第七章 二元一次方程组
５．里程碑上的数
一、学生起点分析
学生在本章前几节已经学习了二元一次方程组的解法，通过学习了“鸡兔同笼”、“增收节支”两节应用问题，学生已经初步体会到列方程组解决实际问题的一般步骤，学生已初步具有一定的数学应用能力．
二、教学任务分析
本节课的教学内容是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级(上) 第七章《二元一次方程组》第5节．在前两节的基础上，进一步让学生体会列方程组解决实际问题的一般步骤.“里程碑上的数”既是一个数字问题，又是行程问题，有一定的难度.为此，教材通过填空的形式将问题进行了分解.教学时，应鼓励学生将有难度的问题分解转化几个小问题，从而逐步找出解决问题的关键所在：找等量关系.学会用方程（组）刻画现实世界，进一步培养学生的数学应用能力．
三、教学目标分析
● 知识与技能目标
用二元一次方程组解决有趣场景中的数字问题和行程问题，归纳用方程（组）解决实际问题的一般步骤．
● 过程与方法目标
1．通过设置问题串，让学生体会分析复杂问题的思考方法．
2．让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型．
● 情感与态度目标
在学习过程中让学生体验把复杂问题化为简单问题的策略，体验成功感，同时培养学生克服困难的意志和勇气，树立自信心，并鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神．
四、教学过程设计
本节课设计了七个教学环节：
第一环节：复习提问；第二环节：情境引入；第三环节：合作学习；第四环节：巩固练习；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业．
第一环节：复习提问
内容：填空：
（1）一个两位数，个位数字是，十位数字是，则这个两位数用代数式表示为 ；若交换个位和十位上的数字得到一个新的两位数，用代数式表示为 ．
（2）一个两位数，个位上的数为，十位上的数为，如果在它们之间添上一个0，就得到一个三位数，这个三位数用代数式可以表示为 ．
（3）有两个两位数和，如果将放在的左边，就得到一个四位数，那么这个四位数用代数式表示为 ；如果将放在的右边，将得到一个新的四位数，那么这个四位数用代数式可表示为 ．
意图：通过以上三个问题，让学生学会已知一个数各位上的数字，如何用代数式表示这个数的方法，为后面的学习打下基础．
效果：由于三个问题由浅入深，学生容易回答，从而激发兴趣进入新课．
第二环节：情境引入
内容：小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是小明每隔1小时看到的里程情况．你能确定小明在12:00时看到的里程碑上的数吗？
意图：
1．创设问题情境，激发学生的学习兴趣．
2．让学生体会将一个复杂问题化为几个简单问题的思维方法．
效果：把这个复杂的数字、行程问题，分解成几个简单的问题串，学生通过对这几个问题的分析，使解题思路清晰，从而顺利地解决这个较复杂问题．
第三环节：合作学习
内容：例1
两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数．
学生先独立思考例1，在此基础上，教师根据学生思考情况组织交流与讨论．
意图：
1．让学生再次经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生的数学应用能力．
2．培养学生独立思考的能力和与人合作的意识．
效果：学生进一步学习数字问题的解决办法，体会列方程组解应用问题的方法．并在交流中体验到合作学习的乐趣．
第四环节：巩固练习
内容：练习
1．一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1．这个两位数是多少？
2．一个两位数是另一个两位数的3倍，如果把这个两位数放在另一个两位数的左边与放在右边所得的数之和为8484．求这个两位数．
意图：进一步巩固本课知识与方法．
效果：学生通过练习检验自己对本节知识的掌握情况．
第五环节：课堂小结
内容：
1．教师提问：本节课我们学习了那些内容，对这些内容你有什么体会和想法？请与同伴交流．
2．师生互相交流总结出列方程（组）解决实际问题的一般步骤．
意图：通过交流与总结，培养学生口头表达和交流的能力，增强不断反思总结的意识.
效果：学生积极大胆发言，增进了师生、生生之间的交流互动，并在这种氛围下，回顾总结了本节课的知识与方法．
第六环节：布置作业
内容：习题7.6 问题解决：第2，3，4题.
意图和效果：学生进一步加深对本课知识的理解和掌握．
五、教学设计反思
（1）设计理念
“学生是学习的主体”，本节课教师以导为主，学生对教师提出的各种问题，灵活采用独立思考、自主探索，或与同伴进行合作交流等方式进行学习．这种学习方式既培养了学生独立思考的习惯和能力，又培养了学生与人合作的能力和意识．
（2）突出重点、突破难点的策略
本节课，教师由浅入深层层设问，将复杂问题分解为几个简单问题．学生通过独立思考和合作学习，在和谐的氛围中学习并掌握了数字问题的解决方法，进一步总结出列方程组解应用问题的步骤和方法．
（3）分层教学
根据本班学生实际情况可在教学过程中选择下述内容补充或拓展.
