北师大版数学八年级下册第六章平行四边形第1节平行四边形的性质课时练习

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北师大版数学八年级下册6.1平行四边形的性质课时练习
一、选择题
1．如图，在 ABCD中，已知AD=12cm，AB=8cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长等于（　 ）　
A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm
答案：C
解析：
解答：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=12cm，AD∥BC，
∴∠DAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BEA=∠BAE，
∴BE=AB=8cm，
∴CE=BC-BE=4cm．
故答案为：C．
分析：由平行四边形的性质得出BC=AD=12cm，AD∥BC，得出∠DAE=∠BEA，证出∠BEA=∠BAE，得出BE=AB，即可得出CE的长．
2.在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠DAC=42°，∠CBD=23°，则∠COD是（　　）
A．61° B．63° C．65° D．67°
答案：C
解析：
解答：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA=42°，
∴∠COD=∠CBD+∠BCA=65°，
故选C．
分析：由平行四边形的性质可知：AD∥BC，进而可得∠DAC=∠BCA，再根据三角形外角和定理即可求出∠COD的度数．
3．如图，P为平行四边形ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2．若S=3，则S1+S2的值为（　　　）
A．24 B．12 C．6 D．3
答案：B
解析：
解答：过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，
∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，
∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，
∴S△PDC=S△CQP，S△ABP=S△QPB，
∵EF为△PCB的中位线，
∴EF∥BC，
∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，
∴S△PEF：S△PBC=1：4，S△PEF=3，
∴S△PBC=S△CQP+S△QPB=S△PDC+S△ABP=S1+S2=12．
故选：B．
分析：过P作PQ平行于DC，由DC与AB平行，得到PQ平行于AB，可得出四边形PQCD与ABQP都为平行四边形，进而确定出△PDC与△PCQ面积相等，△PQB与△ABP面积相等，再由EF为△BPC的中位线，利用中位线定理得到EF为BC的一半，且EF平行于BC，得出△PEF与△PBC相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出△PBC的面积，而△PBC面积=△CPQ面积+△PBQ面积，即为△PDC面积+△PAB面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积．
4．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（　　　）
A．AO=OD B．AO⊥OD C．AO=OC D．AO⊥AB
答案：C
解析：
解答：对角线不一定相等，A错误；、
对角线不一定互相垂直，B错误；
对角线互相平分，C正确；
对角线与边不一定垂直，D错误．
故选：C．
分析：根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可．
5．平行四边形ABCD的周长32，5AB=3BC，则对角线AC的取值范围为（　　）
A．6＜AC＜10 B．6＜AC＜16 C．10＜AC＜16 D．4＜AC＜16
答案：D
解析：
解答：∵平行四边形ABCD的周长32，5AB=3BC，
∴2（AB+BC）=2（BC+BC）=32，
∴BC=10，
∴AB=6，
∴BC-AB＜AC＜BC+AB，即4＜AC＜16．
故选D．
分析：根据平行四边形周长公式求得AB、BC的长度，然后由三角形的三边关系来求对角线AC的取值范围．
6．平行四边形的对角线一定具有的性质是（　　）
A．相等 B．互相平分 C．互相垂直 D．互相垂直且相等
答案：B
解析：
解答：平行四边形的对角线互相平分，
故选：B．
分析：根据平行四边形的对角线互相平分可得答案．
7．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是（　　　）
A．7 B．10 C．11 D．12
答案：B
解析：
解答：∵AC的垂直平分线交AD于E，
∴AE=EC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB=4，AD=BC=6，
∴△CDE的周长为：EC+CD+ED=AD+CD=6+4=10，
故选：B．
