第2课时 整式、因式分解
【知识要点】 【对点练习】
1.整式的有关概念 1.(教材再开发·人教七上P59T3改编) (1)单项式-3xy2的系数是 -3 ,次数是 3 . (2)多项式2x-5xy3-1是 四 次 三 项式,其中一次项为 2x ,一次项系数为 2 .
2.同类项:所含字母 相同 ,且相同字母指数也 相同 的单项式. 2.若单项式3xmy与-2x6y是同类项,则m= 6 .
3.幂的运算性质 运算性质或法则幂的运算 (m,n为正 整数, 且m>n)同底数幂相乘am·an = am+n 同底数幂相除am÷an = am-n (a≠0) 幂的乘方(am)n = amn 积的乘方(ab)n= an bn
3.计算: (1)a3·a2= a5 ; (2)(a3)2= a6 ; (3)(3a)2= 9a2 ; (4)x7÷x2= x5 ; (5)(a-1)0= 1 (a≠1); (6)a-2= (a≠0).
4.加减运算 (1)实质:合并同类项 (2)合并同类项:把同类项的 系数 相加,字母和字母的 指数 不变 (3)去括号法则: ①a+(b+c)=a + b + c;②a-(b+c)= a - b - c 4.(1)计算2a-3a,结果正确的是(C) A.-1 B.1 C.-a D.a (2)计算(1-2a)-(2-2a)= -1 .
5.整式的乘法 (1)单项式乘单项式 系数、相同字母的幂 分别相乘,只在一个单项式中出现的字母,连同它的 指数 一起作为积的一个因式 (2)单项式乘多项式m(a+b+c)= ma+mb+mc (3)多项式乘多项式(a+b)(m+n)= am+an+bm+bn 平方差公式:(a+b)(a-b)= a2-b2 完全平方公式:(a±b)2= a2 ±2ab+b2 5.(教材再开发·人教八上P100例5改编)计算:(1)3a3·a2= 3a5 ; (2)-2a·8a2= -16a3 ; (3)3a2(a+2b2)= 3a3+6a2b2 ; (4)(6ab+4a2)÷2a= 3b+2a ; (5)(a+2b)(a-b)= a2+ab-2b2 ; (6)(x+3)(x-3)= x2-9 ; (7)(2x-1)2= 4x2-4x+1 .
续表
【知识要点】 【对点练习】
6.整式的除法运算 (1)单项式除以单项式:将系数、同底数幂分别相除,作为商的一个因式;对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式. (2)多项式除以单项式:先用多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商 相加 . 6.(1)长方形的面积为4a2-6ab+2a,若它的一边长为2a,则它的另一边长为(A) A.2a-3b+1 B.4a2-6ab C.4a-3b+1 D.2a-3b (2)8a3b÷2a2=8÷2a3-2b= 4ab .
7.因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的 积 的形式,这种变形叫做多项式的因式分解. 7.下面各式从左到右的变形,属于因式分解的是(C) A.x2-x-1=x(x-1)-1 B.x2-1=(x-1)2 C.x2-x-6=(x-3)(x+2) D.x(x-1)=x2-x
8.因式分解的方法和步骤 (1)提公因式法:am+bm+cm= m(a+b+c) . (2)运用公式法:平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b); 完全平方公式:a2±2ab+b2= (a±b)2 . (3)步骤(一提,二套,三检查) ①若多项式的各项有公因式,则应先 提取公因式 ,首项是负的,可将负号一并提取. ②若多项式的各项没有公因式,则可以考虑用 公式 法来因式分解. ③检查因式分解是否彻底. 8.(1)分解因式:x2-9y2= (x-3y)(x+3y) . (2)因式分解:a2+4a+4= (a+2)2 . (3)分解因式:x2-2x+1= (x-1)2 . (4)分解因式:2 022x2-4 044x+2 022 = 2 022(x-1)2 . (5)因式分解:x2-3x+2= (x-1)(x-2) .
考点1 列代数式及求代数式的值
【示范题1】(2024·新疆中考)若每个篮球30元,则购买n个篮球需 30n 元.
【跟踪训练】
(2024·广安中考)下列对代数式-3x的意义表述正确的是(C)
A.-3与x的和 B.-3与x的差
C.-3与x的积 D.-3与x的商
考点2 整式的相关概念及加减运算
【示范题2】(1)(2024·河南中考)请写出2m的一个同类项: m(答案不唯一) .
(2)(2024·乐山中考)计算:a+2a= 3a .
【答题关键指导】
1.单项式的次数指的是单项式中所有字母的指数和.
2.多项式的次数与单项式的次数不同,不是指所有项的次数之和.
3.多项式中的每一项都包括前面的符号.
【跟踪训练】
(2024·德阳中考)若一个多项式加上y2+3xy-4,结果是3xy+2y2-5,则这个多项式为 y2-1 .
