).
(5)三角函数型:sin 21°,cos 45°,….
【跟踪训练】
(2024·临夏州中考)下列各数中,是无理数的是(A)
A.
B.
C.
D.0.131 33
考点5 实数的大小比较及无理数的估算
【示范题5】(2024·威海中考)下列各数中,最小的数是(A)
A.-2
B.-(-2)
C.-
D.-
【答题关键指导】
1.估算一个无理数介于哪两个数之间(或求无理数的整数部分),如n<2.若的整数部分为m,则其小数部分为-m.
【跟踪训练】
1.(2024·自贡中考)在0,-2,-,π四个数中,最大的数是(C)
A.-2
B.0
C.π
D.-
2.(2024·烟台中考)实数a,b,c在数轴上的位置如图所示,下列结论正确的是(B)
A.b+c>3
B.a-c<0
C.|a|>|c|
D.-2a<-2b
考点6 实数的运算
【示范题6】(2024·重庆中考B卷)估计(+)的值应在(C)
A.8和9之间
B.9和10之间
C.10和11之间
D.11和12之间
【跟踪训练】
1.(2024·德阳中考)化简:= 3 .
2.(2024·上海中考)已知=1,则x= 1 .
3.(2024·威海中考)计算:-×= -2 .
4.(2024·临夏州中考)计算:|-|-()-1+2 0250.
【解析】原式=|-2|-3+1
=2-3+1
=2+1-3
=0.
1.(2022·福建中考)-11的相反数是(D)
A.-11 B.- C. D.11
2.(2023·福建中考)下列实数中,最大的数是(D)
A.-1 B.0 C.1 D.2
3.(2024·福建中考)下列实数中,无理数是(D)
A.-3 B.0 C. D.
4.(2022·福建中考)5G应用在福建省全面铺开,助力千行百业迎“智”变.截至2021年底,全省5G终端用户达1 397.6万户.数据13 976 000用科学记数法表示为(C)
A.13 976×103
B.1 397.6×104
C.1.397 6×107
D.0.139 76×108
5.(2023·福建中考)党的二十大报告指出,我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系,教育普及水平实现历史性跨越,基本养老保险覆盖十亿四千万人,基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五.将数据1 040 000 000用科学记数法表示为(C)
A.104×107
B.10.4×108
C.1.04×109
D.0.104×1010
6.(2024·福建中考)据《人民日报》3月12日电,世界知识产权组织近日公布数据显示,2023年,全球PCT(《专利合作条约》)国际专利申请总量为27.26万件,中国申请量为69 610件,是申请量最大的来源国.数据69 610用科学记数法表示为(C)
A.6 961×10
B.696.1×102
C.6.961×104
D.0.696 1×105
7.(2022·福建中考)如图,数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个,这个无理数是(B)
A.-
B.
C.
D.π
8.(2023·福建中考)某仓库记账员为方便记账,将进货10件记作+10,那么出货5件应记作 -5 .
9.(2024·福建中考)计算:(-1)0+|-5|-.
【解析】原式=1+5-2
=6-2
=4.
10.(2023·福建中考)计算:-20+|-1|.
【解析】原式=3-1+1
=2+1=3.
11.(2022·福建中考)计算:+|-1|-2 0220.
【解析】原式=2+-1-1=.第1课时 实数
【知识要点】 【对点练习】
1.数轴 规定了原点、正方向、 的直线. 1.(教材再开发·人教七上P9练习T2改编)下列数轴的画法中,正确的是( )
2.相反数 a的相反数是 .互为相反数的两个数的和是 . 2.若a与b互为相反数,则代数式2 025a+2 025b-5= .
3.倒数 乘积为 的两个数互为倒数,a(a≠0)的倒数是 , 没有倒数. 3.-2 026的倒数是( ) A.2 026 B.-2 026 C. D.-
4.绝对值 (1)从“数”的角度看: |a|= (2)从“形”的角度看:一个数的绝对值就是在数轴上表示这个数的点到 的距离. 4.(1)-2 025的绝对值是( ) A.-2 025 B.2 025 C.±2 025 D. (2)0的绝对值是 . (3)若|x|=2 026,则x= .
