人教A版高中数学选择性必修三-6.3.1二项式定理-同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教A版高中数学选择性必修三-6.3.1二项式定理-同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 111.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-12 10:54:59 | ||
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文档简介
人教A版高中数学选择性必修三-6.3.1二项式定理-同步练习
1．(x＋2)n的展开式共有16项，则n等于( )
A．17 B．16 C．15 D．14
2．若(1－2x)n的展开式中x3的系数为－160，则正整数n的值为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
3.6的展开式中的常数项为( )
A．60 B．－60 C．250 D．－250
4．(x－y)10的展开式中x6y4的系数是( )
A．840 B．－840 C．210 D．－210
5．若实数a＝2－，则a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210等于( )
A．32 B．－32 C．1 024 D．512
6．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是( )
A．－5 B．5 C．－10 D．10
7．若二项式(1＋2x)n展开式中x3的系数等于x2的系数的4倍，则n＝________.
8．已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝______，a2＋a3＋a4＝______.
9．已知n的展开式中第3项的系数比第2项的系数大162.
(1)求n的值；
(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数．
10.已知(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项与第11项的二项式系数和是第10项的二项式系数的2倍．
(1)求n的值；
(2)写出它展开式中的所有有理项．
11．(多选)已知n的展开式中，二项式系数之和为64，下列说法正确的是( )
A．2，n,10成等差数列
B．各项系数之和为64
C．展开式中二项式系数最大的项是第3项
D．展开式中第5项为常数项
12．对任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为( )
A．3 B．6 C．9 D．21
13．若二项式7的展开式中的系数是84，则实数a＝________.
14．已知在n的展开式中，第9项为常数项，则
(1)n的值为________；
(2)含x的整数次幂的项有________个．
15．设二项式6(a>0)的展开式中，x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是______．
16．已知f(x)＝(1＋x)m，g(x)＝(1＋2x)n(m，n∈N*)．
(1)若m＝3，n＝4，求f(x)g(x)的展开式中含x2的项；
(2)令h(x)＝f(x)＋g(x)，h(x)的展开式中含x的项的系数为12，那么当m，n为何值时，含x2的项的系数取得最小值？
参考答案与详细解析
1．C [∵(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有16项，∴n＝15.]
2．B [(1－2x)n的展开式的通项为Tk＋1＝C1n－k·(－2x)k＝(－2)kCxk，
又展开式中x3的系数为－160，
则(－2)3C＝－160，则C＝20，解得n＝6.]
3．A [6的展开式中的常数项为
C()4·2＝60.]
4．A [在通项Tk＋1＝Cx10－k(－y)k中，令k＝4，即得(x－y)10的展开式中x6y4项的系数为C×(－)4＝840.]
5．A [a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210＝(a－2)10，
当a＝2－时，(a－2)10＝32.]
6．D [(1－x)5中x3项的系数为－C＝－10，
－(1－x)6中x3项的系数为－C·(－1)3＝20，
故在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，
含x3的项的系数为10.]
7．8 [(1＋2x)n的展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)k＝C2kxk，又x3的系数等于x2的系数的4倍，所以C23＝4C22，所以n＝8.]
8．5 10
解析 (x－1)3展开式的通项Tr＋1＝Cx3－r·(－1)r，(x＋1)4展开式的通项Tk＋1＝Cx4－k，则a1＝C＋C＝1＋4＝5，a2＝C(－1)1＋C＝3，a3＝C(－1)2＋C＝7，a4＝C(－1)3＋C＝0.所以a2＋a3＋a4＝3＋7＋0＝10.
9．解 (1)因为T3＝C()n－22＝，
T2＝C()n－1＝，
依题意得，4C＋2C＝162，所以2C＋C＝81，
所以n2＝81，又n∈N*，故n＝9.
(2)二项式n的展开式的通项为
Tk＋1＝C()9－kk＝，
令＝3，解得k＝1，
所以含x3的项为T2＝－2Cx3＝－18x3.
二项式系数为C＝9.
10．解 (1)(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是C，C，C.
依题意得，＋
＝2·，
化简得90＋(n－9)(n－8)＝20(n－8)，
即n2－37n＋322＝0，
解得n＝14或n＝23，
因为n<15，所以n＝14.
(2)二项式(＋)n的展开式的通项
Tk＋1＝，
当且仅当k是6的倍数时，展开式中的项是有理项，
又0≤k≤14，k∈N，
所以展开式中的有理项共3项，分别是
k＝0，T1＝Cx7＝x7；
k＝6，T7＝Cx6＝3 003x6；
k＝12，T13＝Cx5＝91x5.
