人教A版高中数学选择性必修三-6.3.2第1课时-二项式系数的性质-同步练习
1．在(1＋x)n(n∈N*)的展开式中，若只有x5的系数最大，则n的值为( )
A．8 B．9 C．10 D．11
2．若(x＋3y)n展开式的各项系数和等于(7a＋b)10展开式中的二项式系数之和，则n的值为( )
A．5 B．8 C．10 D．15
3．(多选)已知n展开式中各项的系数之和为－512，则该展开式中二项式系数最大的项可以是( )
A．第4项 B．第5项
C．第6项 D．第7项
4．已知关于x的二项式n展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为( )
A．1 B．±1 C．2 D．±2
5．已知n的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比为，则展开式中二项式系数最大的项为( )
A．第3项 B．第4项
C．第5项 D．第6项
6．(多选)设(2x－1)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6＋a7x7，则下列结论正确的是( )
A．a2＋a5＝588
B．a1＋a2＋…＋a7＝1
C．a1＋a3＋a5＋a7＝
D．|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37－1
7．若n展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是________．
8．设(3x－2)6＝a0＋a1(2x－1)＋a2(2x－1)2＋…＋a6(2x－1)6，则＝________.
9．在二项式n的展开式中，若第4项的系数与第7项的系数比为－1∶14，求：
(1)二项展开式中的各项的二项式系数之和；
(2)二项展开式中的各项的系数之和．
10.设(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求：
(1)a1＋a2＋a3＋a4；
(2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2；
(3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|.
11．若(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋…＋a2 023x2 023(x∈R)，则＋＋…＋的值为( )
A．2 B．0 C．－2 D．－1
12．(多选)若n的二项展开式共有8项，则该二项展开式( )
A．各项二项式系数和为128
B．项数为奇数的各项系数和为－64
C．有理式项共有4项
D．第4项与第5项系数相等且最大
13.杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开的系数规律．现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1,1,1,1,2,1,1,3,3,1, 1,4,6,4,1，…，记作数列{an}．若数列{an}的前n项和为Sn，则S47等于( )
A．235 B．512 C．521 D．1 033
14．已知(2x－1)n二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则C＋C＋C＋…＋C＝________.
15．已知(1＋x)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10，若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N*)是一个单调递增数列，则k的最大值是( )
A．6 B．7 C．8 D．5
16．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，如图是一个11阶杨辉三角：
(1)求第20行中从左到右的第4个数；
(2)在第2斜列中，前5个数依次为1,3,6,10,15，在第3斜列中，第5个数为35.显然，1＋3＋6＋10＋15＝35.事实上，一般地有这样的结论：第m－1斜列中(从右上到左下)前k个数之和，一定等于第m斜列中第k个数．
试用含有m，k(m，k∈N*)的数字公式表示上述结论，并给予证明．
参考答案与详细解析
1．C [由题意，得展开式共有11项，所以n＝10.]
2．A [(7a＋b)10的展开式的二项式系数之和为210，令x＝1，y＝1，得(x＋3y)n展开式的各项系数之和为4n，则由题意知，4n＝210，解得n＝5.]
3．BC [令x＝1，得各项的系数之和n＝(－2)n＝－512，解得n＝9，
即n＝9，所以该展开式中二项式系数最大为C和C，故二项式系数最大的项是第5项和第6项．]
4．C [由条件知2n＝32，即n＝5，在二项展开式通项Tk＋1＝C()5－kk＝中，令15－5k＝0，得k＝3.
所以Ca3＝80，解得a＝2.]
5．B [n的展开式的通项为Tk＋1＝C()n－k·k＝，
第3项为T3＝，其系数为C·22，
倒数第3项为Tn－1＝，其系数为C·2n－2，
由题意，＝24－n＝＝2－2，所以n＝6，
所以展开式中二项式系数最大的项为第4项．]
6．ACD [因为(2x－1)7展开式的通项为
Tk＋1＝C(2x)7－k(－1)k＝C(－1)k27－kx7－k，
又(2x－1)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6＋a7x7，
所以a2＝C(－1)527－5＝－84，
a5＝C(－1)227－2＝672，则a2＋a5＝588，故A正确；
令x＝1，则(2－1)7＝a0＋a1＋a2＋…＋a6＋a7＝1，
令x＝0，则(0－1)7＝a0＝－1；
令x＝－1，则(－2－1)7＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝－37，
故a1＋a2＋…＋a7＝1－a0＝2，故B错误；
a1＋a3＋a5＋a7＝－＝，故C正确；
|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝a1－a2＋a3－a4＋a5－a6＋a7＝－(a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7)＋a0＝37－1，故D正确．]
7．10
解析 令x＝1，得2n＝32，故n＝5.
Tk＋1＝C(x2)5－kk＝Cx10－2k－3k＝Cx10－5k，
令10－5k＝0，得k＝2.
故展开式中的常数项为T3＝C＝10.
8．－
解析 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a6＝1；令x＝0，得a0－a1＋a2－…＋a6＝64，两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝－63，两式相加得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝65，故＝－.