基础训练
1．一个三位数，三个数位上的数字和为17，百位上的数字与十位上的数字和比个位数字大3，若把百位上的数字与个位数字对调，得到的新数比原来数小198，则原数为（ ）．
（A）971 （B）917 （C）719 （D）791
2．一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，如果这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数，求这个两位数.设这个两位数的十位数字为，个位数字为，根据题意得方程组 ，这个两位数是 .
提高训练
3．某铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，从上桥到离开桥共用1分钟，整列火车全在桥上的时间为40秒，求火车的长度和速度．
4．有大小两个两位数，在大数的右边写上一个0之后再写上小的数，得到一个五位数;在小数的右边写上大数，然后再写上一个0，也得到一个五位数，第一个五位数除以第二个五位数得到的商为2，余数为590．此外，二倍大数与三倍小数的和是72．求这两个两位数．
知识拓展
5．一个正整数，分别加上100与168，可得到两个完全平方数，求这个正整数．
意图：由于学生在知识和能力上有一定的差异，为了满足不同学生的需求，教师可根据实际教学情况，适当选择上述题目让学生达到知识巩固、能力迁移、思维拓展的目的.既可作为课堂补充内容，也可留作课后练习.
效果：让不同层次的学生获得对数学的不同需求.
参考答案：
1．B.
2． 16．
3．火车长为200m，速度为20m/s.
4．这两个两位数分别为21和10.
5．156．
（4）评价方式
根据新课标的评价理念，教师既要关注学生学习的结果，又要关注他们学习的过程，还要关注学生数学学习的水平和学生在数学活动中所表现出来的情感与态度．在教学过程中尊重学生的个体差异，对于学生的回答教师应给予恰当的评价与鼓励，并帮助学生树立学习数学的自信，充分发挥教育的价值.
第七章 二元一次方程组
５．里程碑上的数
一、学情分析
学生的知识技能基础：七年级时，学生已经学习了一元一次方程及其应用。本章中，学生又学习了二元一次方程、二元一次方程组、列二元一次方程组解应用题等，能熟练地解二元一次方程组，已初步具备了用方程组刻画实际问题的经验和基础，能正确地分析和理解题意，寻求题中的各种数量关系，具备了继续学习本节内容的知识和能力。
学生的活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些编题活动，同时也具备了一些生活经验，知道列方程解应用题的一些规律、特点和方法，具备了一些解决实际问题的经验和能力。在以前的数学学习中，学生已经经历很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教材分析
● 地位和作用：本节内容是在学生学习了二元一次方程组的解法和部分二元一次方程组的应用后，紧接着学习的有关数字问题的应用题。这部分内容的学习，有助于加深学生对数字问题的理解，进一步掌握列方程组解应用题的方法（相等关系），提高学生解决实际问题的能力。
● 教学目标
(一) 知识与技能目标
1．在用二元一次方程组解决问题的过程中，巩固和提高学生有关列方程、解方程的技能；
2．归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤．
(二) 过程与方法目标
1．让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型．
2．在解决问题过程中，学会借助图表分析问题，感受化归思想。
(三)情感态度目标
1．“里程碑上的数”这一场景既是一个数字问题，又和行程有关，相对而言有一定难度，让学生体验把复杂问题化为简单问题策略的同时，培养学生克服困难的意志和勇气．
2．通过编题小组鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神．
●教学重点
1．用二元一次方程组刻画数字问题．
2．初步体会列方程组解决实际问题的步骤．
3．学会用图表分析数字问题。
●教学难点
将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型；设间接未知数转化解决实际问题。
●教学方法
引导—讨论—发现法．
●教学准备
FLAH播放器；若FLASH不能播放，请按绝对路径重新插入后播放.
三、教学过程设计
本课设计了六个教学环节：第一环节：知识回顾；第二环节：情境引入，新课讲解；第三环节：练习提高；第四环节：合作学习；第五环节：学习反思；第六环节：布置作业。
第一环节 知识回顾
１．一个两位数的十位数字是ｘ，个位数字是ｙ，则这个两位数可表示为：１０ｘ＋ｙ.
２．一个三位数，若百位数字为ａ，十位数字为ｂ，个位数字为ｃ，则这个三位数为：１００ａ＋１０ｂ＋ｃ.
３．一个两位数，十位数字为ａ，个位数字为ｂ，若在这两位数中间加一个０，得到一个三位数，则这个三位数可表示为：１００ａ＋ｂ.
４．ａ为两位数，ｂ是一个三位数，若把ａ放在ｂ的左边得到一个五位数，则这个五位数可表示为：
１０００ａ＋ｂ.