11．ABD [由n的二项式系数之和为2n＝64，
得n＝6，得2,6,10成等差数列，A正确；
令x＝1，6＝26＝64，
则6的各项系数之和为64，B正确；
6的展开式共有7项，则二项式系数最大的项是第4项，C不正确；
6的展开式中的第5项为C(5x)2·4＝15×25×81为常数项，D正确．]
12．B [∵x3＝(x－2＋2)3＝C(x－2)3＋C(x－2)2·2＋C(x－2)·22＋C·23＝8＋12(x－2)＋6(x－2)2＋(x－2)3，∴a2＝6.]
13．1
解析 二项式7的展开式的通项为
Tk＋1＝C(2x)7－kk＝27－kakCx7－2k，
令7－2k＝－3，得k＝5.
故展开式中的系数是22a5C＝84，
解得a＝1.
14．(1)10 (2)6
解析 二项展开式的通项为Tk＋1＝Cn－k·k＝.
(1)因为第9项为常数项，所以当k＝8时，2n－k＝0，
解得n＝10.
(2)要使20－k为整数，需k为偶数，
由于k＝0，1,2,3，…，9,10，
故符合要求的项有6个．
15．2
解析 二项式6(a>0)的展开式的通项为Tk＋1＝Cx6－kk＝，
令6－k＝3，得k＝2；令6－k＝0，得k＝4，
∴B＝C(－a)4，A＝C(－a)2.
∵B＝4A，a>0，∴a＝2.
16．解 (1)当m＝3，n＝4时，f(x)g(x)＝(1＋x)3(1＋2x)4.
(1＋x)3展开式的通项为Cxr，
(1＋2x)4展开式的通项为C(2x)k，
f(x)g(x)的展开式中含x2的项为1×C(2x)2＋Cx×C(2x)＋Cx2×1＝51x2.
(2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n.
因为h(x)的展开式中含x的项的系数为12，
所以C＋2C＝12，即m＋2n＝12，
所以m＝12－2n.
x2的系数为C＋4C＝C＋4C
＝(12－2n)(11－2n)＋2n(n－1)
＝4n2－25n＋66＝42＋，n∈N*，
所以当n＝3，m＝6时，
含x2的项的系数取得最小值．
1．(x＋2)n的展开式共有16项，则n等于( )
A．17 B．16 C．15 D．14
2．若(1－2x)n的展开式中x3的系数为－160，则正整数n的值为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
3.6的展开式中的常数项为( )
A．60 B．－60 C．250 D．－250
4．(x－y)10的展开式中x6y4的系数是( )
A．840 B．－840 C．210 D．－210
5．若实数a＝2－，则a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210等于( )
A．32 B．－32 C．1 024 D．512
6．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是( )
A．－5 B．5 C．－10 D．10
7．若二项式(1＋2x)n展开式中x3的系数等于x2的系数的4倍，则n＝________.
8．已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝______，a2＋a3＋a4＝______.
9．已知n的展开式中第3项的系数比第2项的系数大162.
(1)求n的值；
(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数．
10.已知(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项与第11项的二项式系数和是第10项的二项式系数的2倍．
(1)求n的值；
(2)写出它展开式中的所有有理项．
11．(多选)已知n的展开式中，二项式系数之和为64，下列说法正确的是( )
A．2，n,10成等差数列
B．各项系数之和为64
C．展开式中二项式系数最大的项是第3项
D．展开式中第5项为常数项
12．对任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为( )
A．3 B．6 C．9 D．21
13．若二项式7的展开式中的系数是84，则实数a＝________.
14．已知在n的展开式中，第9项为常数项，则
(1)n的值为________；
(2)含x的整数次幂的项有________个．
15．设二项式6(a>0)的展开式中，x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是______．
16．已知f(x)＝(1＋x)m，g(x)＝(1＋2x)n(m，n∈N*)．
(1)若m＝3，n＝4，求f(x)g(x)的展开式中含x2的项；
(2)令h(x)＝f(x)＋g(x)，h(x)的展开式中含x的项的系数为12，那么当m，n为何值时，含x2的项的系数取得最小值？
参考答案与详细解析
1．C [∵(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有16项，∴n＝15.]
2．B [(1－2x)n的展开式的通项为Tk＋1＝C1n－k·(－2x)k＝(－2)kCxk，
又展开式中x3的系数为－160，
则(－2)3C＝－160，则C＝20，解得n＝6.]