5.科学记数法的一般形式 把一个数写成 的形式(其中 ≤< ,n为整数). 5.据报道,2024年春节期间,泉州文旅市场共接待旅游人数818.12万人次,实现旅游收入80.18亿元,游客接待量与旅游总收入均创历史新高.用科学记数法可将数据8 181 200表示为( ) A.0.818 12×107 B.8.181 2×106 C.8.181 2×105 D.81.812×105
6.实数的大小比较 (1)数轴比较法:数轴上两个点表示的数,右边的数总比左边的数 . (2)类别比较法: >0>负数;两个负数比较大小, 大的数反而小. (3)作差比较法: ①a-b>0 a>b;②a-b<0 a b; ③a-b=0 a b. 6.(1)四个实数-,0,2,中,最大的数是( ) A.- B.0 C.2 D. (2)若a=,b=,c=2,则a,b,c的大小关系为( ) A.b续表
【知识要点】 【对点练习】
7.常用运算律(用字母表示) (1)加法交换律:a+b= . (2)加法结合律:(a+b)+c= . (3)乘法交换律:ab= . (4)乘法结合律:(ab)c= . (5)乘法分配律:a(b+c)= . 7.(教材再开发·人教七上P33例4改编)计算:(-+)÷.
8.实数的分类及性质 (1)实数分类 实数 (2)性质: 与数轴上的点一一对应 8.下列说法错误的是( ) A.0不是正数也不是负数 B.3.14是正有理数 C.-是负无理数 D.有理数与无理数统称为实数
9.算术平方根、平方根、立方根的概念 (1)算术平方根:若一个 x的平方等于a,即x2=a,那么这个 x叫做a的算术平方根,记作: .特别地,0的算术平方根为 . (2)平方根:如果一个数x的平方等于a,即x2=a(a≥0),则x叫做a的 ,记作: . (3)立方根:如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么x叫做a的立方根(或三次方根),记作: . 9.(1)的平方根是( ) A.±2 B.2 C.±8 D.8 (2)16的算术平方根是 .
10.实数的运算 实数的 运算种类实数的运算包括加、减、乘、除、 、 乘方= ,其中a是底数,n是指数 零指数幂和负整数 指数幂a0= (a≠0), a-p= (a≠0) 实数的 运算 顺序先算 ,再算 ,最后算 ,如果有括号,先算括号里边的
10.计算:|-5|-+(-2)2+4÷.
考点1 相反数、倒数、绝对值
【示范题1】(2024·安徽中考)-5的绝对值是( )
A.5 B.-5 C. D.-
【答题关键指导】
1.a,b互为相反数 a+b=0.
2.a,b互为倒数 ab=1.
3.倒数、相反数等于本身的数分别为±1和0.
4.若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0.
【跟踪训练】
1.(2024·连云港中考)-的相反数是( )
A. B.- C.-2 D.2
2.(2024·陕西中考)-3的倒数是( )
A.- B. C.-3 D.3
3.(2024·湖北中考)在生产生活中,正数和负数都有现实意义.例如收入20元记作+20元,则支出10元记作( )
A.+10元 B.-10元
C.+20元 D.-20元
4.(2024·凉山州中考)下列各数中:5,-,-3,0,-25.8,+2,负数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
考点2 科学记数法
【示范题2】(1)(2024·上海中考)科学家研发了一种新的蓝光唱片,一张蓝光唱片的容量约为2×105GB,一张普通唱片的容量约为25GB,则蓝光唱片的容量是普通唱片的 倍.(用科学记数法表示)
(2)(2024·广元中考)2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家,以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”.什么是阿秒 1阿秒是10-18秒,也就是十亿分之一秒的十亿分之一.目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒.将43阿秒用科学记数法表示为 秒.
【答题关键指导】
1.若|x|>10,则x=a×10n,其中1≤|a|<10,n比原数的整数位数少1.
2.若|x|<1,则x=a×10-n,其中1≤|a|<10,n等于原数第一个非零数字前面0的个数.
3.在用科学记数法表示数时,要注意原数和科学记数法表示的数的单位.