考点3 幂的运算
【示范题3】(2024·上海中考)计算:(4x2)3= 64x6 .
【答题关键指导】
1.牢记幂的运算性质,不要混淆,尤其是同底数幂相乘和幂的乘方.
2.不要忽略符号及数字因数.
3.幂的运算性质还要会逆用.
【跟踪训练】
1.(2024·新疆中考)下列运算正确的是(B)
A.a2+2a2=3 B.a2·a5=a7
C.a8÷a2=a4 D.(2a)3=2a3
2.(2024·苏州中考)计算:x3·x2= x5 .
考点4 整式的乘法及乘法公式
【示范题4】(2024·湖北中考)计算2x·3x2的结果是(D)
A.5x2 B.5x3 C.6x2 D.6x3
【答题关键指导】
1.单项式与多项式相乘,乘积的项数等于多项式的项数,不要漏乘.
2.整式的乘法要注意每一项的符号.
3.在平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2中a和b分别代表两个整式中相同的部分和互为相反数的部分.
4.一般情况下(a+b)2≠a2+b2,(a-b)2≠a2-b2.
【跟踪训练】
1.(2024·上海中考)计算:(a+b)(b-a)= b2-a2 .
2.(2024·乐山中考)已知a-b=3,ab=10,则a2+b2= 29 .
3.(2024·甘肃中考)先化简,再求值:[(2a+b)2-(2a+b)(2a-b)]÷2b,其中a=2,b=-1.
【解析】原式=[4a2+4ab+b2-(4a2-b2)]÷2b
=(4a2+4ab+b2-4a2+b2)÷2b
=(4ab+2b2)÷2b=2a+b,
当a=2,b=-1时,原式=2×2-1=3.
考点5 因式分解
【示范题5】(2024·云南中考)分解因式:a3-9a=(A)
A.a(a-3)(a+3) B.a(a2+9)
C.(a-3)(a+3) D.a2(a-9)
【答题关键指导】
1.分解因式时,先提公因式,再根据项数确定是否能运用公式.
2.分解因式必须分解彻底.
3.若第一项系数为负数,分解因式应先提取“-”.
【跟踪训练】
1.(2024·广西中考)如果a+b=3,ab=1,那么a3b+2a2b2+ab3的值为(D)
A.0 B.1 C.4 D.9
2.(2024·盐城中考)分解因式:x2+2x+1= (x+1)2 .
3.(2024·扬州中考)分解因式:2x2-4x+2= 2(x-1)2 .
4.(2024·威海中考)因式分解:(x+2)(x+4)+1= (x+3)2 .
1.(2023·福建中考)下列计算正确的是(A)
A.(a2)3=a6 B.a6÷a2=a3
C.a3·a4=a12 D.a2-a=a
2.(2024·福建中考)下列运算正确的是(B)
A.a3·a3=a9 B.a4÷a2=a2
C.(a3)2=a5 D.2a2-a2=2
3.(2024·福建中考)因式分解:x2+x= x(x+1) . 第2课时 整式、因式分解
【知识要点】 【对点练习】
1.整式的有关概念 1.(教材再开发·人教七上P59T3改编) (1)单项式-3xy2的系数是 ,次数是 . (2)多项式2x-5xy3-1是 次 项式,其中一次项为 ,一次项系数为 .
2.同类项:所含字母 ,且相同字母指数也 的单项式. 2.若单项式3xmy与-2x6y是同类项,则m= .
3.幂的运算性质 运算性质或法则幂的运算 (m,n为正 整数, 且m>n)同底数幂相乘am·an = 同底数幂相除am÷an = (a≠0) 幂的乘方(am)n = 积的乘方(ab)n=
3.计算: (1)a3·a2= ; (2)(a3)2= ; (3)(3a)2= ; (4)x7÷x2= ; (5)(a-1)0= (a≠1); (6)a-2= (a≠0).
4.加减运算 (1)实质:合并同类项 (2)合并同类项:把同类项的 相加,字母和字母的 不变 (3)去括号法则: ①a+(b+c)=a b c;②a-(b+c)= a b c 4.(1)计算2a-3a,结果正确的是( ) A.-1 B.1 C.-a D.a (2)计算(1-2a)-(2-2a)= .
5.整式的乘法 (1)单项式乘单项式 分别相乘,只在一个单项式中出现的字母,连同它的 一起作为积的一个因式 (2)单项式乘多项式m(a+b+c)= (3)多项式乘多项式(a+b)(m+n)= 平方差公式:(a+b)(a-b)= 完全平方公式:(a±b)2= 5.(教材再开发·人教八上P100例5改编)计算:(1)3a3·a2= ; (2)-2a·8a2= ; (3)3a2(a+2b2)= ; (4)(6ab+4a2)÷2a= ; (5)(a+2b)(a-b)= ; (6)(x+3)(x-3)= ; (7)(2x-1)2= .