3．A [6的展开式中的常数项为
C()4·2＝60.]
4．A [在通项Tk＋1＝Cx10－k(－y)k中，令k＝4，即得(x－y)10的展开式中x6y4项的系数为C×(－)4＝840.]
5．A [a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210＝(a－2)10，
当a＝2－时，(a－2)10＝32.]
6．D [(1－x)5中x3项的系数为－C＝－10，
－(1－x)6中x3项的系数为－C·(－1)3＝20，
故在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，
含x3的项的系数为10.]
7．8 [(1＋2x)n的展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)k＝C2kxk，又x3的系数等于x2的系数的4倍，所以C23＝4C22，所以n＝8.]
8．5 10
解析 (x－1)3展开式的通项Tr＋1＝Cx3－r·(－1)r，(x＋1)4展开式的通项Tk＋1＝Cx4－k，则a1＝C＋C＝1＋4＝5，a2＝C(－1)1＋C＝3，a3＝C(－1)2＋C＝7，a4＝C(－1)3＋C＝0.所以a2＋a3＋a4＝3＋7＋0＝10.
9．解 (1)因为T3＝C()n－22＝，
T2＝C()n－1＝，
依题意得，4C＋2C＝162，所以2C＋C＝81，
所以n2＝81，又n∈N*，故n＝9.
(2)二项式n的展开式的通项为
Tk＋1＝C()9－kk＝，
令＝3，解得k＝1，
所以含x3的项为T2＝－2Cx3＝－18x3.
二项式系数为C＝9.
10．解 (1)(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是C，C，C.
依题意得，＋
＝2·，
化简得90＋(n－9)(n－8)＝20(n－8)，
即n2－37n＋322＝0，
解得n＝14或n＝23，
因为n<15，所以n＝14.
(2)二项式(＋)n的展开式的通项
Tk＋1＝，
当且仅当k是6的倍数时，展开式中的项是有理项，
又0≤k≤14，k∈N，
所以展开式中的有理项共3项，分别是
k＝0，T1＝Cx7＝x7；
k＝6，T7＝Cx6＝3 003x6；
k＝12，T13＝Cx5＝91x5.
11．ABD [由n的二项式系数之和为2n＝64，
得n＝6，得2,6,10成等差数列，A正确；
令x＝1，6＝26＝64，
则6的各项系数之和为64，B正确；
6的展开式共有7项，则二项式系数最大的项是第4项，C不正确；
6的展开式中的第5项为C(5x)2·4＝15×25×81为常数项，D正确．]
12．B [∵x3＝(x－2＋2)3＝C(x－2)3＋C(x－2)2·2＋C(x－2)·22＋C·23＝8＋12(x－2)＋6(x－2)2＋(x－2)3，∴a2＝6.]
13．1
解析 二项式7的展开式的通项为
Tk＋1＝C(2x)7－kk＝27－kakCx7－2k，
令7－2k＝－3，得k＝5.
故展开式中的系数是22a5C＝84，
解得a＝1.
14．(1)10 (2)6
解析 二项展开式的通项为Tk＋1＝Cn－k·k＝.
(1)因为第9项为常数项，所以当k＝8时，2n－k＝0，
解得n＝10.
(2)要使20－k为整数，需k为偶数，
由于k＝0，1,2,3，…，9,10，
故符合要求的项有6个．
15．2
解析 二项式6(a>0)的展开式的通项为Tk＋1＝Cx6－kk＝，
令6－k＝3，得k＝2；令6－k＝0，得k＝4，
∴B＝C(－a)4，A＝C(－a)2.
∵B＝4A，a>0，∴a＝2.
16．解 (1)当m＝3，n＝4时，f(x)g(x)＝(1＋x)3(1＋2x)4.
(1＋x)3展开式的通项为Cxr，
(1＋2x)4展开式的通项为C(2x)k，
f(x)g(x)的展开式中含x2的项为1×C(2x)2＋Cx×C(2x)＋Cx2×1＝51x2.
(2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n.
因为h(x)的展开式中含x的项的系数为12，
所以C＋2C＝12，即m＋2n＝12，
所以m＝12－2n.
x2的系数为C＋4C＝C＋4C
＝(12－2n)(11－2n)＋2n(n－1)
＝4n2－25n＋66＝42＋，n∈N*，
所以当n＝3，m＝6时，
含x2的项的系数取得最小值．