【跟踪训练】
(2024·威海中考)据央视网2023年10月11日消息,中国科学技术大学中国科学院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作,成功构建了255个光子的量子计算原型机“九章三号”,再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录.“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍,在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本,需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间.将“百万分之一”用科学记数法表示为( )
A.1×10-5 B.1×10-6
C.1×10-7 D.1×10-8
考点3 平方根与立方根
【示范题3】(2024·内江中考)16的平方根是( )
A.2 B.-4 C.4 D.±4
【答题关键指导】
1.一个正数的平方根有两个,不要丢掉其中的负平方根,算术平方根是其中的一个正平方根,不要弄错了符号.
2.若一个正数a不能写成某个数的平方的形式,则直接说它的平方根为±.
【跟踪训练】
1.(2024·福州模拟)25的算术平方根是 .
2.(2024·莆田二模)的平方根是 .
3.(2024·泉州二模)27的立方根是 .
考点4 实数的分类及有关概念
【示范题4】(2024·烟台中考)下列实数中的无理数是( )
A. B.3.14 C. D.
【答题关键指导】
无理数常见的几种类型
(1)无限不循环小数,如2.121 314….
(2)开不尽方的数(根号型),如,.
(3)具有特定意义的数,如π, .
(4)具有特定结构的数(构造型),如0.101 001 000 1…(两个1之间依次增加一个0).
(5)三角函数型:sin 21°,cos 45°,….
【跟踪训练】
(2024·临夏州中考)下列各数中,是无理数的是( )
A.
B.
C.
D.0.131 33
考点5 实数的大小比较及无理数的估算
【示范题5】(2024·威海中考)下列各数中,最小的数是( )
A.-2
B.-(-2)
C.-
D.-
【答题关键指导】
1.估算一个无理数介于哪两个数之间(或求无理数的整数部分),如n<2.若的整数部分为m,则其小数部分为-m.
【跟踪训练】
1.(2024·自贡中考)在0,-2,-,π四个数中,最大的数是( )
A.-2
B.0
C.π
D.-
2.(2024·烟台中考)实数a,b,c在数轴上的位置如图所示,下列结论正确的是( )
A.b+c>3
B.a-c<0
C.|a|>|c|
D.-2a<-2b
考点6 实数的运算
【示范题6】(2024·重庆中考B卷)估计(+)的值应在( )
A.8和9之间
B.9和10之间
C.10和11之间
D.11和12之间
【跟踪训练】
1.(2024·德阳中考)化简:= .
2.(2024·上海中考)已知=1,则x= .
3.(2024·威海中考)计算:-×= .
4.(2024·临夏州中考)计算:|-|-()-1+2 0250.
1.(2022·福建中考)-11的相反数是( )
A.-11 B.- C. D.11
2.(2023·福建中考)下列实数中,最大的数是( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
3.(2024·福建中考)下列实数中,无理数是( )
A.-3 B.0 C. D.
4.(2022·福建中考)5G应用在福建省全面铺开,助力千行百业迎“智”变.截至2021年底,全省5G终端用户达1 397.6万户.数据13 976 000用科学记数法表示为( )
A.13 976×103
B.1 397.6×104
C.1.397 6×107
D.0.139 76×108
5.(2023·福建中考)党的二十大报告指出,我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系,教育普及水平实现历史性跨越,基本养老保险覆盖十亿四千万人,基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五.将数据1 040 000 000用科学记数法表示为( )
A.104×107
B.10.4×108
C.1.04×109
D.0.104×1010
6.(2024·福建中考)据《人民日报》3月12日电,世界知识产权组织近日公布数据显示,2023年,全球PCT(《专利合作条约》)国际专利申请总量为27.26万件,中国申请量为69 610件,是申请量最大的来源国.数据69 610用科学记数法表示为( )
A.6 961×10
B.696.1×102
C.6.961×104
D.0.696 1×105
7.(2022·福建中考)如图,数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个,这个无理数是( )
A.-
B.
C.
D.π
8.(2023·福建中考)某仓库记账员为方便记账,将进货10件记作+10,那么出货5件应记作 .
9.(2024·福建中考)计算:(-1)0+|-5|-.
10.(2023·福建中考)计算:-20+|-1|.
11.(2022·福建中考)计算:+|-1|-2 0220.