分析：根据线段垂直平分线的性质可得AE=EC，再根据平行四边形的性质可得DC=AB=4，AD=BC=6，进而可以算出△CDE的周长．
8. 如图， ABCD中，BC=BD，∠C=74°，则∠ADB的度数是（　　）
A．16° B．22° C．32° D．68°
答案：C
解析：
解答：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠C+∠ADC=180°，
∵∠C=74°，
∴∠ADC=106°，
∵BC=BD，
∴∠C=∠BDC=74°，
∴∠ADB=106°-74°=32°，
故选：C．
分析：根据平行四边形的性质可知：AD∥BC，所以∠C+∠ADC=180°，再由BC=BD可得∠C=∠BDC，进而可求出∠ADB的度数．
9. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列结论正确的是（　　）
A． S ABCD=4S△AOB B．AC=BD C．AC⊥BD D． ABCD是轴对称图形
答案：A
解析：
解答：A、∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴AO=CO，DO=BO，
∴S△AOD=S△DOC=S△BOC=S△AOB，
∴S ABCD=4S△AOB，故此选项正确；
B、无法得到AC=BD，故此选项错误；
C、无法得到AC⊥BD，故此选项错误；
D、 ABCD是中心对称图形，故此选项错误．
故选：A．
分析：根据平行四边形的性质分别判断得出答案即可．
10．如图所示的方格纸上有一平行四边形ABCD，其顶点均在网格线的交点上，且E点在AD上．今大华在方格纸网格线的交点上任取一点F，发现△FBC的面积比△EBC的面积大．判断下列哪一个图形可表示大华所取F点的位置？（　　　）
A． B．
C． D．
答案：D
解析：
解答：A、点F到边BC的距离小于点E到边BC的距离，所以△FBC的面积＜△EBC的面积，故本选项错误；
B、点F到边BC的距离小于点E到边BC的距离，所以△FBC的面积＜△EBC的面积，故本选项错误；
C、点F到边BC的距离等于点E到边BC的距离，所以△FBC的面积=△EBC的面积，故本选项错误；
D、点F到边BC的距离大于点E到边BC的距离，所以△FBC的面积＞△EBC的面积，故本选项正确．
故选D．
分析：根据两平行线间的距离相等，判断出各选项中点E、F到边BC的距离的大小，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答．
11. 如图，等腰梯形ABCD下底与上底的差恰好等于腰长，DE∥AB．则∠DEC等于（　　　　）
A．75° B．60° C．45° D．30°
答案：C
解析：
解答：∵DE∥AB，AD∥BC
∴四边形ABED为平行四边形
∴AD=BE
∵BC-AD=AB=EC
∵等腰梯形ABCD
∴AB=DC=EC
∴△DEC为等边三角形
∴∠DEC=60°
故选B．
分析：通过上底的顶点D作DE∥AB，则AD=BE，EC就是两底的差，差等于一腰长，则△DEC是等边三角形，因而∠DEC=60°．
12. 如图，在 ABCD中，点M为CD的中点，且DC=2AD，则AM与BM的夹角的度数为（　　　）
A．100° B．95° C．90° D．85°
答案：C
解析：解答： ABCD，
∴DC∥AB，AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，∠BAM=∠DMA，
∵点M为CD的中点，且DC=2AD，
∴DM=AD，
∴∠DMA=∠DAM，
∴∠DAM=∠BAM，
同理∠ABM=∠CBM，
即：
∴∠AMB=180°-90°=90°．
故选C．
分析：利用已知得到DM=AD，∠DAB+∠CBA=180°，进一步推出∠DAM=∠BAM，同理得到∠ABM=∠CBM，即：∠MAB+∠MBA=90°，利用三角形的内角和定理即可得到所选选项．
13. 如图等腰梯形ABCD，AE是BC边上的高．已知AE=4，CE=8，则梯形ABCD的面积是（　　）
A．16 B．32 C．24 D．48
答案：B
解析：
解：过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，则∠CFD=90°．
∵四边形ABCD是等腰梯形
∴AD∥BC，AB=CD，
又∵AE是BC边上的高，
∴∠DAE=∠AEC=90°．
∴四边形AECF是矩形．
∴AE=CF．
在Rt△ABE和Rt△CDF中
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）．
∴梯形ABCD的面积=矩形AECF的面积=4×8=32．
故选：B．
分析：过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，先由等腰梯形的性质与矩形的判定方法及性质可得AE=CF．于是可证△ABE≌△CDF，所以梯形ABCD的面积=矩形AECF的面积=4×8=32．
14. 平行四边形的一条边长是12cm，那么它的两条对角线的长可能是（　　）
A．8cm和16cm B．10cm和16cm C．8cm和14cm D．8cm和12cm
答案：B
解析：
解答：A，4+8=12，不能构成三角形，不满足条件，故A选项错误；
B，5+8＞12，能构成三角形，满足条件，故B选项正确．