设计意图：通过复习，为本节课的继续学习做好铺垫。
实际效果：提问学生，教师加以点评，这样经过知识的回顾，学生基本能熟练地用代数式表示有关数字问题。
第二环节 情境引入
1．Flash动画，情景展示。
小明星期天开车出去兜风，他在公路上匀速行驶，根据动画中的情景，你能确定他在１２：００看到的里程碑上的数吗？
１２：００是一个两位数，它的两个数字之和为７；
１３：００十位与个位数字与１２：００所看到的正好颠倒了；
１４：００比１２：００时看到的两位数中间多了个０．
分析：设小明在１２：００看到的数十位数字是ｘ，个位数字是y，那么
时刻
百位数字
十位数字
个位数字
表达式
１２：００
?
? x
? y
? 10x+y
１３：００
?
? y
? x
? 10y+x
１４：００
? x
? 0
? y
? 100x+y
相等关系：１．１２：００看到的数，两个数字之和是７：x＋y＝７.
２．路程差：
１２：００－１３：００：（１０y＋x）－（１０x＋y），
１３：００－１４：００： （１００x＋y）－（ １０y＋x），
路程差相等：
（１０y＋x）－（１０x＋y）＝ （１００x＋y）－（ １０y＋x）.
根据以上分析，得方程组
x＋y＝７ ，
（１０y＋x）－（１０x＋y）＝ （１００x＋y）－（ １０y＋x）.
解方程组
x＋y＝７，
（１０y＋x）－（１０x＋y）＝ （１００x＋y）－（ １０y＋x）.
整理得
因此，小明在１２：００时看到的里程碑上的数是１６．
提示：要学会在图表中用含未知数的代数式表示出要分析的量；然后利用相等关系列方程。
2．Flash动画，情景再现.
3．学法小结：
（1）对较复杂的问题可以通过列表格的方法理清题中的未知量、已知量以及等量关系，这样，条理比较清楚．
（２）借助方程组解决实际问题．
设计意图：生动的情景引入，意在激发学生的学习兴趣；利用图表帮助分析使条理清楚，降低思维难度，并使列方程解决问题的过程更加清晰；学法小结，着重强调分析方法，养成归纳小结的良好习惯。
实际效果：动画引入，使数字问题变的更有趣，确实有效地激发了学生的兴趣，学生参与热情很高；借助图表分析，有效地克服了难点，学生基本都能借助图表分析，在老师的引导下列出方程组。
4．变式训练
师生共同研究下题：
有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小４５；又知百位数字的９倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小３，试求原来的３位数．
分析：数字问题中，设未知数也很有技巧，此问题中由十位数字和个位数字组成的两位数是一个“整体”，可设为一个未知数y，百位数设为x：
?
百位数字
十位数字
个位数字
表达式
原数
? x
y?
? 100 x + y
新数
? y
? x
? 10 y + x
相等关系：１．原三位数－４５＝新三位数
２．９百位数字＝两位数－３
解： 设百位数字为x，由十位数字与个位数字组成的两位数为y，
根据题意的得：
１００x＋y＝１０y＋x，
９x＝y－３.
解得 x＝４，
y＝3９.
答：原来的三位数是４３９．
设计意图：设计本题，意在让学生了解，在具体解决问题时，不一定直接设未知数，设间接未知数是复杂问题简单化的解决途径之一，是转化思想的应用手段。
实际效果：首先由学生思考，说出设未知数的方法，教师再给予点评、引导，然后共同完成问题的解决。本例中，要求一个三位数，学生习惯设三个未知数，可是只有两个等量关系，学生发现不太好解答，思维陷入僵局，这时通过教师的引导，发现这里十位数字与个位数字组成的两位数在问题中一直连在一起，因此可以将它们看成一个整体，这时学生一下子豁然开朗，然后列出了方程组并解出该题。
第三环节 练习提高
1．李刚骑摩托车在公路上高速行驶，早晨7:00时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是9；8:00时看里程碑上的两位数与7:00时看到的个位数和十位数颠倒了；9:00时看到里程碑上的数是7:00时看到的数的8倍，李刚在7:00时看到的数字是18 。
分析：设李刚在７：００看到的数十位数字是x，个位数字是y，那么
时刻
十位数字
个位数字
表达式
７：００
x
y
１０x＋y
８：００
y
x
１０y＋x
９：００
８（１０x＋y）
设计意图：练习2是教材上“里程碑上的数”例题的变式，活学活用，强化图表分析法，使学生知识过手。（如果此例改为其它例题，未尝不可，但实践中我们发现，对同一问题的变式运用更有利于学生掌握图表分析法）。
实际效果：本例的解答学生比较得心应手，最重要的是学生基本上都学会了用图表来帮助分析数字问题。
2．选一选
小颖家离学校4800米，其中有一段为上坡路 ，另一段为下坡路。她跑步去学校共用了30分。已知小颖在上坡时的平均速度是6千米/时，下坡时的平均速度是12千米/时。问小颖上、下坡各多少千米？
Ａ．1.2，3.6；
Ｂ．1.8，3；
Ｃ．1.6，3.2．
分析：本题间接设未知数更简洁.