9．解 二项式n的展开式的通项为
Tk＋1＝C()n－kk＝，
∵C(－2)3∶C(－2)6＝－1∶14，∴n＝10.
(1)C＋C＋…＋C＝210＝1 024.
(2)令x＝1，得各项系数之和为(－1)10＝1.
10．解 (1)在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，
令x＝1，得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，
令x＝0，得(0－3)4＝a0，
所以a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0
＝1－81＝－80.
(2)在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，
令x＝1，得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4.①
令x＝－1，得(－2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.②
所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2
＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)
＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625.
(3)由展开式知a0，a2，a4为正，a1，a3为负，由(2)中①＋②得2(a0＋a2＋a4)＝626，
由(2)中①－②得2(a1＋a3)＝－624，
所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＝－a1＋a2－a3＋a4
＝(a0＋a2＋a4)－(a1＋a3)－a0
＝313＋312－81＝544.
11．D [(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋…＋a2 023x2 023，
令x＝0，得a0＝1，
令x＝，得a0＋＋＋…＋＝0，
所以＋＋…＋＝－1.]
12．AC [n的二项展开式共有8项，故n＝7，
则二项式系数和为2n＝27＝128 ，故A正确；
7的展开式的通项为Tk＋1＝，
故项数为奇数的各项系数和为C＋C＋C＋C＝64 ，故B错误；
根据Tk＋1＝，当k取0,2,4,6时，Tk＋1＝为有理式项，共有4项，故C正确；
T4＝，T5＝Cx ，第四项与第五项的系数互为相反数，故D错误．]
13．C [根据题意杨辉三角前9行共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45(项)．故前47项的和为杨辉三角前9行的和再加第10行的前两个数1和9，所以前47项的和S47＝20＋21＋22＋…＋28＋1＋9＝29－1＋10＝521.]
14．255
解析 设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.
则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋….
由已知，B－A＝38.
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，
即(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n，
即B－A＝(－3)n.
∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8.
由二项式系数的性质，可得
C＋C＋C＋…＋C＝2n－C＝28－1＝255.
15．A [由二项式定理，知ak＝C(k＝1,2,3，…，11)，因为(1＋x)10的展开式中二项式系数最大的项是第6项，所以k的最大值为6.]
16．解 (1)C＝1 140.
(2)C＋C＋…＋C＝C.
证明如下：
左边＝C＋C＋…＋C
＝C＋C＋…＋C
＝…＝C＋C＝C＝右边．人教A版高中数学选择性必修三-6.3.2第2课时-二项式定理的综合应用-同步练习
1．(x2＋2)5的展开式的常数项是( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
2．设n∈N*，则C×1n×80＋C×1n－1×81＋C×1n－2×82＋C×1n－3×83＋…＋C×11×
8n－1＋C×10×8n除以9的余数为( )
A．0 B．8 C．7 D．2
3．(x3－2x2＋x)3的展开式中x6的系数为( )
A．－1 B．1 C．－20 D．20
4．1.026的近似值(精确到0.01)为( )
A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.20
5.(x－2)5的展开式中x的系数是( )
A．－32 B．152 C．88 D．－272
6．(多选)4的展开式中( )
A．x3的系数为40 B．x3的系数为32
C．常数项为16 D．常数项为8
7.3的展开式中，常数项是____．
8．已知(2x＋my)(x－y)5的展开式中x2y4的系数为－20，则m的值为________．
9．用二项式定理证明1110－1能被100整除．
10．求(＋3x2)5的展开式中系数最大的项．
11．当n为正奇数时，7n＋C·7n－1＋C·7n－2＋…＋C·7被9除所得的余数是( )
A．0 B．2 C．7 D．8
12．若(x2－a)10的展开式中含x6的项的系数为30，则a等于( )
A. B. C．1 D．2
13．若(2＋ax)n(a≠0)的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为( )
A．(2,3) B. C．[2,3] D.
14．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m(m>0)为整数，若a和b被m除所得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(mod m)．若a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220，a≡b(mod 10)，则b的值可以是( )
A．2 021 B．2 022
C．2 023 D．2 024
15．(多选)对于二项式nn(n∈N*)，以下判断正确的有( )
A．存在n∈N*，展开式中有常数项
B．对任意n∈N*，展开式中没有常数项
C．对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项
D．存在n∈N*，展开式中有x的一次项
16．已知二项式n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，(n≥3且n∈N*)．若|an－2|，|an－1|，|an|成等差数列．
(1)求n展开式的中间项；
(2)求|ai|(i＝0,1,2，…，n)的最大值．
参考答案与详细解析
1．D [5的展开式的通项为
Tk＋1＝C5－k(－1)k＝(－1)kC.
令10－2k＝2或10－2k＝0，
解得k＝4或k＝5.
故(x2＋2)·5的展开式的常数项是
(－1)4×C＋2×(－1)5×C＝3.]
2．A [因为C1n80＋C1n－181＋C1n－282＋C1n－383＋…＋C118n－1＋C108n＝(1＋8)n＝9n，所以除以9的余数为0.]