C，4+7＜12，不能构成三角形，不满足条件，故C选项错误；
D，4+6＜12，不能构成三角形，不满足条件，故D选项错误．
故选：B．
分析：根据平行四边形的性质中，两条对角线的一半和一边构成三角形，利用三角形三边关系判断可知．
15. 如图， ABCD的周长为20cm，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
答案：D
解析：解答：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AO=OC，AB=CD，
∵ ABCD的周长为20cm，
∴AD+CD=10cm，
∵AO=OC，OE⊥AC，
∴AE=EC，
∴△DCE的周长为DE+EC+CD=DE+AE+CD=AD+CD=10cm，
故选D．
分析：根据平行四边形的性质得出AD=BC，AO=OC，AB=CD，求出AD+CD=10cm，根据线段垂直平分线性质求出AE=EC，求出∴△DCE的周长为DE+EC+CD=AD+CD，代入求出即可．
二、填空题
16．如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，AB=10cm，AD=8cm，AC⊥BC，则OB= _________cm．
答案：
解析：
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=8cm，OA=OC= AC
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°
∴AC=
∴OC=3
∴OB=
故答案为．
分析：由平行四边形的性质得出BC=AD=8cm，OA=OC=AC，由勾股定理求出AC，得出OC，再由勾股定理求出OB即可．
17. 用平行四边形纸条沿对边AB、CD上的点E、F所在的直线折成V字形图案，已知图中∠1=62°，则∠2的度数是________
答案：56°
解析：
解答：根据题意得：2∠1+∠2=180°，
∴∠2=180°-2×62°=56°，
故答案为：56°．
分析：由折叠的性质和平角的定义得出2∠1+∠2=180°，即可求出结果．
18．在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=8cm，BC=6cm．△AOB的周长是18cm，则△AOD的周长是__________ ．
答案：16cm
解析：
解答：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AD=BC=6cm，
∵△AOB的周长是18cm，AB=8cm，
∴AB+OA+OB=18cm，
∴OA+OB=10cm，
∴△AOD的周长=OA+OD+AD=OA+OB+AD=10+6=16（cm）；
故答案为：16cm．
分析：先由△AOB的周长求出OA+OB，再由平行四边形的性质得出OA+OD=OA+OB，即可求出△AOD的周长．
19. 一个平行四边形两对角之和为116°，则相邻的两内角分别是__________和_________
答案：：58°；122°
解析：
解答：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠A+∠B=180°，
∵∠A+∠C=116°，
∴∠A=58°，∠B=180°-58°=122°；
故答案为：58°；122°．
分析：由平行四边形的性质得出∠A=∠C，∠A+∠B=180°，再由已知条件∠A+∠C=
116°，得出∠A，即可得出∠B．
20. 如图在平行四边形ABCD中，点E在CD边上运动（不与C、D两点重合），连接AE并延长与BC的延长线交于点F．连接BE、DF，若△BCE的面积是8，则△DEF的面积是 _________．
答案：8
解析：解答：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△ADE∽△FCE，
∴AE：EF=DE：CE，
∵S△BCE：S△ADE=CE：DE，S△DEF：S△ADE=EF：AE，
∴S△DEF=S△BCE=8．
故答案为：8．
分析：由四边形ABCD是平行四边形，可证得△ADE∽△FCE，由相似三角形的对应边成比例，可得AE：EF=DE：CE，又由S△BCE：S△ADE=CE：DE，S△DEF：S△ADE=EF：AE，即可得S△DEF=S△BCE=8．
三、解答题
21. 如图，在平行四边形ABCD中，若AB=6，AD=10，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，求DF的长
答案：
解答：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=DC=6，AD=BC=10，AB∥DC．
∵AB∥DC，
∴∠1=∠3，
又∵BF平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴BC=CF=10，
∴DF=BF-DC=10-6=4．
解析：分析：首先根据平行四边形的性质可得AB=DC=6，AD=BC=10，AB∥DC，再根据平行线的性质与角平分线的性质证明∠2=∠3，根据等角对等边可得BC=CF=10，再用CF-CD即可算出DF的长．
22．在 ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