解：设上坡x时，下坡y时，据题意得：
6x+12y=4.8 ，
x＋y＝0.5.
解之得 x＝0.2，
y＝0.3.
选Ａ。
设计意图：在解应用题时只考虑题目要求什么就设什么为未知数，有时关系式难寻求，方程也难解。因此，可以根据题目条件选择与要求的未知量有关的某个量为未知数，以便找出符合题意的相等关系，从而达到解题的目的。当然，这两个练习，也遵从了由易到难的原则。
实际效果：多数学生都解答本题目，都易考虑用间接设未知数，降低思维和计算难度。
3．列方程 CIN公司第二季度进出口总额是９８０万元，第二季度进口额比一季度增长了３９％，出口额增长了４１％，进出口总额增长了４０％，第二季度的进，出口额分别是多少？
分析：设第二季度的进口额为x万元，出口额为y万元：
?
进口额
出口额
进出口总额
一季度
二季度
x
y
９８０
+=，
x + y =980.
若设第一季度的进口额为x万元，出口额为y万元，则：
进口额
出口额
进出口总额
一季度
x
y
９８０÷（１＋４０％）
二季度
（１＋３９％） x
（１＋４１％） y
９８０
x＋y＝ ９８０÷（１＋４０％），
（１＋３９％）x＋（１＋４１％）y＝９８０.
根据学生设不同未知数出现不同的方程组，若没有考虑到另一种设法，教师给予补充。
设计意图：练习3的设置，着重于直接设未知数和间接设未知数列出方程的对照比较，使学生在设未知数时，以简洁和降低计算难度为优。
实际效果：学生在直接设未知数时表示已知量未知量有部分学生出错，并且计算难度较大；转化为间接设未知数的学生表达量更准确，计算难度更低；由此对比，学生更易发现设间接未知数有时更利于方程组的建立和解答，从而把间接设未知数作为列方程组解应用题的重要方面来考虑。
第四环节 合作学习
现实生活和数学学习中，有许多问题可以借助二元一次方程组解决．试编制一个可以用下面的二元一次方程组解决的应用题．
x＋y＝２，
５x－y＝１０.
学生分组进行编题和互评，然后每组请一个同学将本组评选出的编的最好的应用题向全班同学汇报。（评选方法：切合实际、联系生活、有想象力并且正确无误）
设计意图：着重于逆向思维训练，体会自己编题，从编题人的高度审视列方程组解决实际应用题，同时培养学生的合作意识，通过合作，让学生互相评价、修正，使学生思维跳出固定单一的生活圈，更关注与现实世界的交融，开阔视野。
实际效果：有部分学生缺乏想象力，视野狭窄，经过同学互评纠正和互相学习对现实问题与数学结合有了更深的体会。大多数学生对这种编题形式很感兴趣，课堂气氛轻松活跃。
第五环节 学习反思：
１．在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程或方程组的方法来处理这些问题．
２．这种处理问题的过程可以进一步概括为：
分析 求解
问题 方程（组） 解答
抽象 检验
３．要注意的是，处理实际问题的方法是多种多样的，图表分析是一种直观简洁的方法，设间接未知数可帮助转化问题，还可运用化归等数学思想方法，应根据具体问题灵活选用．
设计意图：对学习内容作回顾整理，提炼方法思想。
第六环节 布置作业
1．甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求这两个数．
2．某车间每天能生产甲种零件600个，或者乙种零300个，或丙种零件500个，甲、乙、丙三种零件各1个就可以配成一套，要在63天内生产中,使生产的零件全部成套，问甲、乙、丙三种零件各应生产几天？
3．请你寻找一个利用化归的思想方法解决数学问题的实例．
四、教学反思
1．突破难点的策略
列方程解应用题的分析方法多种多样，本课继上一节增收节支继续介绍分析数字等问题的一种比较有效的方法——图表分析法。本节课除了要解决数字问题外，在设元的技巧上加以引导，如变式练习中设三个未知数无法解决的问题，可以转化为通过视为整体设两个未知数解决；同时在练习2，3中选择直接未知数和间接未知数列方程，比较设未知数的思维难度和计算难度，然后进行优化选择，这样可以培养学生多种思维方式，突破难点.
2．关注数学思想方法的揭示
数学思想方法是数学学习的灵魂。教学中注意关注蕴含其中的数学思想方法（如化归方法）的揭示，如果教学时间允许，可以专门介绍化归思想及其运用，这样既可提高学生的学习兴趣，开阔视野，同时也提高学生对数学思想的认识，提升解题经验。