续表
【知识要点】 【对点练习】
6.整式的除法运算 (1)单项式除以单项式:将系数、同底数幂分别相除,作为商的一个因式;对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式. (2)多项式除以单项式:先用多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商 . 6.(1)长方形的面积为4a2-6ab+2a,若它的一边长为2a,则它的另一边长为( ) A.2a-3b+1 B.4a2-6ab C.4a-3b+1 D.2a-3b (2)8a3b÷2a2=8÷2a3-2b= .
7.因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的 的形式,这种变形叫做多项式的因式分解. 7.下面各式从左到右的变形,属于因式分解的是( ) A.x2-x-1=x(x-1)-1 B.x2-1=(x-1)2 C.x2-x-6=(x-3)(x+2) D.x(x-1)=x2-x
8.因式分解的方法和步骤 (1)提公因式法:am+bm+cm= . (2)运用公式法:平方差公式:a2-b2= ; 完全平方公式:a2±2ab+b2= . (3)步骤(一提,二套,三检查) ①若多项式的各项有公因式,则应先 ,首项是负的,可将负号一并提取. ②若多项式的各项没有公因式,则可以考虑用 法来因式分解. ③检查因式分解是否彻底. 8.(1)分解因式:x2-9y2= . (2)因式分解:a2+4a+4= . (3)分解因式:x2-2x+1= . (4)分解因式:2 022x2-4 044x+2 022 = . (5)因式分解:x2-3x+2= .
考点1 列代数式及求代数式的值
【示范题1】(2024·新疆中考)若每个篮球30元,则购买n个篮球需 元.
【跟踪训练】
(2024·广安中考)下列对代数式-3x的意义表述正确的是( )
A.-3与x的和 B.-3与x的差
C.-3与x的积 D.-3与x的商
考点2 整式的相关概念及加减运算
【示范题2】(1)(2024·河南中考)请写出2m的一个同类项: .
(2)(2024·乐山中考)计算:a+2a= .
【答题关键指导】
1.单项式的次数指的是单项式中所有字母的指数和.
2.多项式的次数与单项式的次数不同,不是指所有项的次数之和.
3.多项式中的每一项都包括前面的符号.
【跟踪训练】
(2024·德阳中考)若一个多项式加上y2+3xy-4,结果是3xy+2y2-5,则这个多项式为 .
考点3 幂的运算
【示范题3】(2024·上海中考)计算:(4x2)3= .
【答题关键指导】
1.牢记幂的运算性质,不要混淆,尤其是同底数幂相乘和幂的乘方.
2.不要忽略符号及数字因数.
3.幂的运算性质还要会逆用.
【跟踪训练】
1.(2024·新疆中考)下列运算正确的是( )
A.a2+2a2=3 B.a2·a5=a7
C.a8÷a2=a4 D.(2a)3=2a3
2.(2024·苏州中考)计算:x3·x2= .
考点4 整式的乘法及乘法公式
【示范题4】(2024·湖北中考)计算2x·3x2的结果是( )
A.5x2 B.5x3 C.6x2 D.6x3
【答题关键指导】
1.单项式与多项式相乘,乘积的项数等于多项式的项数,不要漏乘.
2.整式的乘法要注意每一项的符号.
3.在平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2中a和b分别代表两个整式中相同的部分和互为相反数的部分.
4.一般情况下(a+b)2≠a2+b2,(a-b)2≠a2-b2.
【跟踪训练】
1.(2024·上海中考)计算:(a+b)(b-a)= .
2.(2024·乐山中考)已知a-b=3,ab=10,则a2+b2= .
3.(2024·甘肃中考)先化简,再求值:[(2a+b)2-(2a+b)(2a-b)]÷2b,其中a=2,b=-1.
考点5 因式分解
【示范题5】(2024·云南中考)分解因式:a3-9a=( )
A.a(a-3)(a+3) B.a(a2+9)
C.(a-3)(a+3) D.a2(a-9)
【答题关键指导】
1.分解因式时,先提公因式,再根据项数确定是否能运用公式.
2.分解因式必须分解彻底.
3.若第一项系数为负数,分解因式应先提取“-”.
【跟踪训练】
1.(2024·广西中考)如果a+b=3,ab=1,那么a3b+2a2b2+ab3的值为( )
A.0 B.1 C.4 D.9
2.(2024·盐城中考)分解因式:x2+2x+1= .
3.(2024·扬州中考)分解因式:2x2-4x+2= .
4.(2024·威海中考)因式分解:(x+2)(x+4)+1= .
1.(2023·福建中考)下列计算正确的是( )
A.(a2)3=a6 B.a6÷a2=a3
C.a3·a4=a12 D.a2-a=a
2.(2024·福建中考)下列运算正确的是( )
A.a3·a3=a9 B.a4÷a2=a2
C.(a3)2=a5 D.2a2-a2=2
3.(2024·福建中考)因式分解:x2+x= .