答案：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∵BE∥DF，BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB。
答案：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠DFA=∠FAB．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
．
∴AD=BC=DF=5，
∴∠DAF=∠DFA，
∴∠DAF=∠FAB，
即AF平分∠DAB．
解析：分析：（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；
（2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案．
23．如图，在 ABCD中，AC交BD于点O，点E、点F分别是OA、OC的中点，请判断
线段BE、DF的关系，并证明你的结论。
答案：
解答：由题意得：BE=DF，BE∥DF．理由如下：
连接DE、BF．
∵ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵E，F分别是OA，OC的中点，
∴OE=OF，
∴BFDE是平行四边形，
∴BE=DF，BE∥DF．
解析：根据平行四边形的性质对角线互相平分得出OA=OC，OB=OD，利用中点的意义得出OE=OF，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定BFDE是平行四边形，从而得出BE=DF，BE∥DF．
24．如图，已知：在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE=CG，AH=CF，且EG平分∠HEF．
求证：（1）△AEH≌△CGF；
答案：证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
在△AEH与△CGF中
∴△AEH≌△CGF（SAS）；
（2）四边形EFGH是菱形
答案：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D．
又∵AE=CG，AH=CF，
∴BE=DG，BF=DH，
在△BEF与△DGH中，
∴△BEF≌△DGH（SAS），
∴EF=GH．
又由（1）知，△AEH≌△CGF，
∴EH=GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴HG∥EF，
∴∠HGE=∠FEG，
∵EG平分∠HEF，
∴∠HEG=∠FEG，
∴∠HEG=∠HGE，
∴HE=HG，
∴四边形EFGH是菱形．
解析：分析：（1）由全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）易证四边形EFGH是平行四边形，那么EF∥GH，那么∠HGE=∠FEG，而EG是角平分线，易得∠HEG=∠FEG，根据等量代换可得∠HEG=∠HGE，从而有HE=HG，易证四边形EFGH是菱形．
25．如图， ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DFA=2∠BAE．
（1）若∠D=105°，∠DAF=35°．求∠FAE的度数；20°
答案：
解：∵∠D=105°，∠DAF=35°，
∴∠DFA=180°-∠D-∠DAF=40°（三角形内角和定理）．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD（平行四边形对边平行且相等）．
∴∠DFA=∠FAB=40°（两直线平行，内错角相等）；
∵∠DFA=2∠BAE（已知），
∴∠FAB=2∠BAE（等量代换）．
即∠FAE+∠BAE=2∠BAE．
∴∠FAE=∠BAE；
∴2∠FAE=40°，
∴∠FAE=20°；
（2）求证：AF=CD+CF
答案：证明：在AF上截取AG=AB，连接EG，CG．
∵∠FAE=∠BAE，AE=AE，
∴△AEG≌△AEB．
∴EG=BE，∠B=∠AGE；
又∵E为BC中点，∴CE=BE．
∴EG=EC，∴∠EGC=∠ECG；
∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD=180°．
又∵∠AGE+∠EGF=180°，∠AGE=∠B，
∴∠BCF=∠EGF；
又∵∠EGC=∠ECG，
∴∠FGC=∠FCG，∴FG=FC；
又∵AG=AB，AB=CD，
∴AF=AG+GF=AB+FC=CD+FC．
解析：分析：（1）根据平行四边形的性质、平行线的性质证得∠DFA=∠FAB=40°；然后结合已知条件∠DFA=2∠BAE求得∠FAE=∠BAE，从而求得∠FAE的度数；
（2）在AF上截取AG=AB，连接EG，CG．利用全等三角形的判定定理SAS证得△AEG≌△AEB，由全等三角形的对应角相等、对应边相等知EG=BE，∠B=∠AGE；然后由中点E的性质平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质求得CF=FG；最后根据线段间的和差关系证得结论．
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