3．C [(x3－2x2＋x)3＝x3(x－1)6，因此所求x6的系数即为(x－1)6的展开式中x3的系数，
由二项式定理知系数为C(－1)3＝－20.]
4．B [1.026＝(1＋0.02)6＝1＋C×0.02＋C×0.022＋C×0.023＋…＋0.026≈1＋0.12＋0.006≈1.13.]
5．C [因为(x－2)5的展开式的通项为Tk＋1＝(－2)kCx5－k，
所以(x－2)5的展开式中x的系数是(－2)5＋3×(－2)2C＝88.]
6．AC [(1＋x2)(2＋x)4＝(2＋x)4＋x2(2＋x)4，展开式中x3的系数分为两部分，一部分是(2＋x)4中含x3的系数C·2＝8，另一部分是(2＋x)4中含x项的系数C·23＝32，所以含x3的系数是8＋32＝40，故A正确，B错误；展开式中常数项只有(2＋x)4展开式的常数项24＝16，故C正确，D错误．]
7．－20
解析 3＝3＝，上述式子展开式中的常数项只有一项，为＝－20，所以3的展开式的常项为－20.
8．3
解析 (2x＋my)(x－y)5＝2x(x－y)5＋my(x－y)5，
因为(x－y)5的展开式中xy4的系数为C，x2y3系数为－C，
所以(2x＋my)(x－y)5的展开式中x2y4的系数为2C－mC＝－20，
解得m＝3.
9．证明 1110－1＝(10＋1)10－1
＝C1010＋C109＋C108＋…＋C10＋C－1
＝C1010＋C109＋C108＋…＋C10
＝100(108＋C107＋C106＋…＋1)
显然上式括号内的数是正整数，
所以1110－1能被100整除．
10．解 设展开式中第k＋1项的系数最大，
又Tk＋1＝C()5－k(3x2)k＝，得
≤k≤.
又因为0≤k≤5，k∈N，所以k＝4，
所以展开式中第5项系数最大．
T5＝＝.
11．C [原式＝(7＋1)n－C＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C·9n－1＋C·9n－2－…＋C·9(－1)n－1＋(－1)n－1，除最后两项外，其余各项都是9的倍数．因为n为正奇数，所以(－1)n－1＝－2＝－9＋7，所以余数为7.]
12．D [10的展开式的通项是
Tk＋1＝Cx10－kk＝Cx10－2k，
10的展开式中含x4(当k＝3时)，x6(当k＝2时)项的系数分别为C，C.
因为(x2－a)10的展开式中含x6的项由x2与10的展开式中含x4的项的乘积以及－a与10展开式中含x6的项的乘积两部分构成，
因此由题意得C－aC＝120－45a＝30，
解得a＝2.]
13．C [由于二项式(2＋ax)n(a≠0)的展开式中各项的二项式系数之和为512，
所以2n＝512，n＝9，即(2＋ax)9(a≠0)，
展开式的通项为C·29－k·(ax)k＝ak·29－k·C·xk，
依题意可知
即解得2≤a≤3.]
14．A [由题意可得a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220＝(1＋2)20＝320＝910＝(10－1)10，
由二项式定理可得
a＝C×1010－C×109＋…－C×101＋1，
即a除以10的余数为1，
因为a≡b(mod 10)，
所以b的值除以10的余数也为1，
观察选项，只有2 021除以10的余数为1，
则b的值可以是2 021.]
15．AD [对于二项式n的展开式的通项为Tr＋1＝，r＝0,1,2，…，n，
而n的展开式的通项为Tk＋1＝C·x4k－n，k＝0,1,2，…，n.
对于二项式nn(n∈N*)，展开式的通项为，
未知数的次数为＋4k－n＝－－＋4k，
当－－＋4k＝0，即3r＋n＝8k时，r＝1，k＝1，n＝5是其中一组解，由于的各项的系数都是正数，故展开式中有常数项，且常数项的系数不为0，故A正确，B错误；
当－－＋4k＝1，即3r＋n＋2＝8k时，当r＝0，k＝1，n＝6是其中一组解，由于的各项的系数都是正数，故展开式中有一次项，且一次项的系数不为0，故D正确，C错误．]
16．解 (1)Tk＋1＝Cn－k(－x)k
＝Cn－k(－1)kxk，k＝0,1,2，…，n，
则an＝C(－1)n＝(－1)n，
an－1＝C(－1)n－1＝(－1)n－1，
an－2＝C2(－1)n－2＝(－1)n－2，
由题意知2|an－1|＝|an－2|＋|an|，
即2×＝1＋，即n2－9n＋8＝0，
解得n＝1(舍去)或n＝8.
则8展开式的中间项是
T5＝C4(－1)4x4＝x4.
(2)设|ar|最大，则有
即解得5≤r≤6，
又r∈N，则r＝5或6.
所以|ai|(i＝0,1,2，…，n)的最大值为|a5|＝|a6|＝＝7.
