第4课时 二次根式
【知识要点】 【对点练习】
1.二次根式: 形如 ( )的代数式. 1.(教材再开发·人教八下P2例1改编)若在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是 .
2.二次根式的性质: (1)(a≥0)是 数. (2)= . (3)()2= (a≥0). 2.下列各组实数中,互为相反数的一组是( ) A.与 B.与 C.|-|与 D.与
3.最简二次根式: 最简二次根式要同时具备下列两个条件: (1)被开方数不含 . (2)被开方数中不含 的因数或因式. 3.(教材再开发·人教八下P10练习T2改编)下列二次根式中,是最简二次根式的是( ) A. B. C. D.
4.二次根式的运算: (1)二次根式的乘除: ①·= (a≥0,b≥0); ②= (a≥0,b>0). (2)积、商平方根的性质: ①= (a≥0,b≥0); ②= (a≥0,b>0). (3)二次根式的加减:先将二次根式化成 ,再将 相同的二次根式合并. 4.计算: (1)-+; (2)÷-×+; (3)-+; (4)(-)2-(2+)(2-).
考点1 二次根式有意义的条件
【示范题1】(2024·云南中考)若在实数范围内有意义,则实数x的取值范围为( )
A.x≥0 B.x≤0 C.x>0 D.x<0
【答题关键指导】
1.若要二次根式有意义,则需被开方数为非负数.
2.若二次根式出现在分母中,则需被开方数为正数.
3.若所得式子既含二次根式又含分母,则需被开方数为非负数,且分母不为0,但要综合考虑字母的取值,如有意义的条件为x≥2,而不是x≥2且x≠-1.
【跟踪训练】
1.(2024·连云港中考)在实数范围内有意义,则x的取值范围是 .
2.(2024·烟台中考)若代数式在实数范围内有意义,则x的取值范围为 .
考点2 二次根式的性质
【示范题2】(2024·乐山中考)已知1A.-1 B.1 C.2x-3 D.3-2x
【答题关键指导】
1.如果一个式子中含有几个非负数的和为0,则这几个数都为0.
2.中的a可以取任何实数,而()2中的a必须取非负数,只有当a取非负数时,=()2成立.
3.当a≥0时,=a,当a≤0时,=-a.
4.只有当a≥0,b≥0时,=·成立,当a≥0,b>0时,=成立.
【跟踪训练】
(2024·成都中考)若m,n为实数,且(m+4)2+=0,则(m+n)2的值为 .
考点3 二次根式的运算
【示范题3】(2024·湖南中考)计算×的结果是( )
A.2 B.7 C.14 D.
【答题关键指导】
1.二次根式的运算顺序与有理数的运算顺序相同.
2.二次根式相乘时要有一定的灵活性.例如,计算·时,如果,不是最简二次根式,也可以先把它们化成最简二次根式,然后再相乘,这样简单一些.
3.二次根式的乘法运算和除法运算中,常结合积的算术平方根和商的算术平方根的性质将二次根式化成最简二次根式.
【跟踪训练】
1.(2024·重庆中考A卷)已知m=-,则实数m的范围是( )
A.2C.42.(2024·盐城中考)矩形相邻两边长分别为 cm、 cm,设其面积为S cm2,则S在哪两个连续整数之间( )
A.1和2 B.2和3 C.3和4 D.4和5
3.(2024·天津中考)计算(+1)(-1)的结果为 .
4.(2024·甘肃中考)计算:-×.第4课时 二次根式
【知识要点】 【对点练习】
1.二次根式: 形如 ( a≥0 )的代数式. 1.(教材再开发·人教八下P2例1改编)若在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是 x>3 .
2.二次根式的性质: (1)(a≥0)是 非负 数. (2)= |a| . (3)()2= a (a≥0). 2.下列各组实数中,互为相反数的一组是(B) A.与 B.与 C.|-|与 D.与
3.最简二次根式: 最简二次根式要同时具备下列两个条件: (1)被开方数不含 分母 . (2)被开方数中不含 能开得尽方 的因数或因式. 3.(教材再开发·人教八下P10练习T2改编)下列二次根式中,是最简二次根式的是(D) A. B. C. D.
4.二次根式的运算: (1)二次根式的乘除: ①·= (a≥0,b≥0); ②= (a≥0,b>0). (2)积、商平方根的性质: ①= · (a≥0,b≥0); ②= (a≥0,b>0). (3)二次根式的加减:先将二次根式化成 最简二次根式 ,再将 被开方数 相同的二次根式合并. 4.计算: (1)-+; (2)÷-×+; (3)-+; (4)(-)2-(2+)(2-). 【解析】(1)原式=3-4+=0; (2)原式=4-+2=4+; (3)原式=2-+5=+5; (4)原式=3-6+6-(4-5) =3-6+6+1=10-6.
考点1 二次根式有意义的条件
【示范题1】(2024·云南中考)若在实数范围内有意义,则实数x的取值范围为(A)
A.x≥0 B.x≤0 C.x>0 D.x<0
【答题关键指导】
1.若要二次根式有意义,则需被开方数为非负数.
2.若二次根式出现在分母中,则需被开方数为正数.
3.若所得式子既含二次根式又含分母,则需被开方数为非负数,且分母不为0,但要综合考虑字母的取值,如有意义的条件为x≥2,而不是x≥2且x≠-1.
【跟踪训练】
1.(2024·连云港中考)在实数范围内有意义,则x的取值范围是 x≥2 .
2.(2024·烟台中考)若代数式在实数范围内有意义,则x的取值范围为 x>1 .
考点2 二次根式的性质
【示范题2】(2024·乐山中考)已知1A.-1 B.1 C.2x-3 D.3-2x
【答题关键指导】
1.如果一个式子中含有几个非负数的和为0,则这几个数都为0.
2.中的a可以取任何实数,而()2中的a必须取非负数,只有当a取非负数时,=()2成立.
3.当a≥0时,=a,当a≤0时,=-a.
4.只有当a≥0,b≥0时,=·成立,当a≥0,b>0时,=成立.
【跟踪训练】
(2024·成都中考)若m,n为实数,且(m+4)2+=0,则(m+n)2的值为 1 .
考点3 二次根式的运算
【示范题3】(2024·湖南中考)计算×的结果是(D)
A.2 B.7 C.14 D.
【答题关键指导】
1.二次根式的运算顺序与有理数的运算顺序相同.
2.二次根式相乘时要有一定的灵活性.例如,计算·时,如果,不是最简二次根式,也可以先把它们化成最简二次根式,然后再相乘,这样简单一些.
3.二次根式的乘法运算和除法运算中,常结合积的算术平方根和商的算术平方根的性质将二次根式化成最简二次根式.
【跟踪训练】
1.(2024·重庆中考A卷)已知m=-,则实数m的范围是(B)
A.2C.42.(2024·盐城中考)矩形相邻两边长分别为 cm、 cm,设其面积为S cm2,则S在哪两个连续整数之间(C)
A.1和2 B.2和3 C.3和4 D.4和5
3.(2024·天津中考)计算(+1)(-1)的结果为 10 .
4.(2024·甘肃中考)计算:-×.
【解析】原式=3-3=0.
